Лекции по алгебре. В 2 частях. Ч.2. Учебное пособие

Доказательство. 1. Заметим, что 0 U(k). Далее для любых α, β F , a, b U (k) имеем φk (αa + βb) = αφk (a) + βφk (b) = 0. Следовательно, h (αa + βb) ≤ k, т. е. U(k) — подпространство в V .

2. Пусть на некотором шаге i, 0 ≤ i ≤ m − 1, U(i) = U(i + 1). Тогда для любого v V равенство φi+1(v) = 0 выполняется тогда и только тогда, когда φi (v) = 0. Рассмотрим произвольный вектор v V = U(m). Тогда φm (v) = 0 влечёт φi+1 φm−i−1 (v) = 0, откуда φi φm−i−1 (v) = 0. Следовательно, φm−1 (v) = 0 и φm−1 = 0. Противоречие.

m−1 t

3. Пусть y = P P αijφi (cj) = 0. Тогда справедливо 0 = φm−1 (y) =

i=0 j=1

= α01φm−1 (c1) + . . . + α0tφm−1 (ct) = φm−1 (α01c1 + . . . + α0tct) .

Значит, α01c1 +. . .+α0tct U (m − 1) и α01 = . . . = α0t = 0. Аналогично

Следствие 1. Если φ нильпотентно индекса m, то m≤dimF (V ) .□

называется клеткой Жордана порядка m, отвечающей собственному значению λ.

Теорема 1. Пусть φ L (V, V ), dimF (V ) = n и φ нильпотентно индекса n. Тогда в пространстве V существует такой базис a1, . . . , an,

что [φ]a1,...,an = Jn,0.

Доказательство. Выберем произвольный a / U (n − 1). По лемме 2 a1 = a, a2 = φ (a) , . . . , an = φn−1 (a) линейно независимы и образуют

61

базис. В этом базисе имеем:

§12. Минимальный и характеристический многочлен от матрицы Жордана

Лемма 1. Пусть Jm,λ — клетка Жордана, λ F . Тогда:

1)hJm,λ (x) = fJm,λ (x) = (x − λ)m ;

2)Spec (Jm,λ) = {λ} ;

3)для любого f (x) F [x] выполняется равенство

Доказательство. 1. fJm,λ (x) = |xE − Jm,λ| = (x − λ)m . По лемме 1 § 10

hJm,λ (x) делит fJm,λ (x). Поэтому hJm,λ (x) = (x − λ)k, k ≤ m. Пусть k < m. Тогда

hJm,λ (Jm,λ) = (Jm,λ − λE)k = Dk+1,

где в матрице Dk+1 единицы стоят на пересечении i-й строки и (i + k)-го столбца, i = 1, . . . , m − k, а остальные элементы нулевые (D1 := E). Противоречие, и k = m.

2.Так как fJm,λ (x) = (x − λ)m, то Spec (Jm,λ) = {λ} .

3.Пусть deg f = n > m. Тогда по формуле Тейлора

62

Матрицей Жордана называется клеточно-диагональная матрица вида J = Jm1,λ1 . . . Jms,λs , где Jmi,λi — клетки Жордана, i = 1, . . . , s.

Найдём минимальный и характеристический многочлен от матрицы Жордана.

Лемма 2. Пусть A = A1 . . . As — произвольная клеточно-

диагональная матрица, где A Mn(F ), Ai Mni (F ), n = n1 + . . . + ns. Тогда:

1)f (A) = f (A1) . . . f (As) для любого f (x) F [x] ;

2)hA(x) = H.O.K. (hA1 (x), . . . , hAs (x)).

Доказательство. 1. Для любого k N имеем:

2. Из 1) для любого f (x) F [x] имеем f (A1) , . . . , f (As) = 0 f (A) = 0.

Пусть H.O.K. (hA1 (x) , . . . , hAs (x)) = f (x), тогда выполняются ра-

Следовательно, f(x) аннулирует A, и по лемме 1 § 10 hA(x) делит

f(x).

Сдругой стороны, hA (A) = 0. Поэтому из 1) получаем hA (A1) =

. . . = hA (As) = 0. Следовательно, hAi (x) делит hA(x), i = 1, . . . , s, откуда f(x) = H.O.K.(hA1 (x), . . . , hAs (x)) делит hA(x). В итоге приходим

— все различные собственные значения J среди λ1, . . . , λs;

63

0f(Jms,λs )

(f(Jm1,λ1 ) определено в пункте 3) леммы 1).

Доказательство. 1. По определению характеристического многочлена и спектра.

2. В силу леммы 2 hJ (x) = H.O.K. (hJm1,λ1 (x), . . . , hJms,λs (x)). В силу леммы 1 hJmi,λi (x) = (x − λi)mi , i = 1, . . . , s. Следовательно,

§13. Векторное пространство как прямая сумма корневых подпространств

В §§ 13–15 будет доказана

Теорема (Жордана). Пусть φ LF (V, V ), dimF (V ) = n и F — алгебраически замкнутое поле. Тогда существует такой базис a1, . . . , an

пространства V , что [φ]a1,...,an = J (φ), где J(φ) — матрица Жордана, которая определяется однозначно, с точностью до перестановки

клеток.

Эквивалентная формулировка в матричной форме:

Пусть A Mn(F ) и F — алгебраически замкнутое поле. Тогда существует такая матрица Жордана J(A), что A = T −1J(A)T , где T

— обратимая матрица. Матрица Жордана J(A) определяется однозначно, с точностью до перестановки клеток.

В этом параграфе мы сведём построение матрицы Жордана к φ- инвариантному подпространству U, где φ|U нильпотентно.

64

Пусть φ L(V, V ) и dimF (V ) = n. Для любого λ Spec (φ) обозначим через Vλ := {v V : φ (v) = λv} множество собственных векторов, соответствующих λ Spec (φ), и нулевой.

n o

Положим V (λ) = v V : (φ − λ · id)k (v) = 0, k N — множество корневых векторов, соответствующих λ Spec (φ). Элемент v V называется корневым вектором высоты k, если (φ − λ · id)k (v) = 0 и (φ − λ · id)k−1 (v) ̸= 0.

Так как равенство φ (v) = λv эквивалентно (φ − λ · id) (v) = 0, то Vλ V (λ) и собственные векторы являются корневыми векторами высоты 1.

Лемма 1. 1. Vλ, V (λ) — подпространства в V .

2. V (λ) = {v V : (φ − λid)n (v) = 0} , где n = dimF (V ).

Доказательство. 1. 0 Vλ V (λ), а потому Vλ, V (λ) ̸= . Для

любых α, β F , u, v Vλ имеем φ (αu + βv) = αφ (u) + βφ (v) =

λ (αu + βv). Следовательно, αu + βv Vλ и Vλ — линейное подпространство в V .

Для любых α, β F , u, v Vλ существуют такие k, m N, что

(φ − λ · id)k (u) = (φ − λ · id)m (v) = 0. Пусть s = max {k, m} , тогда

(φ − λ · id)s (αu + βv) = α (φ − λ · id)s (u) + β (φ − λ · id)s (v) = 0.

Следовательно, αu + βv V (λ) и V (λ) — подпространство в V .

2. Пусть a1, . . . , am — некоторый базис V (λ). Ясно, что m ≤ n =

dimF (V ) . Тогда существуют такие ki, i = 1, . . . , m, что (φ − λ · id)ki (ai)

= 0. Пусть k = max {k1, . . . , km} . Для любых αi F, i = 1, . . . , m, выполняется

mm

(φ − λ · id)k Xαiai = Xαi (φ − λ · id)kai = 0

i=1 i=1

и (φ − λ · id) нильпотентно на V (λ). В силу следствия 1 § 11 индекс

Теорема 1 (Жордана). (Представление пространства в виде пря-

мой суммы инвариантных корневых подпространств.)

p

Пусть φ LF (V, V ), fφ (x) = Q (x − λi)ni , где λi ̸= λj, при i ̸= j,

i=1

Spec (φ) = {λ1, . . . , λp} F. Тогда

65

1. V = V (λ1) . . . V (λp), где V (λi) — φ-инвариантные подпространства в V .

2. dimF V (λi) = ni и Spec φ|V (λi) = λi, т. е. λi — единственное соб-

ственное значение φ на V (λi) , i = 1, . . . , p.

3. преобразование (φ − λi · id) нильпотентно на V (λi) и невырождено

i=1

Напомним, что для любого преобразования ψ L (V, V ) множество ψ (V ) = {ψ (v) : v V } является линейным пространством. Значит,

Wi = fi (φ) gi (φ) V = {fi (φ) gi (φ) (v) : v V }

является линейным подпространством в V при i = 1, . . . , p. Заметим, что

φ (Wi) = φfi (φ) gi (φ) (V ) = fi (φ) gi (φ) φ (V ) fi (φ) gi (φ) (V ) Wi

для любого i = 1, . . . , p, что означает φ-инвариантность Wi. По теореме Гамильтона — Кэли имеем:

(φ − λi · id)ni Wi = (φ − λi · id)ni fi (φ) gi (φ) (V ) = fφ (φ) gi (φ) (V ) = 0,

а потому Wi V (λi) . Подставив x = φ в (1), получим

66

!

Пусть v V (λi) ∩ V (λj) . Тогда v =

По пункту 2) леммы 1 (φ − λi · id)n v = 0. Более того, имеем:

Очевидно, что многочлены ai (x) = (x − λi)n и bi (x) = Q (x − λj)n,

j̸=i

i = 1, . . . , p, взаимно просты. Следовательно, существуют такие ci (x) и di (x) F [x] , что ci (x) · ai (x) + di (x) · bi (x) = 1, откуда

ci (φ) · ai (φ) + di (φ) · bi (φ) = id,

̸

V = V (λ1) . . . V (λp) .

Имеем: V = W1 +. . .+Wp, Wi V (λi) , i = 1, . . . , p. Следовательно,

V = W1 . . . Wp, откуда Wi = V (λi) = fi (φ) gi (φ) V и V (λi) являются

φ-инвариантными при i = 1, . . . , p. Пункт 1) теоремы доказан. Далее,

(φ − λi · id)ni V (λi) = (φ − λi · id)ni fi (φ) gi (φ) V = fφ (φ) gi (φ) V = 0,

и (φ − λi · id) нильпотентно на V (λi), i = 1, . . . , p. Тогда минимальный многочлен φ на V (λi) является делителем (x − λi · id)ni , i = 1, . . . , p. Следовательно, Spec(φ|V (λi) ) = λi, i = 1, . . . , p.

Выберем в каждом V (λi) базис, тогда их объединение a1, . . . , an — базис V . В этом базисе по лемме 1 § 8

67

где Ai Mmi (F ), mi = dimF V (λi). По лемме 1 § 10 fAi (x) = (x − λi)mi , i = 1, . . . , p, и по лемме 1 § 8

где λi ̸= λj при i ̸= j. Так как F [x] — факториальное кольцо, то mi = ni при i = 1, . . . , p. Следовательно, dimF V (λi) = ni, i = 1, . . . , p, и пункт 2) теоремы доказан.

Осталось доказать, что (φ − λi · id) — невырожденное преобразова-

§14. Теорема Жордана — существование жордановой нормальной формы

Доказательство теоремы мы начнём со случая нильпотентного преобразования. Пусть φ L (V, V ) и φ нильпотентно индекса m на V . В силу следствия 1 § 11 m ≤ n = dimF (V ).

Система линейно независимых векторов a, φ (a) , . . . , φk−1 (a), где φk (a) = 0, называется цепочкой длины k. Ясно, что h(a) = k. С другой стороны, в силу леммы 1 § 11 для любого a V такого, что h(a) = k, множество a, φ (a) , . . . , φk−1 (a) образует цепочку.

Базис пространства V , состоящий из цепочек ai, φ (ai) , . . . , φki−1 (ai), где i = 1, . . . , p, k1 + . . . + kp = n, называется базисом Жордана. Ясно, что в этом базисе

Лемма 1. Пусть φ L (V, V ) и φ нильпотентно индекса m на V . Тогда φ имеет базис Жордана.

Доказательство индукцией по m. При m = 1 имеем φ = 0. Тогда любой базис a1, . . . , an, n = dimF (V ), является объединением цепочек

68

длины 1, т. е. образует базис Жордана. Предположим, что утверждение верно для преобразований индекса ≤ m − 1. Рассмотрим подпространство φ (V ) V . Ясно, что φ (V ) является φ-инвариантным и φ нильпотентно на φ (V ) индекса m − 1. По предположению индукции φ|φ(V ) имеет базис Жордана. Так как для любого x φ (V ) существует y V такой, что x = φ (y), то можно записать этот базис в виде

p

φ (ai) , . . . , φki (ai), i = 1, . . . , p, P ki = dimF φ (V ) . Докажем, что си-

i=1

стема {ai, φ (ai) , . . . , φki (ai) , i = 1, . . . , p} состоит из линейно независимых векторов. Пусть

φ(V ) при i = 1, . . . , p, j = 1, . . . , ki. Следовательно, P αiki φki (ai) = 0

i=1

p

и αiki = 0, i = 1, . . . , p, по тем же причинам. Если t = P (ki + 1) = n,

i=1

то построенные цепочки — базис Жордана. Если t < n, то дополним найденную систему векторами b1, . . . , bℓ до базиса V .

Для любого s = 1, . . . , ℓ имеем φ (bs) φ (V ) . Следовательно, мы можем однозначно разложить эти векторы по базису φ(V ):

pki

φ(bs) = XXβij(s)φj (ai) ,

i=1 j=1

где βij(s) F, s = 1, . . . , ℓ. С другой стороны, φ (bs) = φ (cs) , где

pki

Тогда φ (bs − cs) = 0, s = 1, . . . , ℓ, т. е. векторы bs −cs образуют цепочки длины 1.

69

Докажем, что φj(ai), bs − cs : i = 1, . . . , p, j = 0, . . . , ki, s = 1, . . . , ℓ

— базис V . Пусть

Следовательно, λ1 = . . . = λs = 0 и αij = 0, i = 1, . . . , p, j = 0, . . . , ki.

Так как построенный базис состоит из цепочек, то он является базисом Жордана. □

Следствие 1. Пусть φ L (V, V ) и Spec φ = {λ}. Тогда существу-

ет такой базис a1, . . . , an, что [φ]a,...,an = J (φ) — матрица Жордана. Доказательство. Рассмотрим ψ = (φ − λ · id). По теореме Гамильтона — Кэли ψn = (φ − λ · id)n = fφ (φ) = 0. Следовательно, ψ ниль-

потентно на V . Пусть {ai, ψ (ai) , . . . , ψki−1 (ai) : i = 1, . . . , p} — базис Жордана для ψ. Тогда в этом базисе имеем при i = 1, . . . , p, j =

0, . . . , ki − 1 :

Теорема 1 (Жордана о существовании нормальной жордановой формы). Пусть φ L (V, V ) , dimF (V ) = n и F — алгебраически замкнутое поле. Тогда существует такой базис a1, . . . , an простран-

ства V , что [φ]a1,...,an = J (φ) — матрица Жордана. Доказательство. Так как F — алгебраически замкнутое поле, то

p

f (x) = Y (x − λi)ni , λi ̸= λj при i ̸= j.

i=1

p

В силу теоремы 1 § 13 имеем V = V (λi), где V (λi) является φ-

i=1

инвариантным и Spec φ|V (λi) = {λi}, i = 1, . . . , p. В силу следствия 1

70