Лекции по алгебре. В 2 частях. Ч.2. Учебное пособие

МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ РФ НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Механико-математический факультет

А. П. Пожидаев, С. Р. Сверчков, И. П. Шестаков

ЛЕКЦИИ ПО АЛГЕБРЕ

Часть 2

Учебное пособие

Издание второе, исправленное и дополненное

Новосибирск

2022

УДК 512.64 (075) ББК В14.5я73-1 П 466

Рецензенты:

кандидат физ.-мат. наук М. Е. Гончаров, доктор физ.-мат. наук П. С. Колесников.

П 466Пожидаев А. П.

Лекции по алгебре: в 2 ч.: учеб. пособие / А. П. Пожидаев, С. Р. Сверчков, И. П. Шестаков ; Новосиб. гос. ун-т. — Новосибирск : ИПЦ НГУ, 2022. - Ч. 2. - 132 с.

ISBN 978-5-4437-1356-4

ISBN 978-5-4437-1358-8 (часть 2)

В пособии излагается основной курс высшей алгебры, читавшийся авторами в 1989–2022 гг. на одном из потоков первого курса механикоматематического факультета Новосибирского государственного университета. Часть 1 соответствует программе первого семестра, а часть 2

— второго. Для чтения и понимания текста от читателя требуется знание элементарных понятий теории множеств, отображений и принципа математической индукции.

Предназначено для студентов естественно-научных и инженерных специальностей, аспирантов и научных сотрудников.

512.64 (075) ББК В14.5я73-1

Рекомендовано к печати кафедрой алгебры и математической логики ММФ НГУ 31.08.2022

Оглавление

2Факториальные кольца, Н.О.Д. и Н.О.К. в факториальных

6Факториальность кольца многочленов над факториальным

7Неприводимые многочлены, признак

9Корни многочлена и линейные множители. Интерполяционные

2Координаты образа вектора. Изменение матрицы при

3Однозначное определение линейного преобразования по

5Характеристические многочлены подобных матриц.

3

8Характеристический многочлен линейного преобразования 55

9Собственные векторы и значения. Независимость собственных векторов, отвечающих различным

1Аксиоматика и примеры унитарных и евклидовых

2Длина вектора и расстояние. Неравенство Коши –

6Существование и единственность сопряжённого

8Канонический вид нормального преобразования унитарного

4

1Матрица квадратичной формы, её поведение при замене

3Алгоритм Лагранжа приведения формы к диагональному

5Формула Якоби приведения формы к диагональному виду 105

6Необходимые и достаточные условия положительной

7Одновременная диагонализация двух квадратичных форм 108

1Эквивалентность систем алгебраических уравнений.

2Идеал системы, аффинное алгебраическое многообразие,

5

Введение

Вторая часть учебного пособия в основном соответствует второму семестру курса “Высшей алгебры” ММФ НГУ. Данная часть состоит из шести глав, с нумерацией продолжающей нумерацию глав первой части. В третьей главе изучаются многочлены. Четвёртая глава даёт более глубокий анализ линейных преобразований над алгебраически замкнутым полем, а пятая — линейных преобразований пространств со скалярным произведением над полями R и C. Шестая глава посвящена основам теории квадратичных форм, а седьмая — основам теории базисов Грёбнера-Ширшова, которые в случае коммутативных алгебр называются базисами Грёбнера и которые вновь возвращают нас к системам уравнений, однако на этот раз — к системам произвольных алгебраических уравнений над полями. Заключительная, восьмая глава посвящена конструкции тензорных произведений векторных пространств и алгебр, которая позволяет единообразно подойти ко многим объектам линейной алгебры.

Обозначения: A B означает, что из утверждения A следует утверждение B; A B — эквивалентность утверждений A и B; квантор всеобщности служит заменой выражения “для всех”; — квантор существования; ! — существует единственный; N обозначает натуральные числа, N0 — натуральные числа с нулём, Z — целые числа, Q — рациональные, R — действительные, C — комплексные числа; i — мнимая единица в C; символ := означает равенство по определению; конец доказательства обозначается символом □.

Нумерация параграфов в каждой главе сквозная. Ссылка, например, на утверждение 1 означает утверждение 1 данного параграфа; ссылка, на утверждение 1 § 4 означает утверждение 1 параграфа 4 данной главы, а ссылка на утверждение 1 § 2.4 означает утверждение 1 четвёртого параграфа второй главы.

Благодарности: А. В. Васильеву, М. Е. Гончарову, В. Н. Желябину, П. С. Колесникову.

6

Глава 3. Кольца многочленов

В этой главе мы изучаем факториальные и евклидовы кольца, рациональные функции, однако основной темой является более глубокое изучение многочленов, их корней и разложений.

§1. Алгоритм деления с остатком

Теорема 1. Пусть A — целостное кольцо, g (x) A [x], и старший коэффициент g обратим в A. Тогда для любого f A [x] существуют единственные q, r A [x] такие, что f = q · g + r, где deg r < deg g.

Доказательство. Пусть f = a0 + . . . + anxn и g = b0 + . . . + bmxm, где bm — обратимый элемент кольца A. Возможны следующие случаи:

1)если deg g > deg f, то f = 0 · g + f;

2)если deg g = 0, то g = bm и f = (b−m1)f · bm + 0;

3)пусть 0 < deg g ≤ deg f. Воспользуемся индукцией по deg f.

(q1 − q2)·g = r2−r1. Так как deg (r2 − r1) < deg g, то q1−q2 = 0, r1−r2 = 0. □

Пусть K — ассоциативное коммутативное кольцо с единицей. Идеал I кольца K называется главным, если I = aK := {ak : k K}.

Следствие. Пусть P — поле. Тогда всякий идеал в P [x] является главным.

Доказательство. Пусть I P [x]. Выберем f I, имеющий минимальную степень. Тогда для любого g I имеем g = fq + r, где deg r < deg f. Так как f, g I, то r I. Следовательно, g = fq, и

I = f · P [x]. □

7

§2. Факториальные кольца, Н.О.Д. и Н.О.К. в факториальных кольцах

Пусть K — целостное кольцо. Элемент a кольца K называется регулярным (или обратимым) элементом, если существует такой элемент b K, что ab = 1.

Будем говорить, что элемент b кольца K делится на a (a делит b), и писать a|b, если b = ac для некоторого элемента c K. Если a|b и b|a, то a и b называются ассоциированными. В этом случае существуют такие элементы u, v K, что b = au и a = bv. Тогда a = auv, и поэтому a(1 − uv) = 0. Следовательно, uv = 1, т. е. u и v — регулярные элементы. Если элементы a и b ассоциированны, то будем обозначать это символом a b. Элемент p кольца K называется простым (неразложимым), если он необратим и его нельзя представить в виде p = ab, где a и b — необратимые элементы.

Примеры. 1. Регулярными элементами в кольце целых чисел Z являются только ±1, простые элементы в Z — это ±p, где p — простое число.

2. Пусть f(x) — многочлен из P [x], где P — поле. Если f(x) регулярный, то существует такой g(x) P [x], что f(x)g(x) = 1. Следовательно, deg f = deg g = 0, и поэтому f(x) — элемент поля P . Ненулевые многочлены f(x) и g(x) ассоциированны тогда и только тогда, когда f(x) = λg(x), где λ — ненулевой элемент поля P . Простые элементы в P [x] — это многочлены, которые нельзя разложить в произведение многочленов из P [x] степени больше нуля. Они также называются неприводимыми над P многочленами.

Отметим некоторые простейшие свойства делимости в кольце K.

1.Если a|b и b|c, то a|c. Действительно, b = aa1 и c = bb1 для некоторых элементов a1, b1 K. Следовательно, c = aa1b1, т. е. a|c.

2.Если c|a и c|b, то c|(a ± b). Очевидно.

3.Если a|b, то a|bc для любого c K. Действительно, b = aa1. Умножив обе части этого равенства на элемент c, получим: bc = aa1c,

т.е. a|bc.

Комбинируя 2) и 3), получаем:

4. Если a|b1, . . . , a|bm, то a|(b1c1 ± . . . ± bmcm) для любых элементов c1, . . . , cm K.

8

Целостное кольцо K называется кольцом с разложением (на простые множители) тогда и только тогда, когда для любого ненулево-

го элемента a K, a = up1 . . . pr (a = u Qr pi), где u — регуляр-

i=1

ный элемент, а pi — простые элементы. Если при этом такое разложение однозначно (с точностью до перестановки простых элементов и с точностью до ассоциированности), то такое кольцо называется факториальным (или кольцом с однозначным разложением на простые множители), т. е. если a = vq1 . . . qs — другое разложение элемента a, где v регулярен, а qi просты, то r = s и при надлежащей нумерации

q1 = u1p1, q2 = u2p2, . . . , qr = urpr, где u1, . . . , ur — регулярные элементы.

Теорема 1. Пусть K — целостное кольцо с разложением на простые множители. Кольцо K факториально тогда и только тогда, когда из p|ab следует, что p|a или p|b для любого простого элемента p из K.

Доказательство. Пусть K — факториальное кольцо, p — простой элемент и p|ab. Тогда ab = pc, где c — элемент из K, a = u ni=1 ai,

a , b , c

простые элементы. Отсюда получаем, что элемент p ассоциирован либо с ai, либо с bj. Следовательно, p|a или p|b.

Пусть выполняется условие теоремы. Докажем, что K — факториальное кольцо. Доказательство будем вести индукцией по числу простых сомножителей в разложении произвольного элемента. Допустим, что разложение всех элементов из K с числом ≤ n простых сомножителей единственно. Для n = 1 это следует из определения простого элемента.

Докажем, что утверждение верно для любого a ̸= 0, который может быть разложен на (n + 1) простых сомножителей. Предположим, что

Приведём пример целостного кольца с разложением на простые множители, которое не является√факториальным.

Пример. Пусть K = {a+b −5 : a, b Z}. Тогда K — подкольцо поля комплексных чисел C, поэтому K — целостное кольцо. Покажем, что 3

9

√ √

и 2 + −5 — простые элементы. Предположим, что 3 = (a + b −5)(c +

√

d −5). Переходя в этом равенстве к комплексно сопряженным числам,

√ √

получим: 3 = (a − b −5)(c − d −5). Тогда 9 = (a2 + 5b2)(c2 + 5d2). По-

скольку a, b, c, d Z, то b = d = 0 и либо a = ±3 и c = ±1, либо a = ±1

Упражнение. Покажите, что K — кольцо с разложением на простые множители.

Пусть K — целостное кольцо и a, b — элементы кольца K. Наибольшим общим делителем (Н.О.Д.) элементов a и b называется такой ненулевой элемент d K, что:

1)d|a и d|b;

2)если c — произвольный элемент из K, c|a и c|b, то c|d.

Обозначим Н.О.Д. элементов a и b через (a, b). Очевидно, что (a, b) определён с точностью до умножения на регулярный элемент.

Заметим, что a|b тогда и только тогда, когда ua|b для любого регулярного u: если a|b, то b = av = uau−1v, т. е. ua|b; наоборот, если ua|b, то b = uav, т. е. a|b.

Свойства Н.О.Д.

• (a, b) a тогда и только тогда, когда a|b.

Действительно, пусть (a, b) a. Тогда, по замечанию выше, a|b. Наоборот, пусть d = (a, b) и a|b. Поскольку a|a, то a|d. По определению Н.О.Д. d|a, а потому a = ud, где u — регулярный элемент, т. е. (a, b) a.

•Очевидно, что (a, 0) a.

•Для произвольного элемента t из K справедливо (ta, tb) t(a, b).

Действительно, пусть d = (a, b). Тогда td|ta, td|tb, и поэтому td|(ta, tb). Следовательно, (ta, tb) = tdc для некоторого c K. Тогда dc|a, dc|b и, следовательно, dc|d. Так как d|dc, то dc d и (ta, tb) t(a, b).

• Для любых элементов a, b, c из K справедливо ((a, b), c) (a, (b, c)).

Действительно, пусть d1 = ((a, b), c), d2 = (a, (b, c)). Тогда d1|(a, b), d1|c. Следовательно, d1|a, d1|b, d1|c, поэтому d1|a, d1|(b, c). Получаем, что d1|(a, (b, c)), т. е. d1|d2. Аналогично d2|d1. Таким образом, d1 d2.

10