Математическая статистика и анализ данных. Учебное пособие

риментов приближается к некоторому числу P(A). Это,

всвою очередь, означает, что частоты наблюдений изучаемого события, рассчитанные по всем наблюдениям и по некоторому отобранному подмножеству, близки. Число P(A) служит числовой характеристикой «степени уверенности»1 событию A произойти.

Такая закономерность наблюдается не только при бросании монеты: вероятность любого случайного события можно трактовать как долю случаев, когда это событие происходит при многократном повторении опыта.

Итог: не все явления можно воспроизвести в одинаковых условиях любое число раз. Теория вероятностей изучает закономерности случайных массовых явлений, которые возможно реализовать в одина-

ковых условиях эксперимента.

Теория вероятностей – математическая дисциплина, изучающая математические модели случайных массовых явлений (экспериментов).

Теория вероятностей зародилась в 1654 г. в переписке французских математиков Блеза Паскаля и Пьера Ферма по поводу азартных игр (в частности, по поводу известной задачи де Мере). В этой переписке сформировались первые понятия теории вероятностей и вероятностные вычисления.

1.2.Случайные события

Втеории вероятностей рассматриваются три класса случайных явлений: случайные события; случайные величины; функции случайных величин.

Со случайным экспериментом можно связать различные случайные события, которые могут осуществляться или нет

вэтом эксперименте.

1 «А разве можно измерить степень уверенности числом? Конечно, отвечу я; лица, играющие в азартные игры, основывают свою уверенность именно на этом» (Реньи А. Трилогия о математике. М.: Мир, 1980. 376 с.).

11

Определение 1. Событие, которое при заданном комплексе факторов может либо произойти, либо не произойти, называется случайным событием.

Случайное событие, по сути, представляет некое описание результата эксперимента.

Обозначение: A, B, C, … .

(*1) Эксперимент: трое студентов садятся в лифт на первом этаже корпуса университета.

A = {лифт перегружен};

B = {все трое студентов выйдут из лифта на одном этаже}.

Классификация

1.Если при каждом воспроизведении опыта событие не-

избежно происходит, то его называют достоверным (обозначение ).

2.Если при воспроизведении опыта событие произойти не может, то его называют невозможным (обозначение ).

(*2) Эксперимент: наблюдение за водой при температуре 20 С и атмосферном давлении 760 мм рт. ст.

Достоверное событие: = {вода в жидком состоянии}, невозможное событие: = {вода в твердом состоянии}.

3.Элементарным событием называется исход одного опыта (обозначение ). Любое событие можно представить

как совокупность элементарных. В (*1) событие B можно

рассматривать как совокупность трех элементарных:i = {студенты выйдут на i-м этаже}, i = 1, 2, 3.

Определение 2. Совокупность всех элементарных исходов образует пространство элементарных исходов, которое, в свою очередь, есть достоверное событие .

Операции над событиями

1.Произведением событий A и B называется событие С, которое происходит тогда, когда происходит и A, и B, обозначается C = A · B.

2.Суммой событий A и B называется событие С, которое происходит при наступлении хотя бы одного из событий A или B, обозначается C = A + B.

12

3. Пусть А – некоторое событие.

Ⱥ

Рис. 1.1

Под событием А, противоположным ему, будем понимать событие, состоящее в том, что А не наступило (рис. 1.1).

Приведенные операции можно проиллюстрировать, если предположить, что эксперимент состоит в том, что в прямоугольник бросают наугад материальную точку (рис. 1.2). Пусть:

А = {попадание точки внутрь левого круга}; B = {попадание точки внутрь правого круга}.

Рис. 1.2

Замечание. Для случайных событий выполняются все свойства, изучаемые для множеств в математическом анализе.

Определение 3. События А и В называют несовместными, если наступление одного из них исключает возможность наступления другого: АB = .

Например, появление четного и нечетного чисел (события А и В при однократном подбрасывании кости) одновременно невозможно, т.е. эти события несовместны.

13

Определение 4. Говорят, что события A1, A2, …, Am образуют полную группу событий, если:

1)эти события попарно несовместны;

2)A1 + A2 + … + Am = .

Определение 5. Непустое множество событий W образует алгебру событий, если оно удовлетворяет комплексу условий:

1)если A W, то и A W;

2)если A, B W, то и (A + B) W и (A · B) W. Замечание. Алгебра событий W содержит как невозмож-

ное, так и достоверное событие (следует из определения 5, докажите самостоятельно).

1.3. Вероятность случайных событий, их свойства

Выше для случайного события A рассмотрена (нестрого) его числовая характеристика P(A), которая характеризовала «степень уверенности»1, что оно произойдет в результате эксперимента. Эта характеристика задавала число, к которому приближалась доля экспериментов, в которых произошло это событие, с ростом числа опытов. Возникает желание принять предел получаемой доли (частоты) за вероятность события A при увеличении числа опытов. Но частотное определение неудобно по следующим причинам:

–частота появления события в большой, но конечной, серии может меняться от серии к серии испытаний (пусть и незначительно), а бесконечную последовательность опытов,

вкоторой частота перешла бы в вероятность P(A), реализовать невозможно;

–не все опыты, даже иногда в небольшом количестве, можно реализовать ввиду высоких как человеческих, так и финансовых, затрат.

1 А разве можно измерить степень уверенности числом? Конечно, отвечу я; лица, играющие в азартные игры, основывают свою уверенность именно на этом (А. Реньи. Трилогия о математике).

14

Данную проблему1 окончательно решил советский математик А.Н. Колмогоров в 1933 г., построив аксиоматический подход, в котором величина P(A) задана как числовая функция, обладающая рядом свойств.

Пусть задано ( , W) – пространство элементарных исходов и алгебра случайных событий.

Определение 6. Вероятностью2 называется числовая функция P(A), определенная на случайных событиях A, т.е. элементах W, и удовлетворяющая трем аксиомам:

Р13) P( ) = 1;

Р2) 0 P(A) 1для любого A W;

Р34) P(A + B) = P(A) + P(B), если A · B = и A, B W. Аксиома Р1 задает нормированность, аксиома Р2 – неот-

рицательность, а Р3 – аддитивность (аксиома сложения).

Определение 7. Вероятностным пространством называется тройка объектов ( , W, P), где – пространство элементарных исходов, W – алгебра случайных событий, P – вероятность, заданная на элементах W.

1 В 1900 г. на II Международном математическом конгрессе в Париже Д. Гильберт сформулировал проблемы, стоящие перед математикой XX века, одна из которых касалась теории вероятностей: «аксиоматизировать те физические науки, в которых математика играет важную роль, в первую очередь теорию вероятностей и механику».

2 Первое упоминание термина probabilite (вероятность) принадлежит Цицерону, а определение этого понятия – Блезу Паскалю: «Я буду пользоваться термином «вероятность» для обозначения числа, обозначающего степень уверенности» (А. Реньи. Трилогия о математике).

3 В книге А. Реньи «Трилогия о математике» есть цитата письма Блеза Паскаля: «Естественно принять степень уверенности в появлении достоверного события равной единице».

4 Аксиома Р3 в общем виде формулируется для любого счетного набора попарно несовместных событий A1, A2, A3, … , т.е. имеет место равенство P(A1 + A2 + A3 + …) = P(A1) + P(A2) + P(A3) + …

15

Вероятностное пространство служит математической моделью случайного явления. Именно оно является основным объектом изучения теории вероятностей.

Свойства, вытекающие из аксиом Р1–P3 (заметим, что A + A = , A · A = ):

1 P( A ) = 1 – P(A) для любого случайного события A W, в частности P( ) = 0;

2 для попарно несовместных событий A1, A2, …, Am выполняется

P(A1 + A2 + … + Am) = P(A1) + P(A2) + … + P(Am).

Доказать свойства самостоятельно (указание: для доказательства свойства 2 применить метод математической индукции).

Подходы к расчету вероятностей

1.Статистический подход (частотное представление).

2.Классическая вероятностная модель.

3.Геометрическая вероятность.

1. Статистический подход.

Событие А имеет вероятность, если:

1)можно произвести в неизменных условиях неограниченное число независимых друг от друга опытов, в каждом из которых событие А может произойти или нет;

2)для каждой большой серии замечено, что частота события незначительно отличается от некоторого постоянного числа. Это число и называется вероятностью события А.

О вероятности мы говорим в математическом смысле как

очисле, характеризующем закономерности в массовых случайных явлениях (см. выше). Как было отмечено ранее, с ростом числа испытаний проявляется свойство устойчивости частоты (обоснование приведено в подразделе 4.2).

2. Классическая вероятностная модель.

Если события опыта равновозможные, то вероятностью события А называется отношение числа исходов, благопри-

16

ятствующих появлению события А, к числу всех возможных исходов, т.е.

n A

P(A) = n .

Существенным условием применения классической модели служит равновозможность исходов и их конечное число.

В случае если число исходов не конечно, вероятность при определенных условиях рассчитывается с помощью геометрического подхода.

3. Геометрическая вероятность.

Рис. 1.3. Одномерный (а), двумерный (б) и многомерный (в) случаи

Пусть область g принадлежит области G (рис. 1.3). Если равновозможно попадание точки в любую точку области G, то вероятность попасть в область g соответствует отношению меры области g к мере области G:

Мера области g P(попасть в область g) = Мера области G ,

где «мера» означает:

1)длину, если области представлены как часть прямой или кривой;

2)площадь, если области представлены как часть плоскости;

17

3) объем, если области представлены как часть пространства.

Итогом первых двух частей служит схема, приведенная на рис. 1.4.

Рис. 1.4

1.4. Независимые и зависимые случайные события, условная вероятность

Введем условную вероятность P(B|A). Это вероятность случайного события A при условии, что случайное событие B произошло. Об условной вероятности говорят, когда имеется информация о результате эксперимента, которая позволяет переоценить шансы каждого события с учетом этого. С точки зрения классического подхода расчета вероятности это означает, что меняется пространство элементарных событий с учетом этого знания.

(*3) Мастер разложил 10 деталей, 6 из которых нестандартные. Мастер проверяет детали одну за другой. Найти вероятность, что вторая деталь будет стандартной, при условии, что первая была нестандартной.

В данном случае знание того, что первая деталь была нестандартной, дает возможность построить пространство элементарных исходов с учетом этой информации:

= {всевозможные детали, изъятые вторыми по очереди}.

18

Пусть A = {вторая деталь стандартная}, B = {первая деталь нестандартная}.

Применяя классический подход (исходы в равновоз-

Не всегда условную вероятность находить по условию задачи так легко.

Как находить такую вероятность без изменения пространства элементарных исходов?

Пусть случайный эксперимент реализован n раз. Нас интересуют только те реализации, при которых произошло событие B. Пусть их число равно n(B). Из этих реализаций необходимо отобрать те, которые привели к событию A. Несложно понять, что их число совпадает с числом реализаций, приведших к событию A · B, т.е. с n(A · B). Разумно считать,

Надо заметить, что точная формула вычисления условной вероятности будет доказана лишь при доказательстве устойчивости частот.

Определение 8. Пусть P(B) 0. Условной вероятностью

случайного события A при условии, что произошло случайное событие B, называется число

P AB

P(B|A) = . P B

(*3) продолжение. Рассчитаем условную вероятность примера (*3) по определению 8. Пространство элементарных исходов для расчета теперь строится без учета знания о первой изъятой детали:

стандартная);

19

P(AB) = 4 6 4 (вероятность, что первая деталь нестан-

A120 15

дартная, а вторая – стандартная);

P AB 4

P(B|A) = .

P B 9

С понятием условной вероятности тесно связано понятие независимости двух событий, когда появление в опыте одного события не влияет на шансы появления второго. Случайные события A и B будем считать независимыми в вероятностном смысле, если осуществление одного из них не сказывается на вероятности второго.

Определение 9. Случайные события A и B называются независимыми, если

P(A · B) = P(A) · P(B).

С понятиями несовместности/совместимости и независимости/зависимости связан класс теорем: теоремы сложения и умножения вероятностей, формулы полной вероятности и Байеса, Бернулли (см. приложение 1).

Теорема 1 (теорема сложения вероятностей)1.

A и B – случайные события P(A + B) = P(A) + P(B).

1 Для n случайных событий A1, A2, …, An методом математической индукции можно доказать общую формулу

i,j,k 1 i j k

20