Математическая статистика и анализ данных. Учебное пособие

РАЗДЕЛ 8 ПРОВЕРКА ПАРАМЕТРИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗ

ДЛЯ ДВУХ ВЫБОРОК. КРИТЕРИЙ СОГЛАСИЯ ПИРСОНА 2 (ХИ-КВАДРАТ)

Гипотеза о Боге, например, дает ни с чем не сравнимую возможность все понять, абсолютно ничего не узнавая…

братья Стругацкие

1.Параметрическая гипотеза для двух выборок дает ответ на вопрос о равенстве числовых характеристик. Такой вопрос возникает в практических задачах, например, когда проводятся две серии измерений на разных приборах в разных лабораториях.

2.Проверка рассматриваемых в разделе параметрических гипотез для двух выборок предполагает знание, что закон распределения нормальный.

3.Критерии согласия проверяют соответствие выборочных

данных некоему закону распределения случайной величины (с заданной ошибкой ). При этом важно понимать, что про-

веряется лишь то, достаточно ли хорошо наблюдаемые данные согласуются с некоторым законом распределения, чтобы можно было использовать этот закон для прогнозирования.

4. Наиболее часто встречаемый критерий согласия – хи-квадрат Пирсона. Для его применения первоначально по выборке оцениваются параметры предполагаемого закона, число которых зависит от вида закона (например, для нормального – два параметра, для экспоненциального – один). Количество оцениваемых параметров влияет на число степеней свободы получаемой в критерии статистики 2.

8.1. Постановка задачи

Пусть проделано две серии наблюдений. Возникает практический вопрос: возможно ли по результатам наблюдений

111

заключить, что наблюдалась одна и та же случайная величина? В такой общей постановке вопроса речь идет о совпадении законов распределения двух наблюдаемых случайных величин. Но можно поставить более простые вопросы лишь о равенстве числовых характеристик, прежде всего о равенстве математических ожиданий и дисперсий.

Такие вопросы возникают, например, когда производятся две серии измерений некоторой физической величины в разных лабораториях, на разных приборах. При этом при измерениях неизбежны ошибки и отклонения, поэтому средние арифметические двух разных выборок могут не совпадать. Можно ли эти расхождения объяснить ошибками измерений, или же, напротив, они говорят о том, что измерялись разные величины?

Такие же вопросы могут возникать при выборочном контроле качества, когда производят разные выборки изделий и обследуют их. Результаты обследования каждый раз разные. Связаны эти расхождения с нарушением технологического режима или эти расхождения случайны?

8.2. Параметрические гипотезы для двух выборок

Пусть имеются две независимые выборки для случайных

величин X и Y: (x1, x2, …, xn) и (y1, y2, …, ym). Известно, что они имеют нормальный закон распределения: X ~ N(mX, X2)

и Y ~ N(mY, Y2). Обычно ставится задача проверки равенства соответствующих параметров, т.е. что выборки изъяты из одной совокупности. Но иногда нужно проверить равенства параметров по отдельности.

а) Гипотеза о равенстве дисперсий.

Пусть известны исправленные выборочные дисперсии для выборок: sX2 и sY2.

Утверждение. Если sX2 и sY2 – исправленные выборочные дисперсии для двух независимых выборок объемами n и m

112

из одной нормально распределенной совокупности, то вели-

чина sX2 ~ F(n – 1, m – 1). sY2

Напомним определение 3 распределения Фишера из разде-

ла 4: если ~ 2n , ~ 2m – независимые случайные величи-

/ n

ны, то / m ~ F(n, m).

В подразделе 6.2 использовалась теорема Фишера: если

Рассмотрим алгоритм.

1.Проверяется гипотеза H0: X2 = Y2 против H1: X2 > Y2.

2.Выбираем уровень значимости .

3.В качестве статистики критерия выбираем выборочную дисперсию s2, которое, как известно, является хорошей оценкой для дисперсии D(X). Тогда, в условиях H0 возмож-

113

4. Определим критическую область W0.

Ясно, что если верна гипотеза H0, то sX2 мало отличается

s2

от sY2 и величина X 1 (рис. 8.1). Если же верна альтернатив- sY2

ная гипотеза H1, то sX2 существенно больше sY2. Отсюда следует, что критическая область будет правосторонней (рис. 8.1). Найдем критическое значение Fкр по таблице Фишера с (n – 1)

и (m – 1) степенями свободы, что P(Fрасч > Fкр) = .

Если Fрасч > Fкр, т.е. Fрасч попадает в критическую область W0, то основная гипотеза H0 отвергается в пользу аль-

тернативной гипотезы H1.

Если Fрасч < Fкр, т.е. Fрасч не попадает в критическую область W0, то основная гипотеза H0 принимается.

f x F-ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɟ

– Į Į

Рис. 8.1

Замечание.

1.Если H1: X2 > Y2, то случай сводится к предыдущему перестановкой X, Y.

2.Если H1: X2 Y2, то критическая область двусторон-

няя (рис. 8.2) и для простоты делят большую исправленную выборочную дисперсию на меньшую:

s2

F = max . smin2

114

Обозначим через nmax объем выборки с большей выборочной дисперсией, а nmin – с меньшей. Тогда по таблице Фише-

ра находим критическую точку Fкр = F nmax 1;nmin 1 .

2

f x F ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɟ

Рис. 8.2

Если Fрасч > Fкр, то основная гипотеза H0 отвергается в пользу альтернативной гипотезы H1.

Если Fрасч < Fкр, то основная гипотеза H0 принимается. 3. Для нахождения необходимого F-значения в Excel при

заданном A и числах степеней свободы k1 и k2 необходимо в строку формул ввести

= F.ОБР.ПХ(А; k1; k2),

где A – площадь правого «хвоста» распределения.

б) Гипотеза о равенстве средних при известных диспер-

сиях.

Пусть известны дисперсии X2 и Y2.

Докажем, что если X ~ N(mX, X2) и Y ~ N(mY, Y2), то

X Y

~ N(0, 1).

2X 2Y n m

Известно, что сумма двух независимых нормально распределенных случайных величин с известной дисперсией явля-

115

ется нормальной, причем ее среднее значение равно сумме средних, а ее дисперсия равна сумме двух дисперсий.

Рассмотрим алгоритм.

1.Проверяется гипотеза H0: mX = mY против H1: mX > mY.

2.Выбирается уровень значимости .

3.В качестве статистики критерия выбираем выборочные средние X и Y . Тогда статистика

2X 2Y n m

Рассчитаем ее по выборке.

4. Определим критическую область W0. Ясно, что если верна гипотеза H0, то X мало отличается от Y . Если же верна гипотеза H1, то X существенно больше Y . Значит, критическая область будет правосторонней (рис. 8.3).

5. Найдем такое критическое значение zкр по таблице Ла-

пласа, что P(z < zкр) = , т.е. такое, что (zкр) = ½ – .

Если zрасч > zкр, т.е. zрасч попадает в критическую область W0, то основная гипотеза H0 отвергается в пользу аль-

тернативной гипотезы H1.

Если zрасч < zкр, т.е. zрасч не попадает в критическую область W0, то основная гипотеза H0 принимается.

116

í Į Į

0 zɤɪ

Рис. 8.3

Замечание.

1.Если H1: mX < mY, то случай сводится к предыдущему перестановкой X, Y.

2.Если H1: mX mY, то критическая область двусторонняя (рис. 8.4) и

Рис. 8.4

Если |zрасч| > zкр, т.е. zрасч попадает в критическую область W0, то основная гипотеза H0 отвергается в пользу аль-

тернативной гипотезы H1.

Если |zрасч| < zкр, т.е. zрасч не попадает в критическую область W0, то основная гипотеза H0 принимается.

Замечание. Гипотеза о средних обычно проверяется таким образом и в случае неизвестных дисперсий, но для больших выборок, когда оценки дисперсий можно принять за их точные значения.

117

в) Гипотеза о равенстве средних при неизвестных рав-

ных дисперсиях.

Алгоритм проверки остается прежним. Но, так как дисперсия неизвестна, то используется статистика Стьюдента

Величина s2 служит объединенной оценкой дисперсии (общей для выборок).

Рассчитаем по выборкам эту величину

табл. Стьюдента с (n + m – 2) степенями свободы и приведенные на рис. 8.5 правила.

Рис. 8.5

Замечание. Поскольку для проверки гипотезы о равенстве средних требуется равенство дисперсий, то сначала необходимо проверить гипотезу о равенстве дисперсий. В противном случае данный метод применять нельзя.

118

(*1) Для двух аппаратов по порционной нарезке теста для круассанов сделаны выборки объемов 16 и 11 и по ним найдены исправленные выборочные дисперсии 17,8 г и 19,6 г. Проверить на уровне значимости 0,02 гипотезу о равенстве дисперсий, считая, что масса теста для круассанов достаточно хорошо описывается нормальным законом рас-

Критическое значение находим по табл. Фишера:

Fкр = F nmax 1;nmin 1 F0,01 10;15 3,80.

Рис. 8.6

Так как Fрасч < Fкр, то основная гипотеза H0 принимается на уровне значимости = 0,02

(рис. 8.6).

Ответ: разницу в разбросе выборочного контроля двух аппаратов по разрезке теста для круассанов можно признать статистически незначимой на уровне = 0,05, т.е. обусловленной случайностью выборки.

119