Лекции по алгебре. В 2 частях. Ч.2. Учебное пособие

nn

Res 3. Пусть f(x) = a0(x−α1) . . . (x−αn) P [x] и a0 ̸= 0. Положим

D(f) = a20n−2D(a−0 1f). Тогда a0D(f) = (−1)n(n2−1) Res(f, f′).

n

Доказательство. Согласно Res 2 Res(f, f′) = an0−1 Q f′(αi). Так

i=1

как f(x) = a0(x − α1) . . . (x − αn), то

а потому f′(αi) = a0 Q(αi − αj). Окончательно получаем:

j̸=i

αi P , и g1(x), g2(x) — произвольные многочлены из P [x] степеней k и m. По Res 2 имеем:

YY

41

§16. Алгебраическая замкнутость поля C

Поле F называется алгебраически замкнутым, если любой многочлен из F [x] разлагается в F [x] на линейные множители.

В данном параграфе мы докажем алгебраическую замкнутость поля C — теорему, доказанную Гауссом на рубеже XVIII и XIX веков и часто называемую основной теоремой алгебры комплексных чисел. В дальнейшем будем использовать следующую лемму.

Лемма 1. Пусть f(x) R[x]. Тогда при x R, достаточно больших по абсолютной величине, знак f(x) совпадает со знаком ненуле-

Лемма 2. Пусть f(x) R[x], deg f(x) = 2k +1. Тогда существует α R такое, что f(α) = 0.

Доказательство. По лемме 1 существуют такие a, b R, что f(a) < 0, f(b) > 0. Так как f(x) — непрерывная функция, то существует такое α R, что f(α) = 0. □

Теорема 1. Пусть f(x) R[x]. Тогда существует такое α C, что f(α) = 0.

Доказательство. Пусть deg f = 2kq, где q = 2s + 1. Проведём индукцию по k. При k = 0 теорема следует из леммы 2. Пусть P — поле

разложения для f(x) над C и f(x) = (x−α1) . . . (x−αn). Выберем d R и положим βij = αiαj +d(αi +αj) P, i < j. Число элементов βij равно

n(n − 1) = 2kq(2kq − 1) = 2k−1q(2kq − 1) = 2k−1q′, 2 2

где q′ нечётно. Пусть g(x) = Qi<j(x − βij). Коэффициенты многочлена g(x) являются элементарными симметрическими многочленами от βij, поэтому они являются многочленами от αi с действительными коэффициентами; более того, это симметрические многочлены. Действительно, перестановка любых αk и αl влечёт за собой лишь перестановку среди элементов βij: βkj при j ̸= k, l превращается в βlj и, наоборот, βkl и все βij при i, j ̸= k, l остаются на месте. Но коэффициенты многочлена g(x) не меняются при перестановке его корней. Следовательно, по теореме 2 § 12 коэффициенты многочлена g(x) — это многочлены с действительными коэффициентами от коэффициентов многочлена f(x), т. е. g(x) R[x]. По предположению индукции существуют такие i, j,

42

что βij C. В силу произвольности выбора d существуют такие d1 и d2 R, d1 ̸= d2, что

Теорема 2. Пусть f(x) C[x]. Тогда существует такое α C, что f(α) = 0.

Доказательство. Пусть f(x) = a0xn+a1xn−1+. . .+an. Тогда F (x) = f(x)f¯(x) = (a0xn + a1xn−1 + . . . + an)(¯a0xn + a¯1xn−1 + . . . + a¯n) =

всё доказано. Если f¯(β) = 0, т. е. a¯0βn + a¯1βn−1 + . . . + a¯n = 0, то

¯n ¯n−1 , а потому ¯ .

a0β + a1β + . . . + an = 0 f(β) = 0 □

§17. Разложение многочленов на множители над C, R и Q

Как следствие из предыдущего параграфа, получаем следующие две теоремы.

Теорема 1. Пусть f(x) C[x], deg f = n. Тогда имеет место

Теорема 2. Пусть f(x) R[x] и f(x) неприводим. Тогда deg f ≤ 2. Доказательство. Пусть deg f ≥ 2. Так как f не имеет корней из R,

По признаку неприводимости Эйзенштейна в Q[x] существуют неприводимые многочлены сколь угодно большой степени. Однако этот признак не даёт ответа на вопрос о неприводимости произвольного многочлена из Q[x]. Ответить на этот вопрос можно, используя понятие делимости в Z.

43

Теорема 3. Пусть f(x) Q[x]. Тогда существует алгоритм, позволяющий за конечное число шагов определить, является ли f неприводимым над Q.

Доказательство. Вспомним, что неприводимость в Q[x] эквивалентна неприводимости в Z[x]. Пусть f(x) Z[x]. Предположим, что f = gh и deg f = n. Тогда можно считать, что deg g ≤ n2 = k. Выбирая различные числа p1, . . . , pk+1 Z, получаем, что g(pi) — это делитель числа f(pi). Поскольку таких возможностей конечное число, то мы можем для каждого случая по интерполяционной формуле построить g(x) и проверить, делит ли g(x) многочлен f(x). Таким образом, за конечное число шагов мы решаем вопрос о неприводимости f(x) над Q. □

§18. Границы корней. Теорема Штурма

Пусть f(x) = xn + a1xn−1 + . . . + an C[x], n ≥ 1.

Лемма 1. Пусть A = max{|a1|, . . . , |an|}. Тогда любой корень мно-

|a1||x|n−1 + . . . + |an| ≤ A(|x|n−1 + . . . + 1) = A|x|x||−−11 < A|x|x|−| 1 ≤ |x|n. □

Для вычисления границ корней достаточно уметь находить лишь верхнюю границу положительных корней любого многочлена. Действительно, если N0 — верхняя граница положительных корней многочлена f(x), то рассмотрим многочлены

ϕ1(x) = xnf(1/x), ϕ2(x) = f(−x), ϕ3(x) = xnf(−1/x).

Пусть их верхние границы равны соответственно N1, N2, N3. Тогда ес-

ли x0 — положительный корень f(x), то 1 < x0 < N0; если x0 —

N1

отрицательный корень, то −N2 < x0 < − 1 .

N3

Пусть f(x) = xn + a1xn−1 + . . . + an R[x], n ≥ 1. Для нахождения верхней границы положительных корней удобно использовать следую-

щий метод Ньютона.

Лемма 2. Пусть c R+ такое, что f(c) > 0, f′(c) ≥ 0, . . . , f(n)(c) ≥ 0. Тогда любой действительный корень многочлена f(x) меньше c.

Доказательство следует из формулы Тейлора:

44

Предположим, что (f, f′) = 1. Если это не так, то рассмотрим вместо многочлена f многочлен f/(f, f′), который уже обладает требуемым свойством, т. е. не имеет кратных корней. Пусть f0, f1, . . . , fr — последовательность многочленов, полученная из f по следующей схеме: f0 = f, f1 = f′,

Последовательность f0, f1, . . . , fr называется рядом Штурма многочлена f(x).

Для каждого a R, не являющегося корнем f, определим ω(a) как число перемен знака в последовательности чисел f0(a), f1(a), . . . , fr(a), из которой удалены все нули.

Теорема (Штурма). Число корней из R у многочлена f на интервале [b, c] (при условии, что b и c не корни f) равно ω(b) − ω(c).

Доказательство. Заметим, что для любого a R число a не может обращать в нуль два подряд многочлена из ряда Штурма, так как если

fs(a) = fs+1(a), то и fs+2(a) = . . . = fr(a) = 0 — противоречие, поскольку fr(a) — ненулевая константа. Все корни всех fi разбивают интервал

[b, c] на подинтервалы [b, c] = [b, c1] [c1, c2] . . . [ck, c]. Внутри (ci, ci+1)

все fs имеют один знак, поэтому там ω(a) не меняется. Посмотрим, как меняется ω(a) в точках ci.

1. Пусть ci — корень fs, 0 < s < r. В силу равенства fs−1 = fsqs −

fs+1 числа fs−1(ci) и fs+1(ci) должны иметь разные знаки. Эти же знаки они имеют и в примыкающих к точке ci подинтервалах. Значит,

независимо от знака fs есть одна перемена знака в последовательности

fs−1(a), fs(a), fs+1(a), как слева, так и справа от ci (и в точке ci). Итак, ω(a) не изменяется в этом случае.

2. Пусть ci — корень f. Имеем: f(x) = (x − c)g(x), g(c) ̸= 0, f1(x) = g(x) + (x − c)g′(x). Знак f1 в точке ci и возле неё совпадает со знаком

g(ci), а f меняет знак в точке ci. Значит, при a < ci есть перемена знака среди чисел f0(a) и f1(a), а при a > ci нет перемены знака. Все остальные перемены знака сохраняются. Итак, при переходе через корень многочлена f число ω(a) уменьшается на 1. □

45

Глава 4. Линейные преобразования векторных пространств

В этой главе мы изучаем линейные преобразования векторных пространств и приводим классификацию таких преобразований в случае, когда основное поле является алгебраически замкнутым.

§1. Матрица линейного отображения

В § 15 главы 1 мы ввели понятие линейного отображения и привели некоторые примеры линейных отображений. Дадим ещё несколько примеров.

Далее в этой главе через V мы обозначаем линейное пространство над некоторым полем F . Пусть V = V1 LV2. Тогда для любого v V существуют такие единственные v1 V1, v2 V2, что v = v1 + v2. Положим φ(v) = v1. Нетрудно проверить, что φ L(V, V ). Отображение φ называется проектированием V на V1 параллельно V2.

Далее пусть F [x] — линейное пространство многочленов от x над полем F . Положим φ(f(x)) = f′(x). Очевидно, что φ L(F [x], F [x]).

Пусть V — линейное пространство размерности n над F , a1, . . . , an

— некоторый базис V и φ L(V, V ). Тогда существуют такие единственные αij F , 1 ≤ i, j ≤ n, что

φ(a1) = α11a1 + . . . + α1nan,

. . .

φ(an) = αn1a1 + . . . + αnnan.

нейного преобразования φ в базисе a1, . . . , an. Таким образом, мы построили отображение [ ]a1,...,an : L(V, V ) → Mn(F ).

46

Примеры.

1.[id]a1,...,an = E.

2.[0]a1,...,an = 0.

3.Пусть V = V1 LV2, a1, . . . , ak — базис V1, ak+1, . . . , an — базис V2.

Тогда

где φ — проектирование V на V1 параллельно V2, а Ek — единичная матрица из Mk(F ).

4. Пусть φ(f(x)) = f′(x), φ : Fn[x] → Fn[x], где по определению Fn[x] = {f F [x] : deg f ≤ n}. Тогда 1, x, x2, . . . , xn — базис пространства Fn[x] и

§2. Координаты образа вектора. Изменение матрицы при изменении базы

Пусть V — линейное пространство над F , dimF (V ) = n, a1, . . . , an и b1, . . . , bn — некоторые базисы V . Тогда для любого v V суще-

n

ствуют такие единственные α1, . . . , αn F , что v = P αiai. Строка

i=1

[v]a1,...,an = (α1, . . . , αn) Fn называется координатами вектора v в базисе a1, . . . , an. По теореме 1 § 1.12 отображение [ ]a1,...,an : V → Fn является изоморфизмом векторных пространств. Существуют такие един-

n

ственные tij F , что bi = P tijaj, i, j = 1, . . . , n. Матрица T = (tij)

j=1

называется матрицей перехода от базиса a1, . . . , an к b1, . . . , bn.

Теорема 1. Для всех x V , φ L(V, V ) выполняется:

1)[x]a1,...,an = [x]b1,...,bn T ;

2)[φ(x)]a1,...,an = [x]a1,...,an · [φ]a1,...,an ;

3)[φ]b1,...,bn = T [φ]a1,...,an T −1.

47

Доказательство. 1. Пусть мы имеем [x]a1,...,an = (x1, . . . , xn), а также [x]b1,...,bn = (y1, . . . , yn). Тогда

Следовательно, xi = P yjtji, i = 1, . . . , n, и (x1, . . . , xn) = (y1, . . . , yn)T .

j=1

В итоге [x]a1,...,an = [x]b1,...,bn T. Заметим, что из последнего равенства следует |T | ̸= 0. Действительно, последовательно полагая x =

a1, . . . , x = an, получаем E = XT для некоторой матрицы X.

nn

2.Пусть x = P xiai, φ(ai) = P αijaj. Тогда

nn

3. Пусть [φ]a1,...,an = A, [φ]b1,...,bn = B. Тогда для любого x V имеем:

Следовательно, [x]a1,...,an A = [x]b1,...,bn T A = [x]b1,...,bn BT . Так как x — произвольный вектор, то T A = BT и B = T AT −1. □

§3. Однозначное определение линейного преобразования по образу базиса

Теорема 1. Пусть a1, . . . , an — некоторый базис V , b1, . . . , bn — произвольные векторы из V . Тогда существует такое единственное

φ L(V, V ), что φ(ai) = bi, i = 1, . . . , n.

48

Обозначим отображение [ ]a1,...,an через [ ].

Следствие 1. Отображение [ ] : L(V, V ) → Mn(F ) является биективным.

Доказательство. Для любых φ, ψ L(V, V ) имеем

[φ]a1,...,an = [ψ]a1,...,an φ(ai) = ψ(ai)

для всех i = 1, . . . , n. Последние равенства эквивалентны тому, что φ(x) = ψ(x) для всех x V , т. е. φ = ψ. Следовательно, отображение [ ]

n

инъективно. Для любой A = (αij) Mn(F ) положим bi = P αijaj, где

j=1

i = 1, . . . , n. По теореме 1 существует такое единственное φ L(V, V ),

что φ(ai) = bi для всех i = 1, . . . , n. По определению [φ]a1,...,an = A. Следовательно, отображение [ ] сюръективно. □

§4. Изоморфизм алгебр L(V, V ) и Mn(F)

Предложение 1. Для любых α F , φ, ψ L(V, V ) справедливо:

αφ, φ + ψ, φ ◦ ψ L(V, V ).

Доказательство. Предложение было доказано в § 1.15, за исключением того, что φ ◦ ψ L(V, V ). Пусть α, β F, x, y V . Тогда

φ ◦ ψ(αx + βy) = ψ(φ(αx + βy)) = ψ(αφ(x) + βφ(y)) = αψ(φ(x)) +

βψ(φ(y)) = α(φ ◦ ψ)(x) + β(φ ◦ ψ)(y). □

Алгебраическая система A; +, ·, ·α, α F называется алгеброй над полем F , если

49

В главе 1 было доказано, что Mn(F ) — кольцо и линейное пространство над F . Так как α(A · B) = (αA) · B = A · (αB) для любых α F, A, B Mn(F ), то Mn(F ) — алгебра над F . Докажем, что L(V, V ) — алгебра над F .

Теорема 1. L(V, V ) M (F ).

= n

Доказательство. Выберем a1, . . . , an — некоторый базис V и обозна-

чим [ ] = [ ]a1,...,an . Докажем, что [ ] : L(V, V ) → Mn(F ) — изоморфизм. В силу следствия 1 § 3 [ ] — биективное отображение. Докажем, что [ ]

сохраняет операции.

1) [φ + ψ] = [φ] + [ψ]: для любых x V, φ, ψ L(V, V ) имеем

[(φ + ψ)(x)] = [x][φ + ψ] = [φ(x) + ψ(x)] = [φ(x)] + [ψ(x)] = [x][φ] + [x][ψ] = [x]([φ] + [ψ]). Следовательно, [φ + ψ] = [φ] + [ψ], так как x —

произвольный вектор.

2)[αφ] = α[φ]: для любых x V, φ L(V, V ) имеем [(αφ)(x)] = [αφ(x)] = α[φ(x)] = α[x][φ] = [x][αφ]. Следовательно, α[φ] = [αφ].

3)[φ ◦ ψ] = [φ] · [ψ]: для любых x V, φ, ψ L(V, V ) имеем [(φ ◦

ψ)(x)] = [x][φ ◦ ψ] = [ψ(φ(x))] = [φ(x)][ψ] = ([x][φ])[ψ] = [x]([φ] · [ψ]).

§5. Характеристические многочлены подобных матриц. Подобие матриц.

Пусть A = (αij) Mn(F ), а λ — некоторая неизвестная. Матрица

называется характеристической матрицей для матрицы A. Многочлен fA(λ) = det(λE−A) называется характеристическим многочленом для матрицы A.

50