Лекции по алгебре. В 2 частях. Ч.2. Учебное пособие

§2. Длина вектора и расстояние. Неравенство Коши – Буняковского

Пусть V — унитарное пространство над F . Для a V число a = p(a, a) называется длиной вектора a. Ясно, что : V → R. Отметим простейшие свойства длины:

1) a = 0 a = 0 :

p

a = 0 (a, a) = 0 (a, a) = 0 a = 0 a = 0.

2) для любых α F , a V выполняется αa = |α| · a :

Вектор a V называется нормированным, если a = 1. Таким образом, aa — нормированный вектор для любого ненулевого a V .

Теорема 1 (неравенство Коши — Буняковского). Для любых a, b V выполняется неравенство |(a, b)| ≤ a · b , причём равенство достигается в том и только в том случае, когда a и b линейно зависимы.

Доказательство. Для любого λ F имеем (a − λb, a − λb) ≥ 0, или

(a, a) − (λb, a) − (a, λb) + (λb, λb) ≥ 0,

(a, a) − λ(a, b) − λ (a, b) + λλ (b, b) ≥ 0.

Если b = 0, то доказываемое неравенство тривиально. Поэтому счита-

Следовательно, (a, a) · (b, b) − (a, b) · (a, b) ≥ 0 и (a, a) · (b, b) ≥ |(a, b)|2. Таким образом,

|(a, b)| ≤ a · b .

Если a и b линейно независимы, то a − λb ̸= 0 для любого λ F и (a − λb, a − λb) > 0. Повторяя рассуждения, получим |(a, b)| < a · b . Если a и b линейно зависимы, например, a = αb для α F , то |(a, b)| =

q

|(αb, b)| = |α|·|(b, b)| = |α| p(b, b)p(b, b) = |α|2 (b, b)· b = a · b . □

81

Следствие 1. Для любых α1, . . . , αn, β1, . . . , βn C выполняется

qq

00 0

Следствие 2. Пусть V — унитарное пространство. Тогда для любых a, b V выполняется неравенство a + b ≤ a + b (неравенство треугольника).

Доказательство. Имеем a + b 2 = (a + b, a + b) = (a, a) + (a, b) + (a, b) + (b, b) = (a, a) + 2Re (a, b) + (b, b) . Так как Re (a, b) ≤ |(a, b)| ≤a·b , то a + b 2 ≤ (a, a)+2 a·b +(b, b) = a 2 +2 a·b + b 2 = ( a + b )2 . Следовательно, a + b ≤ a + b . □

Пусть V — линейное пространство над C. Отображение ρ : V ×V → R называется расстоянием на V , если выполнено следующее:

1)ρ (a, b) > 0, если a ̸= b; ρ (a, a) = 0;

2)ρ (a, b) = ρ (b, a) ;

3)ρ (a, b) + ρ (b, c) ≥ ρ (a, c) .

Следствие 3. Пусть V — унитарное пространство, тогда ρ (a, b) = a − b является расстоянием.

Доказательство. Пункты 1) и 2) очевидны. Докажем 3): ρ (a, c) =

a − c = a − b + b − c ≤ a − b + b − c = ρ (a, b) + ρ (b, c). □

82

§3. Процесс ортогонализации Грама — Шмидта

Векторы a, b V называются ортогональными, если (a, b) = 0. Обозначение: a b. Очевидно, что a b b a. Заметим, что 0 a для любого a V . Система векторов a1, . . . , an V называется ортогональной, если (ai, aj) = 0 при i ̸= j, 1 ≤ i, j ≤ n. Система векторов a1, . . . , an V называется ортонормированной, если

Лемма 1. Пусть a1, . . . , am — ортогональная система ненулевых векторов пространства V . Тогда:

1)a1, . . . , am — линейно независимая система;

2)система a1, . . . , am может быть дополнена до ортогонального базиса V ;

3)если a1, . . . , am — ортонормированная система, то она может быть дополнена до ортонормированного базиса.

m

Доказательство. 1. Пусть P αiai = 0, где αi F . Тогда для любого

i=1

m

i, 1 ≤ i ≤ n, имеем (P αiai, ai) = αi (ai, ai) = 0. Так как (ai, ai) ̸= 0, то

i=1

αi = 0.

2. В силу доказанного в предыдущем пункте a1, . . . , am — ли-

a1, . . . , am, am+1, . . . , as, m ≤ s ≤ n, выберем такую, что s — максимальное число. Так как m ≤ s ≤ n, такая система существует. Дока-

жем, что a1, . . . , as — базис V . Пусть x — произвольный вектор из V .

Обозначим αk = (x,ak) , k = 1, 2, . . . , s, и y = α1a1 + . . . + αsas. Тогда

(ak,ak)

(y, ak) = αk (ak, ak) = (x, ak), т. е. (x − y, ak) = 0 при k = 1, 2, . . . , s.

Значит, x − y = 0 и x = α1a1 + . . . + αsas. Следовательно, a1, . . . , as — базис V .

3. Так как a1, . . . , am — ортонормированная система, то она состоит из ненулевых векторов (поскольку (ai, ai) = 1). В силу пункта 2 существует ортогональная система a1, . . . , am, am+1, . . . , an ненулевых

83

Существует прямой способ построения ортонормированной базы.

Теорема 1 (процесс ортогонализации Грама — Шмидта). В любом конечномерном унитарном пространстве существует ортонормированный базис.

Доказательство. Выберем произвольный базис ℓ1, . . . , ℓn пространства V . Положим

a1 = ℓ1,

a2 = α2,1a1 + ℓ2,

−− − − − − − − − − − − − − −

ak = αk,1a1 + . . . + αk,k−1ak−1 + ℓk,

где α2,1, . . . , αk,k−1 F — неизвестные коэффициенты. Докажем, что можно найти такие коэффициенты α2,1, . . . , αk,k−1 F , что a1, . . . , ak

— ортогональная система, состоящая из ненулевых векторов. При k = 1 вектор a1 ненулевой.

Предположим, что a1, . . . , ak−1 — ортогональная система, состоящая из ненулевых векторов. Тогда

(a1, ak) = αk,1 (a1, a1) + (a1, ℓk) ,

(a2, ak) = αk,2 (a2, a2) + (a2, ℓk) ,

−− − − − − − − − − − − −−

(ak−1, ak) = αk,k−1 (ak−1, ak−1) + (ak−1, ℓk) .

так как (a1, a1) , . . . , (ak−1, ak−1) — ненулевые числа. Очевидно, что

ak ̸= 0, поскольку ℓ1, . . . , ℓk линейно независимы. Тогда a1, . . . , ak — искомая система. □

§4. Ортогональные суммы и ортогональные дополнения

Два подмножества M, N V называются ортогональными, если (a, b) = 0 для любых a M, b N. Обозначение: M N. Сумма

m

подпространств U = P Ui называется ортогональной, если Ui Uj для

i=1

всех 1 ≤ i ̸= j ≤ m. Множество всех векторов ортогональных к M, где

84

M V , называется ортогональным дополнением к M и обозначается через M . Таким образом, M = {m V : (m, M) = 0}.

Лемма 1. 1. Если M N, то M ∩ N = или M ∩ N = 0.

m

2. Если U = P Ui — ортогональная сумма подпространств, то

i=1

3. Для любого подмножества M V множество M является подпространством пространства V .

Доказательство. 1. Пусть M ∩ N ̸= и a M ∩ N. Тогда (a, a) = 0

и a = 0.

2. Нетрудно заметить, что Ui ( Uj) для любого 1 ≤ i ≤ m,

3.Для любых a, b M и α, β F имеем (αa + βb, M) α (a, M) +

β(b, M) = 0. Следовательно, αa + βb M , (0, M) = 0, а потому M

§5. Пространство как ортогональная сумма подпространств

Теорема 1. Пусть U — произвольное подпространство в V . Тогда

V = U U .

Доказательство. Пусть e1, . . . , em — ортонормированная база U и em+1, . . . , es — ортонормированная база U . Тогда e1, . . . , es — ортонормированная система векторов. Предположим, что s < dimF (V ) = n. В силу леммы 1 § 3 систему e1, . . . , es можно дополнить до ортонормированной базы V . Пусть e — один из дополнительных векторов. Тогда e U, т. е. e U . Противоречие. Следовательно, s = n = dimF V . □

Следствие. U = U.

85

Доказательство. Очевидно, что U U . Пусть x — произвольный вектор из U . Тогда x = a + b, где a U, b U . Имеем 0 = (x, b) = (a + b, b) = (a, b) + (b, b) = (b, b). Следовательно, (b, b) = 0, т. е. b = 0 и x = a. Таким образом, U U. □

§6. Существование и единственность сопряжённого преобразования

Пусть V — n-мерное унитарное пространство над F . Линейное преобразование φ L (V, V ) называется сопряжённым к линейному преобразованию φ L (V, V ) тогда и только тогда, когда (φ (x) , y) = (x, φ (y)) для любых x, y V .

Предложение 1. Пусть φ, ψ L (V, V ) такие, что (φ (x) , y) = (ψ (x) , y) для любых x, y V . Тогда φ = ψ.

Доказательство. Для любых x, y V имеем (φ (x) − ψ (x) , y) = 0.

Следовательно, (φ (x) − ψ (x) , φ (x) − ψ (x)) = 0, т. е. φ (x) − ψ (x) = 0. Значит, для любого x V выполняется φ (x) = ψ (x), т. е. φ = ψ. □

Теорема 1 (о существовании и единственности сопряжённого преобразования). Для любого φ L (V, V ) существует единственное сопряжённое преобразование φ L (V, V ) .

Доказательство. Выберем произвольный ортонормированный базис ℓ1, . . . , ℓn пространства V . Для любого x V положим

n

X

φ (x) = (x, φ (ℓk))ℓk.

k=1

Докажем, что φ L (V, V ). Для любых α, β F и x, y V имеем

n

X

φ (αx + βy) = (αx + βy, φ (ℓk)) ℓk =

k=1

Докажем теперь, что φ сопряжено к φ. Пусть x — произволь-

86

§7. Матрица сопряжённого преобразования

Лемма 1. Для любых φ, ψ L (V, V ) выполнены следующие свойства:

1)(φ ) = φ;

2)(φ + ψ) = φ + ψ , (αφ) = α · φ для любого α F ;

3)(φ ◦ ψ) = ψ ◦ φ ;

4)если U — φ-инвариантное подпространство V , то U является φ -инвариантным.

Доказательство. Для любых x, y V имеем

(φ (x) , y) = x, (φ ) (y) = (y, φ (x)) = (φ (y) , x) = (x, φ (y)) ; ((φ + ψ) (x) , y) = x, (φ + ψ) (y) = (φ (x) + ψ (x) , y) =

= (φ (x) , y) + (ψ (x) , y) = (x, φ (y)) + (x, ψ (y)) = (x, (φ + ψ ) (y)) ; ((αφ) (x) , y) = x, (αφ) (y) = α (φ (x) , y) = α (x, φ (y)) = (x, α · φ (y)) ; ((φ ◦ ψ) (x) , y) = x, (φ ◦ ψ) (y) = (ψ (φ (x)) , y) = (φ (x) , ψ (y)) =

= (x, φ (ψ (y))) = (x, (ψ ◦ φ ) (y)) .

Значит, по предложению 1 § 6 φ = (φ ) , (φ + ψ) = φ + ψ , (αφ) = α · φ , (φ ◦ ψ) = ψ ◦ φ . По теореме 1 § 5 V = U U . Для любых

x U, y U справедливо

(x, φ (y)) = (φ (x) , y) = 0,

т. е. φ (y) U . Следовательно, U является φ -инвариантным. □

87

Лемма 2 (о матрице сопряжённого преобразования). Пусть ℓ1, . . . , ℓn — ортонормированный базис V , тогда для любого преобразования φ L (V, V ) справедливо равенство

τ

[φ ]ℓ1,...,ℓn = [φ]ℓ1,...,ℓn .

n

Доказательство. Для любого 1 ≤ i ≤ n имеем φ (ℓi) = P αijℓj, где

j=1

[φ]ℓ1,...,ℓn = (αij) . Тогда для любых 1 ≤ k ≤ n, 1 ≤ i ≤ n справедливо

nn

§8. Канонический вид нормального преобразования унитарного пространства

Пусть V — n-мерное унитарное пространство над F , где F R или F C. Преобразование φ L (V, V ) называется нормальным, если

φ ◦ φ = φ ◦ φ; φ называется эрмитовым (симметрическим в случае F R), если φ = φ ; φ называется унитарным (ортогональным в

случае F R), если φ ◦ φ = φ ◦ φ = id. Очевидно, что эрмитовы и унитарные преобразования являются нормальными.

Дадим соответствующие определения для матрицы A Mn (F ): A

— нормальная матрица, если A · (A)τ = (A)τ · A; A — эрмитова (симметрическая в случае F R) матрица, если A = (A)τ (A = Aτ в случае

F R); A — унитарная (ортогональная в случае F R) матрица, если A−1 = (A)τ (A−1 = Aτ в случае F R).

Лемма 1. Пусть φ — нормальное преобразование пространства V . Тогда:

1) x — собственный вектор φ, соответствующий λ Spec φ, то-

гда и только тогда, когда x — собственный вектор φ , соответствующий λ Spec φ ;

88

тогда и только тогда, когда существует такой ортонормированный базис ℓ1, . . . , ℓn пространства V , состоящий из собственных векторов преобразования φ, что

0αn

Доказательство. Так как F C, то существует, по крайней мере, одно собственное значение для φ и соответствующий ему собственный вектор. Пусть φ (a) = α1a, где a ̸= 0. Обозначим V1 = L (a) . Докажем теорему индукцией по n = dimC V . В случае n = 1 имеем V = L (a), и ℓ1 = a1 a — искомый базис. Пусть утверждение верно для

всех φ L (U, U) , dimC U ≤ n−1. Рассмотрим унитарное пространство

V , dimC V = n. По теореме 1 § 5 имеем V = V1 V1 , где dimC V1 = n−1. Докажем, что V1 является φ-инвариантным. Для любого x V1 име-

ем (a, φ (x)) = (φ (a) , x) = (α1a, x) = α1 (a, x) = 0. Следовательно,

φ (x) V1 и V1 является φ-инвариантным. Очевидно, что φ|V нор-

мально, так как φ нормально на V . Поэтому по предположению 1индукции существует ортонормированный базис ℓ2, . . . , ℓn пространства V1 , состоящий из собственных векторов φ. Тогда ℓ1, . . . , ℓn — ортонорми-

89

§9. Изоморфизм унитарных пространств

Унитарные пространства V1 и V2 над полем F называются изоморфными , если существует такое взаимно однозначное линейное отображение φ : V1 → V2, что (a, b) = (φ (a) , φ (b)) для любых a, b V1.

Тот факт, что V1 изоморфно V2, будем обозначать V1 V2. Пусть

ℓ1, . . . , ℓn — базис V1, тогда нетрудно заметить, что φ (ℓ1) , . . . , φ (ℓn) — базис V2. Следовательно, если V1 V2, то dimF V1 = dimF V2. Верно и

обратное утверждение.

Теорема 1. Если V — n-мерное унитарное пространство над F , то V Fn.

Доказательство. Выберем в V произвольный ортонормированный

базис ℓ1, . . . , ℓn. В силу теоремы 1 § 1.12 [ ] = [ ]ℓ1,...,ℓn — изоморфизм пространств V и Fn. Докажем, что отображение [ ] сохраняет скалярное

произведение.

§10. Канонический вид нормального преобразования евклидова пространства

Лемма 1. Пусть φ — нормальное преобразование евклидова про-

странства V . Тогда существует такое φ-инвариантное подпространство U в V , что dimR U = 1 или dimR U = 2. При этом V = U U , где U является φ-инвариантным. Более того, если dimR U = 1,

то в U можно выбрать такой ортонормированный базис {a}, что φ (a) = αa, α R; а если dimR U = 2, то в U можно выбрать такой ортонормированный базис {a, b}, что φ (a) = αa − βb, φ (b) = βa + αb, где α, β R.

90