Лекции по алгебре. В 2 частях. Ч.2. Учебное пособие

в каждом V (λi) можно найти базис Жордана для φ|V (λi) , i = 1, . . . , p. Пусть a1, . . . , an — объединение всех этих базисов. По теореме 1 § 7 [φ]a1,...,an = J (φ) — матрица Жордана. □

§15. Теорема Жордана — единственность жордановой нормальной формы

Пусть φ L (V, V ) , dimF (V ) = n и F — алгебраически замкнутое поле. По теореме 1 § 14 существует жорданов базис a1, . . . , an, в котором

= J (φ) — матрица Жордана.

Зафиксируем λ F . Обозначим через N(m, λ) число жордановых клеток Jm,λ порядка m, соответствующих λ Spec (φ) , в матрице J(φ). Наша цель — доказать, что числа N(m, λ) не зависят от выбора жорданова базиса.

Положим rt := dimF (φ − λ · id)t V , t = 0, 1, . . . В частности, r0 =

dimF (φ − λ · id)0 V = dimF V = n. Числа rt = dimF (φ − λ · id)t V не зависят от выбора базиса пространства V .

Лемма 1. N (m, λ) = rm−1 − 2rm + rm+1 при m ≥ 1.

Доказательство. Подсчитаем dimF (φ − λ · id)t V при t = 0, 1, 2, . . .

V (λ), V (λ′) — корневые подпространства в V , λ, λ′ Spec (φ). В силу следствия 1 § 14 в V (λ) можно выбрать жорданов базис ai, ψ (ai) , . . . ,

ψki−1 (ai) , где i = 1, . . . , p, ψ = (φ − λ · id). Каждому из этих наборов соответствует жорданова клетка размерности ki, i = 1, . . . , p. Имеем:

p

V (λ) = L ai, ψ (ai) , . . . , ψki−1 (ai) .

i=1

Очевидно, что L ai, ψ (ai) , . . . , ψki−1 (ai) является ψ-инвариантным для любого i = 1, . . . , p. Так как V (λ) и V ′ инвариантны относительно ψ, то

rm = dimF ψm (V ) = dimF ψm (V (λ)) + dimF ψm (V ′) .

В силу теоремы 1 § 13 преобразование ψm невырождено на V ′. Следовательно, dimF ψm (V ′) = dimF V ′. Далее,

71

p

X

=dimF L ψm (ai) , ψm+1 (ai) , . . . , ψm+ki−1 (ai) .

i=1

ki=m+1 ki>m+1 ki=m+1 ki>m+1

= N (m + 1, λ) + N (m + 2, λ) + . . .

Таким образом,

rm − rm+1 = N (m + 1, λ) + N (m + 2, λ) + . . . , rm+1 − rm+2 = N (m + 2, λ) + N (m + 3, λ) + . . . ,

Теорема 1 (Жордана о единственности нормальной жордановой формы). Пусть φ L (V, V ) , dimF V = n и F — алгебраически замкнутое поле. Тогда жорданова форма J(φ) единственна с точностью до перестановки клеток.

Доказательство. По лемме 1 числа N(m, λ) не зависят от выбора жорданова базиса. □

72

§16. Задача о подобии матриц

Найдём необходимые и достаточные условия подобия двух матриц A, B Mn (F ), где F — алгебраически замкнутое поле.

Теорема 1 (задача о подобии матриц). Пусть A, B Mn (F ) и F — алгебраически замкнутое поле. Тогда следующие условия эквивалентны:

Доказательство. Если A B, то существует такая обратимая матрица T Mn (F ), что A = T BT −1. По теореме 1 § 5 fA (x) = fB (x) и

Тогда в силу следствия 2 из § 1.21 мы имеем

rm (A, λ) = r T BT −1 − λE m = r T BT −1 − λT T −1 m = rm (B, λ) .

Следовательно, для любых λ Spec (A) и m N имеем NA (m, λ) = NB (m, λ), и J (A) совпадает с J (B) с точностью до перестановки жордановых клеток. Переставим в жордановом базисе (если это необходимо) соответствующие цепочки векторов так, чтобы J (A) = J (B). Тогда A J (A) = J (B) B, т. е. A B. □

§17. Функции от матриц

Рассмотрим алгебру матриц Mn(C) над полем комплексных чисел C. Пусть A Mn(C) и f : C → C — некоторая комплекснозначная функция. Мы собираемся определить f(A), т. е. построить отображение

f: A → Mn(C).

Вслучае, когда f (x) = a0 + a1x + . . . + amxm — многочлен из C[x], естественно положить

f (A) = f (x) |x=A = a0 · E + a1 · A + . . . + am · Am Mn (C) .

73

Пусть f : C → C — произвольная функция. По теореме Жордана A = T −1J(A)T , где T — матрица перехода к базису Жордана и

Наложим условия на функцию f: f (α) , f(1) (α) , . . . , f(n−1) (α) определены и конечны для всех α SpecA.

Положим

Тогда f называется числовой функцией от A, отвечающей комплекснозначной функции f(λ).

Теорема 1 (основные свойства числовых функций).

1. Пусть f (x) C[x]. Тогда числовая функция f (A) совпадает

с f (x)|x=A.

2. Пусть для f1 : C → C, f2 : C → C и A Mn(C) определены числовые функции f1(A) и f2(A). Тогда для f (x) = f1 (x) + f2 (x) , g (x) = f1 (x) · f2 (x) определены f(A) и g(A), причём f (A) = f1 (A) + f2 (A) и g (A) = f1 (A) · f2 (A).

3. Пусть для g : C → C и A Mn(C) определена числовая функция g(A), тогда

Доказательство. 1. Пусть f (x) = a0 + a1 · x + . . . + am · xm, A =

T −1J (A) T , тогда

74

!

m m

75

при i = 0, 1, . . . , m − 1, k = 1, . . . , m (последнее равенство нам даёт формула Лейбница), откуда получаем:

3. Пусть λ1, . . . , λn — все собственные значения A с учётом кратностей. Тогда g (λ1) , . . . , g (λn) — все собственные значения g(A) с учётом кратностей. □

§18. Представление функций от матриц многочленами

В этом параграфе мы докажем, что значение числовой функции от A Mn(C) не зависит от выбора жорданова базиса и может быть представлено многочленом от матрицы A.

Лемма 1. Пусть λ1, . . . , λs — различные элементы из C, A =

(αij) Ms,k+1 (C), где 1 ≤ i ≤ s, 0 ≤ j ≤ k. Тогда существует такой p (x) C[x] , что p(j) (λi) = αij, т. е.

Доказательство. Сначала построим такие вспомогательные многочлены pt(x), 1 ≤ t ≤ s, что

76

Следовательно,

его во второе уравнение и находим βi1 и т. д. По индукции находим все

Теорема 1 (о представлении функций от матриц многочленами). Значение любой числовой функции от A Mn(C) можно представить многочленом от A. Значение любой числовой функции A Mn(C) не зависит от выбора базиса Жордана.

Доказательство. Пусть f(x) — комплекснозначная функция, f : C → C и f(A) определено. Докажем, что существует такой p (x) C[x] ,

77

0Jms,λs

где m1 + . . . + ms = n. Отметим, что в силу теоремы 1 § 15 J(A) не зависит от выбора базиса Жордана. По определению

0f (Jms,λs )

По лемме 1 существует такой многочлен p (x) C[x], что выполняется следующее равенство

(без ограничения общности можно считать, что λi ̸= λj). Тогда справедливо

0p (Jms,λs )

иf (A) = p (A) = p (x)|x=A по теореме 1 § 17. Так как многочлен p(x) определяется матрицей A, то f(A) не зависит от выбора базиса Жор-

78

Глава 5. Евклидовы и унитарные пространства

В этой главе мы изучим строение линейных преобразований векторных пространств со скалярным произведением; все пространства рассматриваются над полем F , где либо F R, либо F C.

§1. Аксиоматика и примеры унитарных и евклидовых пространств

Линейное пространство V над полем F называется унитарным, если определено отображение ( , ) : V × V → F , называемое скалярным произведением векторов, обладающее следующими свойствами:

1)(a, b) = (b, a) для любых a, b V ;

2)(αa, b) = α (a, b) для любых a, b V, α F ;

3)(a + b, c) = (a, c) + (b, c) для любых a, b, c V ;

4)если a ̸= 0, то (a, a) R и (a, a) > 0.

Если F = R, то унитарное пространство V называется евклидовым.

Вслучае евклидовых пространств имеем следующие аксиомы:

1)(a, b) = (b, a);

2)(αa, b) = α (a, b);

3)(a + b, c) = (a, c) + (b, c);

4)если a ̸= 0, то (a, a) > 0.

Простейшие свойства. Пусть V — унитарное пространство, тогда: 1) для любых a, b V, α, β F имеем (αa, βb) = αβ (a, b) :

(αa, βb) = α (a, βb) = α(βb, a) = α(β (b, a)) =

αβ · (b, a) = αβ(a, b) = αβ (a, b) ;

2) для любых a, b, c V имеем (a, b + c) = (a, b) + (a, c) :

(a, b + c) = (b + c, a) = (b, a) + (c, a) = (b, a) + (c, a) = (a, b) + (a, c) ;

79

4) (a, 0) = (0, a) = 0 : действительно, (a, 0) = (a, 0 · a) = 0 · (a, 0) = 0.

Примеры. 1. Rn — n-мерное пространство строк над R, Rn = {(α1, . . . , αn) : αi R}. Определим на Rn скалярное произведение: a =

3. Пример бесконечномерного унитарного пространства: V = {f : f C [0, 1]} — пространство непрерывных функций на [0, 1]. Очевидно, что V — бесконечномерное векторное пространство над R (1, x, . . . , xn — линейно независимые векторы для любого n N). Определим ( , ):

1

Z

(f, g) = f (x)g (x) dx.

0

1

Так как f (x) g (x) C [0, 1], то интеграл R f (x)g (x) dx существует и

80