Лекции по алгебре. В 2 частях. Ч.2. Учебное пособие

XX

ii

для любых vi = vi1 + vi2 V1 V2, ui U. По определению,

ν(T (V, U)) T (V1, U) + T (V2, U),

апотому корректно определено такое линейное отображение пространств ν′ : V U 7→(V1 U) (V2 U), что

ν′ (v u) = v1 u + v2 u

для любых v = v1+v2 V1 V2, u U. По построению, ν′ — изоморфизм векторных пространств. □

Лемма 3. Пусть V, U — векторные пространства над полем F , v1, . . . , vk — линейно независимые элементы из V, а u1, . . . , uk — про-

Pk

извольные элементы из U. Тогда равенство i=1 vi ui = 0 влечёт ui = 0 для всех i = 1, . . . , k.

Доказательство. Дополним v1, . . . , vk до базиса {vi : i I} пространства V . Без ограничения общности можно предположить, что u1 ̸= 0. Пусть π1 — проектирование V на первую компоненту, т. е. если v = Pi αivi, то π1(v) = α1 F . Определим линейное отображение

·

f : V × U 7→U правилом f(v, u) = π1(v)u для любых v V, u U. По лемме 1 (при W = U) существует такое линейное отображение h из

V U в U, что h(v u) = f(v, u) для любых v V, u U. По построению,

— произвольные элементы из V , а u1, . . . , uk — линейно независимые

ства над полем F , v1, . . . , vk — базис V , u1, . . . , un — базис U. Тогда vi uj — базис пространства V U, i = 1, . . . , k, j = 1, . . . , n. В частности, dim (V U) = dim V · dim U.

Доказательство. По лемме 3 vi uj при i = 1, . . . , k и j = 1, . . . , n

линейно независимы, а их линейная оболочка совпадает с V U. □ Упражнение. Используя теорему 1, показать, что элемент v1 u1 +

v2 u2 не является разложимым элементом в V U.

121

§2. Тензорные произведения алгебр

Пусть A и B — алгебры над полем F . Рассмотрим тензорное произведение A B векторных пространств A и B над полем F . Определим на пространстве A B умножение, полагая

для любых a, c A, b, d B и далее продолжая по линейности. Таким образом,

для любых ai, cj A, bi, dj B.

Теорема 1. Векторное пространство A B с умножением (1) является алгеброй над полем F . Если 1A и 1B — единицы алгебр A

иB соответственно, то A 1B и 1A B — подалгебры в A F B, причём A изоморфна A 1B, а B изоморфна 1A B. Если алгебры A

иB ассоциативны, то и A B ассоциативна.

a 1B 7→a. Утверждение про ассоциативность следует из определения умножения. □

122

§3. Тензорная алгебра

В этом и следующем параграфах мы определим важные для математики тензорную и симметрическую алгебры векторного пространства. Итак, пусть V — векторное пространство над полем F . Обозначим через T k(V ) k-ю тензорную степень пространства V , т. е. T 0(V ) := F,

и т. д. Положим

∞

X

T (V ) := T k(V ).

k=0

По определению элементами T (V ) являются конечные суммы элемен-

тов из T k(V ) при различных k. К примеру, α + v1 + v2 v3 + v4 v5 + v6 v7 v8 v9 T (V ) для любых α F, vi V . Из теоремы 1 § 1 следует, что если {ei : i I} — базис V , то множество

{1, ei1 . . . ein : i1, . . . , in I, n N}

является базисом T (V ).

Определим на T (V ) операцию умножения, задав умножение на базисных элементах правилом:

(ei1 . . . ein ) · (ej1 . . . ejk ) = ei1 . . . ein ej1 . . . ejk ,

при этом 1 является единичным элементом по умножению. Заметим, что по определению v · u T i+j(V ), если v T i(V ), u T j(V ). По индукции легко доказывается, что

(vi1 . . . vin ) · (vj1 . . . vjk ) = vi1 . . . vin vj1 . . . vjk

для любых vi V . Как легко видеть, данная операция умножения ассоциативна на базисных элементах, а потому она является ассоциативной.

Полученную ассоциативную алгебру также будем обозначать через T (V ) и называть тензорной алгеброй векторного пространства V .

Рассмотрим векторное пространство LTk(V, F ) всех полилинейных отображений h : V ×k 7→F . Очевидно, что каждое такое отображение полностью определяется своим набором значений на базисе. Обозначим через hi1,...,ik такое полилинейное отображение, для которого

hi1,...,ik (ei1 , . . . , eik ) = 1, и которое равно нулю на остальных наборах базисных векторов. Очевидно, что все такие отображения hi1,...,ik да-

ют базис LTk(V, F ). Пусть LT (V, F ) := k NLTk(V, F ).

123

Теорема 1. Векторное пространство T (V ) изоморфно пространству LT (V, F ) всех полилинейных отображений V в поле F .

Доказательство. Определим линейное отображение ϕ из T (V ) на

LT (V, F ) правилом ϕ(ei1 . . . eik ) = hi1,...,ik . Данное отображение биективно по построению, что и доказывает теорему. □

§4. Симметрическая алгебра

Рассмотрим идеал Is в T (V ), порождённый всеми элементами u v− v u, где u, v V . Обозначим через S(V ) фактор-алгебру T (V )/Is, которая называется симметрической алгеброй векторного пространства

V . Обозначим элемент v1 . . . vn + Is через v1 . . . vn, где vi V . Из определения Is легко видеть, что элементы вида

ei ej − ej ei, v ei ej − v ej ei, ei ej v − ej ei v,

u ei ej v − u ej ei v

порождают Is как векторное пространство, где u, v пробегают базу T (V ). Ради простоты изложения, далее будем считать, что V — конечномерное векторное пространство размерности n над полем F , а e1, . . . , en — его базис. Рассмотрим F [x1, . . . , xn] — векторное пространство многочленов от n неизвестных над полем F . Определим линейное отображение ϕ : T (V ) 7→F [x1, . . . , xn], задав его на базисных элементах правилом:

ϕ(ei1 . . . eim ) = xi1 . . . xim .

Из определений следует, что ϕ(Is) = 0.

Теорема 1. Множество {1, ei1 . . . eim : m N, i1 ≤ . . . ≤ im}

является базисом в S(V ).

Доказательство. Легко видеть, что vi1 . . . vim = vj1 . . . vjm , если {i1, . . . , im} = {j1, . . . , jm}. Следовательно,

S(V ) = 1, ei1 . . . eim : m N, i1 ≤ . . . ≤ im .

Докажем линейную независимость. Пусть

для некоторых α, αi1,...,im F . Тогда

124

Теорема 2. Симметрическая алгебра S(V ) изоморфна алгебре мно-

гочленов F [x1, . . . , xn].

Доказательство. Из определения отображения ϕ немедленно следует, что ϕ(u v) = ϕ(u)ϕ(v) для любых базисных u, v T (V ), а по-

F k[x1, . . . , xn] — подпространство многочленов степени k (с нулём) в F [x1, . . . , xn]. Таким образом, корректно определено линейное отобра-

жение ψ : S(V ) 7→F [x1, . . . , xn] правилом ψ(v + Is) = ϕ(v) для любого v T (V ). Очевидно, что ψ — изоморфизм. □

Рассмотрим векторное пространство LHk(V, F ) всех полилинейных симметрических отображений g : V ×k 7→F . Очевидно, что каждое такое отображение полностью определяется своим набором значений

g(ei1 , . . . , eik ) F при i1 ≤ . . . ≤ ik. Обозначим через gi1,...,ik такое симметрическое полилинейное отображение, что gi1,...,ik (ei1 , . . . , eik ) =

1, и которое равно нулю на остальных наборах базисных векторов

{ej1 , . . . , ejk } ̸= {ei1 , . . . , eik }. По определению имеем следующее равенство

gi1,...,ik (ej1 , . . . , ejk ) = gi1,...,ik (ei1 , . . . , eik )

при {ej1 , . . . , ejk } = {ei1 , . . . , eik }, а также gi1,...,ik = gj1,...,jk . Очевид-

но, что все такие отображения gi1,...,ik при i1 ≤ . . . ≤ ik дают базис

LHk(V, F ). Пусть LH(V, F ) := k NLHk(V, F ).

Теорема 3. Векторное пространство S(V ) изоморфно пространству LH(V, F ) всех полилинейных симметрических отображений V в поле F .

Доказательство. Определим линейное отображение ϕ из T (V ) на

LH(V, F ) правилом ϕ(ei1 . . . eik ) = fi1,...,ik . Из определения следует, что ϕ(Is) = 0. Тем самым корректно определено линейное отображе-

ние ϕ из S(V ) на LH(V, F ), которое биективно по построению, что и доказывает теорему. □

125

§5. Внешняя алгебра

В этом параграфе мы определим внешнюю алгебру векторного пространства, которая широко известна под названием (супер)алгебры Грассмана и имеет многочисленные приложения в математике и физике.

Итак, пусть V — векторное пространство над полем F и T (V ) — тензорная алгебра векторного пространства V . Ради простоты будем полагать, что пространство V конечномерно размерности n с базисом {e1, . . . , en}, а характеристика поля F не равна двум.

Рассмотрим идеал Ie в T (V ), порождённый всеми элементами u v+ v u, где u, v V . Обозначим через G(V ) фактор-алгебру T (V )/Ie, которая называется внешней алгеброй векторного пространства V . Обо-

значим элемент v1 . . . vk + Ie через v1 . . . vk, где vi V . Из определения Ie легко видеть, что элементы вида

ei ej + ej ei, v ei ej + v ej ei, ei ej v + ej ei v,

u ei ej v + u ej ei v,

где u, v пробегают базу T (V ), порождают Ie как векторное пространство. Обозначим через Gk(V ) подпространство в G(V ) элементов вида v + Ie, где v T k(V ).

Рассмотрим векторное пространство LSk(V, F ) всех полилинейных кососимметрических отображений f : V ×k 7→F . Очевидно, что каждое такое отображение полностью определяется своим набором значе-

ний f(ei1 , . . . , eik ) F , где 1 ≤ i1 < . . . < ik ≤ n. Обозначим через fi1,...,ik такое кососимметрическое полилинейное отображение, что

fi1,...,ik (ei1 , . . . , eik ) = 1, и которое равно нулю на остальных наборах базисных векторов. По определению мы имеем fi1,...,ik = (−1)Sg(σ)fj1,...,jk ,

LS(V, F ) := k NLSk(V, F ).

Теорема 1. Множество {1, ei1 . . . eim : m N, i1 < . . . < im}

является базисом в G(V ). Векторное пространство G(V ) изоморфно пространству LS(V, F ) всех полилинейных кососимметрических отображений V в поле F .

Доказательство. Определим линейное отображение ϕ из T (V ) на

LS(V, F ) правилом ϕ(ei1 . . . eik ) = fi1,...,ik , если i1, . . . , ik попарно

126

различны и ϕ(ei1 . . . eik ) = 0 в противном случае. Из определения следует, что ϕ(Ie) = 0. Тем самым корректно определено линейное отображение ϕ из G(V ) на LS(V, F ), которое биективно по построению, что и доказывает теорему. □

Пусть V — n-мерное векторное пространство над полем F характеристики не равной 2. Следующая теорема устанавливает взаимнооднозначное соответствие между подпространствами пространства V и разложимыми тензорами из G(V ), что показывает простейшее применение G(V ) в геометрии.

Теорема 2. 1) Система векторов a1, . . . , ak из V линейно зависима тогда и только тогда, когда a1 . . . ak = 0.

2) Если системы векторов a1, . . . , ak и b1, . . . , bk линейно независимы, то a1, . . . , ak = b1, . . . , bk тогда и только тогда, когда векторы a1 . . . ak и b1 . . . bk пропорциональны.

Доказательство. 1) Пусть ak = Pk−1 αiai для некоторых αi F .

Тогда

i=1

k−1

X

a1 . . . ak = αia1 . . . ak−1 ai = 0.

i=1

Если a1, . . . , ak линейно независимы, то их можно дополнить до базиса V . Тогда a1 . . . ak будет одним из векторов базиса пространства Gk(V ), т. е. он не равен нулю.

2) Если a1, . . . , ak = b1, . . . , bk , то b1, . . . , bk линейно выражаются через a1, . . . , ak, откуда b1 . . . bk = αa1 . . . ak, α F .

Если a1, . . . , ak ̸= b1, . . . , bk , то по теореме 1 § 1.14 существует такой базис e1, . . . , en в V , что

a1, . . . , ak = e1, . . . , ek , b1, . . . , bk = et+1, . . . , et+k

для некоторого такого t N, что 1 ≤ t ≤ k. Тогда

a1 . . . ak = αe1 . . . ek, b1 . . . bk = βet+1 . . . et+k, α, β F.

Но e1 . . . ek и et+1 . . . et+k — это различные векторы базиса Gk(V ),

Элементы из G0 называются чётными, а элементы из G1 — нечётными. Тогда G(V ) = G0 G1. Легко заметить, что G0 является коммутативной подалгеброй в G(V ), а элементы из G1 антикоммутируют,

127

т. е. ab = −ba для любых a, b G1. Таким образом, справедливо общее правило суперкоммутативности:

ab = (−1)p(a)p(b)ba

для любых a, b G0 G1, где p(x) = i, если x Gi. Заметим, что Gi · Gj Gi+j, где i + j рассматривается по модулю 2, и это свойство пространства выделяет из алгебр так называемые супералгебры. Алгебра G(V ) называется (супер)алгеброй Грассмана и является самым важным примером супералгебры. Самые разнообразные классы супералгебр определяются при помощи алгебры Грассмана и понятия тензорного произведения алгебр, введённого выше. Отметим, что понятие супералгебры пришло в математику из квантовой физики, и супералгебры являются одним из важнейших объектов исследований современной алгебры.

128

Предметный указатель

129

130