Лекции по алгебре. В 2 частях. Ч.2. Учебное пособие

Предложение 1. fA(λ) = λn + an−1λn−1 + . . . + a0, где an−1 =

−tr(A) = −(α11 + . . . + αnn) — след матрицы A, a0 = (−1)n det(A).

Доказательство. Используя формулу полного развёртывания опре-

делителя, получим равенство fA(λ) = (λ − α11) . . . (λ − αnn) + g(λ), где deg g(λ) ≤ n−2, так как в одночлен, содержащий αij, не входит множи-

тель (λ−αii)(λ−αjj) при i ̸= j. Поэтому fA(λ) = λn −tr(A)λn−1 +h(λ), где deg h(λ) ≤ n − 2. Положим λ = 0. Тогда fA(0) = a0 = det(−A) =

Матрицы A и B Mn(F ) называются подобными , если существует такая обратимая матрица T Mn(F ), что B = T AT −1. Обозначение:

A B.

Предложение 2. ” ” — отношение эквивалентности на Mn(F ).

Доказательство. Во-первых, A A, так как A = EAE−1. Вовторых, если A B, то существует такая обратимая матрица T , что

B= T AT −1, т. е. A = (T −1)B(T −1)−1.

Ипоследнее, если A B, B C, то B = T1AT1−1, C = T2BT2−1,

В силу теоремы 1 § 1.5 Mn(F ) разбивается на непересекающиеся классы эквивалентных матриц.

Теорема 1. Если A B, то fA(λ) = fB(λ).

Доказательство. Пусть B = T AT −1, где T — обратимая матрица.

Следствие 1. 1. Если A B, то tr(A) = tr(B), det(A) = det(B).

2. Пусть a1, . . . , an и b1, . . . , bn — базисы V , φ L(V, V ). Тогда

[φ]a1,...,an [φ]b1,...,bn и f[φ]a1,...,an (λ) = f[φ]b1,...,bn (λ).

Доказательство. 1. Очевидно. 2. В силу теоремы 1 § 2 [φ]b1,...,bn = T [φ]a1,...,an T −1, где T — матрица перехода от a1, . . . , an к b1, . . . , bn.

51

§6. Теорема Гамильтона — Кэли

Пусть f(x) = a0xn + . . . + an F [x], A Mn(F ). Положим f(A) = f(x)|x=A = a0An + . . . + anE, т. е. |x=A : F [x] → Mn(F ). Нетрудно проверить, что |x=A — гомоморфизм колец.

Теорема 1 (Гамильтона — Кэли). fA(A) = 0 для любой A Mn(F ). Доказательство. Пусть Ae = (λE − A). Рассмотрим матрицу

где Aeij = (−1)i+jMfij и Mfij — минор, полученный из Ae вычеркиванием i-й строки и j-го столбца.

Имеем Ae · Ae = Ae · Ae = |Ae| · E по теореме 2 § 1.30. Следовательно, B · (λE − A) = |λE − A| · E = fA(λ) · E. Очевидно, что B = (bij(λ)), где bij(λ) F [λ] и deg bij(λ) ≤ n − 1. Значит, bij(λ) = b(0)ij + b(1)ij λ + . . . + b(ijn−1)λn−1, где b(ijk) F , 0 ≤ k ≤ n − 1, 1 ≤ i, j ≤ n. Таким образом,

Пусть fA(λ) = α0 + α1λ + . . . + αn−1λn−1 + λn, αi F. Тогда

B0 + B1λ + . . . + Bn−1λn−1 · (λE − A) =

52

Сравниваем коэффициенты при степенях λ:

Задача. Почему нельзя подставить λ = A в (1)?

§7. Инвариантные подпространства, условия их существования

Пусть V — линейное пространство над полем F , φ L(V, V ). Линейное подпространство U V называется φ-инвариантным, если

φ(U) U.

Простейшие примеры и свойства.

1.Для любого φ L(V, V ) пространства 0 и V являются φ-инвариант- ными.

2.Если U1, U2 — φ-инвариантные подпространства в V , то U1 + U2

иU1 ∩ U2 также φ-инвариантны.

3.Пусть U инвариантно относительно преобразований φ и ψ. Тогда пространство U также является инвариантным относительно преобразований φ + ψ, φ ◦ ψ, αφ, где α F .

4.Если U является φ-инвариантным, то U инвариантно относительно преобразования f(φ) для любого f(x) F [x].

Mm(F ), k + m = n, B3 Mm,k(F ), k, m ≥ 1. Тогда A называется

полураспавшейся матрицей.

53

Лемма 1. Преобразование φ L(V, V ) имеет собственное φ-инва- риантное подпространство U (т. е. U ̸= 0, V ) тогда и только тогда, когда существует такой базис a1, . . . , an пространства V , что [φ]a1,...,an — полураспавшаяся матрица.

Доказательство. ” ”. Пусть U V — собственное φ-инвариантное подпространство и a1, . . . , ak — некоторый базис U, 1 ≤ k ≤ n − 1. Дополним этот базис векторами ak+1, . . . , an до базиса V . Тогда

Пусть U является φ-инвариантным подпространством в V . Тогда ограничение действия φ на U называется индуцированным преобразованием φ на U и обозначается φ|U , т. е. φ|U L(U, U) и φ|U (x) = φ(x) для любого x U. В частности, в лемме 1 имеем:

называется клеточно-диагональной.

54

Теорема 1. Пусть φ L(V, V ). Пространство является прямой суммой φ-инвариантных подпространств тогда и только тогда, когда существует такой базис a1, . . . , an пространства V , что [φ]a1,...,an

— клеточно-диагональная матрица.

ℓ

Доказательство. Пусть V = V1 . . . Vℓ, dimF (Vi) = ki, P ki =

i=1

n. Далее доказательство повторяет доказательство леммы 1. Пусть

{bs1, . . . , bsks } — базис Vs, s = 1, . . . , ℓ. Тогда

{a1, . . . , an} = {b11, . . . , b1k1 , . . . , bℓ1, . . . , bℓkℓ }

— базис V , [φ]a1,...,an — клеточно-диагональная матрица, и наоборот. □

§8. Характеристический многочлен линейного преобразования

Пусть a1, . . . , an — некоторый базис V и φ L(V, V ). Многочлен

(λ) = |λE − [φ]a1,...,an | называется характеристическим многочленом преобразования φ.

Корректность определения. Покажем, что определение не зависит от выбора базиса a1, . . . , an пространства V . Пусть b1, . . . , bn — другой базис V . Тогда в силу следствия 1 § 5 имеем:

fφ (λ) = f[φ]a1,...,an (λ) = f[φ]b1,...,bn (λ) .

Простейшие свойства fφ(λ):

1)deg fφ(λ) = dimF (V ) = n;

2)fφ(λ) = λn + cn−1λn−1 + . . . + c0, где ci F не зависят от выбора базиса a1, . . . , an. По определению −cn−1 = tr([φ]a,...,an ) := tr(φ) — след

φ, (−1)nc0 = det([φ]a,...,an ) := det(φ) — определитель φ.

s

Лемма 1. Пусть V = Vi, где Vi — φ-инвариантные подпро-

i=1

странства, i = 1, . . . , s. Тогда

fφ(λ) = fφ|V1 (λ1) · . . . · fφ|Vs (λ).

55

где Ei — единичная матрица такого же порядка, как Ai, а потому

Для любого φ L(V, V ) и многочлена f (λ) = α0 +α1λ+. . .+αkλk

F [λ], положим f (φ) = f (λ)|λ=φ = α0id + α1φ + . . . + αkφk L (V, V ) .

Теорема 1 (Гамильтона — Кэли для преобразований). Для любого преобразования φ L (V, V ) выполняется равенство fφ(φ) = 0.

Доказательство. В силу теоремы 1 § 4 для произвольного базиса

a1, . . . , an пространства V отображение [ ] = [ ]a1,...,an : L(V, V ) → Mn(F ) — изоморфизм алгебр. Поэтому [f (φ)] = f ([φ]) для любого

f (λ) F [λ]. Следовательно, [fφ (φ)] = fφ ([φ]) = f[φ] ([φ]) = 0 по теореме 1 § 6. Так как [ ] — изоморфизм, то fφ(φ) = 0. □

§9. Собственные векторы и значения. Независимость собственных векторов, отвечающих различным собственным значениям

Элемент λ F называется собственным значением преобразования φ L (V, V ), если существует такой ненулевой a V , что φ(a) = λa. В этом случае a называется собственным вектором φ, соответствующим

λ.

56

Пусть a1, . . . , an — некоторый базис V и [ ] = [ ]a1,...,an — изоморфизм L(V, V ) и Mn(F ). В силу изоморфизма все определения и утверждения

эквивалентно могут быть сформулированы для линейных преобразований и матриц. Например, λ F называют собственным значением A Mn (F ), если существует такой ненулевой x Fn, что xA = λx. В дальнейшем, в зависимости от удобства изложения, мы будем формулировать утверждения либо в матричном виде, либо для линейных отображений.

i=1

лочка векторов b1, . . . , bk V. В силу § 1.10 b1, . . . , bk — минимальное подпространство пространства V , содержащее b1, . . . , bk.

Лемма 1. Пусть φ L(V, V ). Тогда справедливы утверждения:

1)a — собственный вектор φ a является φ-инвариантным;

2)α — собственное значение φ fφ (α) = 0;

3)φ имеет n линейно независимых собственных векторов су-

ществует такой базис b1, . . . , bn пространства V , что для некоторых αi F выполняется

Доказательство. 1. Если a — собственный вектор φ, то a ̸= 0 и существует α F такое, что φ (a) = αa. Для любого b a существует λ F такое, что b = λa. Следовательно, φ (b) = φ (λa) = λφ (a) = λαaa и a — φ-инвариантное подпространство. Обратно, если φ (a) a , то существует такой α F , что φ(a) = αa.

2. По определению α является собственным значением φ тогда и только тогда, когда существует ненулевой a V такой, что φ(a) = αa.

Пусть [ ] = [ ]a1,...,an , где a1, . . . , an — некоторый базис в V . Тогда

φ (a) = αa [φ (a)] = [αa] [a] · [φ] = α [a] [a] (αE − [φ]) = 0, где мы использовали теорему 1 из § 4 и теорему 1 из § 2.

Однородная система линейных уравнений [a] · (αE − [φ]) = 0 имеет ненулевое решение det (αE − [φ]) = fφ (α) = 0.

57

0αn

—базис V и φ (bi) = αibi, 1 ≤ i ≤ n, что эквивалентно существованию

Теорема 1. Пусть φ L(V, V ) и b1, . . . , bk — собственные векторы φ, соответствующие различным собственным значениям α1, . . . , αk. Тогда b1, . . . , bk линейно независимы.

Доказательство. Проведём индукцию по k. При k = 1 по определению b1 ̸= 0. Пусть b1, . . . , bk−1 линейно независимы и β1b1 +. . .+βkbk =

Следствие. Пусть φ L(V, V ), где V — векторное пространство над полем F . Если fφ(λ) имеет n различных корней в F , то существует такой базис b1, . . . , bn пространства V , что

Доказательство. Пусть b1, . . . , bn — собственные векторы преобразования φ, соответствующие различным корням α1, . . . , αn многочлена fφ(λ). В силу теоремы 1 они линейно независимы. В силу леммы 1

§10. Минимальные многочлены матриц и линейных преобразований

Унитарный многочлен минимальной степени, аннулирующий преобразование φ L(V, V ), называется минимальным многочленом преобразования φ и обозначается через hφ(x). Таким образом, hφ (x) =

58

xm + am−1xm−1 + . . . + a0 F [x] — это такой многочлен минимальной степени, что hφ(φ) = 0. Аналогично определяется hA(x), A Mn(F ).

Корректность определения. Покажем, что hφ(x) определяется однозначно. Действительно, если hφ(x) и h′φ(x) — два минимальных многочлена, то hφ (x) − h′φ (x) аннулирует φ и при этом выполнено неравенство deg hφ (x) − h′φ (x) < deg hφ (x), т. е. hφ (x) − h′φ (x) = 0.

Лемма 1 (основные свойства). Пусть φ L(V, V ), где V — векторное пространство над полем F .

1. Если f (x) F [x], f (φ) = 0, то hφ (x) делит f(x).

2. Если A, B Mn (F ), A B, то hA (x) = hB (x).

3. Справедливо равенство hφ (x) = h[φ] (x), где [φ] = [ ]b1,...,bn и b1, . . . , bn — некоторый базис пространства V .

4. Многочлен hφ(x) делит fφ(x).

5. Если fφ (x) = (x − λ1) . . . (x − λn) , λi F , то (x − λi) делит многочлен hφ(x).

Доказательство. 1. По определению deg f (x) ≥ deg hφ (x) . Разделим f(x) на hφ(x) с остатком:

f (x) = hφ (x) · g (x) + r (x) ,

где либо deg r (x) < deg hφ (x), либо r(x) = 0. Далее справедливо 0 = f (φ) = hφ (φ) · g(φ) + r (φ) . Следовательно, r (φ) = 0 и r (x) = 0.

2. A B тогда и только тогда, когда существует обратимая T Mn(F ) такая, что B = T −1AT. Заметим, что для любого k N имеем:

Bk = T −1AT k = (T −1AT ) · (T −1AT ) · . . . · (T −1AT ) = T −1AkT.

Значит, для любого g (x) F [x] выполняется g (B) = T −1g (A) T. Следовательно,

hA (B) = hA T −1AT = T −1hA (A) T = 0,

hB (A) = hB T BT −1 = T hB (B) T −1 = 0.

Из 1) следует, что hA(x) делит hB(x), и наоборот. В силу унитарности многочленов hA(x) = hB(x).

3.Пусть b1, . . . , bn — некоторый базис V . Обозначим [ ] = [ ]b1,...,bn

—изоморфизм L(V, V ) и Mn(F ) (теорема 1 § 4). Тогда

0 = h[φ] ([φ]) = h[φ] (φ) h[φ] (φ) = 0,

0 = [hφ (φ)] = hφ ([φ]) .

59

Следовательно, h[φ](x) делит hφ(x), и наоборот. В силу унитарности многочленов hφ(x) = h[φ](x).

4.Следует из 1) и теоремы Гамильтона — Кэли.

5.Пусть vi V — собственный вектор для λi, т. е. φ (vi) = λivi, vi ̸= 0. Тогда hφ (φ) (vi) = 0. Но φk (vi) = φk−1 (λivi) = λiφk−1 (vi) =

§11. Нильпотентные преобразования, канонический вид их матриц

Пусть φ L (V, V ). Множество Spec (φ) всех попарно различных собственных значений φ называется спектром φ. Например, если fφ (x)

p

= Q (x − λi)mi , где λi ̸= λj при i ̸= j, то Spec (φ) = {λ1, . . . , λp}.

i=1

Аналогично определяется Spec (A), A Mn (F ). Преобразование φ L (V, V ) называется нильпотентным, если существует m N такое, что φm = 0. Число m называется индексом нильпотентности φ, если φm = 0 и φm−1 ̸= 0. Аналогичные определения для A Mn(F ).

Лемма 1. Пусть φ — нильпотентное линейное преобразование индекса m, тогда hφ (x) = xm и Spec (φ) = {0}.

Пусть φ — нильпотентное преобразование индекса m. Вектор v V называется вектором высоты k, если φk (v) = 0 и φk−1 (v) ̸= 0. По определению 0 — вектор высоты 0. Будем обозначать высоту вектора v через h(v) = k. Положим U (k) := {v V : h (v) ≤ k} , k = 1, . . . , m.

Очевидно, что 0 U (1) . . . U (m) = V.

Лемма 2. Пусть φ — нильпотентное преобразование индекса m. 1. U(k) — линейное подпространство в V для любого k = 1, . . . , m. 2. Цепочка 0 = U (0) U(1) . . . U (m) = V состоит из строгих

включений.

3. Дополним базис U(m −1) векторами c1, . . . , ct до базиса V . Тогда векторы φi(cj), i = 0, . . . , m − 1, j = 1, . . . , t, линейно независимы.

60