Лекции по алгебре. В 2 частях. Ч.2. Учебное пособие

Нормируем ai: fi = ||ai|| = ai , тогда ϕ(ei) = ρifi, i = 1, . . . , k. Да-

ai ρi

лее, так как (Im ϕ) = Ker ϕ , то выберем за fk+1, . . . , fn произвольный ортонормированный базис Ker ϕ ; тогда f1, . . . , fn — также ортонормированный базис. Имеем:

Ортонормированные базисы, связанные соотношениями (1), называются сингулярными базисами.

Таким образом, нами доказана следующая теорема.

Теорема 1. Для любого линейного преобразования унитарного пространства существуют сингулярные базисы. □

Теорема 2. Для любого φ L (V, V ) существуют такие ψ, ψ1 ≥ 0 и унитарные u, u1, что φ = uψ = ψ1u1. При этом

1) ψ = √φ φ, ψ1 = √φφ определяются однозначно;

2)если φ обратимо, то u, u1 определяются однозначно;

3)φ нормально ψu = uψ или u1ψ1 = ψ1u1.

Доказательство. Пусть e1, . . . , en и f1, . . . , fn — сингулярные базисы преобразования φ. Положим u(ei) = fi, ψ(fi) = ρifi. Тогда u унитарно,

ψ ≥ 0. Кроме того, φ(ei) = ρifi = ψ(fi) = ψu(ei), откуда всё следует. Далее, φ = ψu−1, поэтому ϕϕ = ψ2 и ψ определено однозначно. Если

101

Глава 6. Квадратичные формы

В этой главе мы изучим квадратичные формы и пары форм над R и их канонический вид.

§1. Матрица квадратичной формы, её поведение при замене неизвестных

Однородный многочлен F = F (X) = f (x1, . . . , xn) R[x1, . . . , xn] степени 2 называется квадратичной формой над R.

Пусть F = F (X) = αijxixj, где αij R и αij = αji. Тогда

A = (αij) называется матрицей формы F = F (X), X = (x1, . . . , xn)

называются неизвестными формы F .

Имеем F = F (X) = XAXτ , где X = (x1, . . . , xn). Отметим, что Aτ = A, т. е. A — симметрическая матрица.

Пусть Y = (y1, . . . , yn) — новые неизвестные и

x1 = t11y1 + . . . + tn1yn,

− − − − − − − − − − −

102

§2. Приведение квадратичной формы к главным осям

Форма F = F (X) = α1x21 + . . . + αnx2n называется диагональной. Если αi = ±1, то F называется нормальной формой.

Теорема 1. Для любой F = F (X) = XAXτ существует такое ортогональное преобразование Q неизвестных X в Y , что F = F (Y ) = Y DY τ — диагональная форма.

Пусть ¯ { } — некоторый ортонорми-

Доказательство. ℓ = ℓ1, . . . , ℓn

рованный базис Rn, [φ]¯ = A = Aτ . Следовательно, φ — симметрическое

ℓ

преобразование. По теореме 1 § 5.14 существует такой ортонормирован-

ный базис a¯ = {a1, . . . , an}, состоящий из собственных векторов φ, что

[φ]a¯ := D := diag (α1, . . . , αn) , αi R. Пусть Q — матрица перехода

от ¯ к . По лемме 1 § 5.11 имеем τ −1. Пусть , тогда

ℓ a¯ Q = Q X = Y Q

F = F (Y ) = Y QAQτ Y τ = Y QAQ−1Y τ = Y [φ]a¯ Y τ = Y DY τ . □

§3. Алгоритм Лагранжа приведения формы к диагональному виду

Теорема 1 (алгоритм Лагранжа). Любая квадратичная форма

n

P

F = F (X) = αijxixj приводится к диагональному виду методом

i,j=1

выделения полных квадратов.

Доказательство индукцией по n. При n = 1 имеем F = F (x1) =

i,j=2

103

2. Предположим теперь, что αii = 0, 1 ≤ i ≤ n. Тогда, например, α12 ̸= 0. Имеем:

F = 2x1 (α12x2 + . . . + α1nxn) + F1 (x2, . . . , xn) .

Рассмотрим следующую замену неизвестных:

y1 = x1,

y2 = α12x2 + . . . + α1nxn − x1,

y3 = x3, . . . , yn = xn,

то есть (y1, . . . , yn) = (x1, . . . , xn) T с обратимой матрицей

Тогда F = 2y1 (y1 + y2)+F1 (y1, . . . , yn) = 2y12+2y1y2+F1 (y1, . . . , yn) ,

где F1 (y1, . . . , yn) не содержит слагаемого αy12. Таким образом, мы при-

ло σ (F ) = σ = s − (r − s) = 2s − r называется сигнатурой формы F = F (X). Заметим, что если мы знаем и сигнатуру, и ранг формы, то

104

мы знаем и число положительных, и число отрицательных коэффициентов в диагональной форме.

Теорема 1. Сигнатура формы не зависит от способа приведения к диагональному виду.

Доказательство. Пусть F = XAXτ = Y D1Y τ = ZD2Zτ , где

D1 = diag (α1, . . . , αs, −αs+1, . . . , −αr, 0, . . . , 0) ,

D2 = diag (β1, . . . , βt, −βt+1, . . . , −βr, 0, . . . , 0) ,

αi > 0, βi > 0, X = Y T1, X = ZT2. Пусть s < t. Тогда Y T1 = ZT2 влечёт

Y = ZT , где T = T2T1−1 — матрица перехода от Y к Z.

§5. Формула Якоби приведения формы к диагональному виду

Пусть A Mn (R). Миноры D0 (A) = 1, D1(A) = a11,

105

Теорема 1 (формула Якоби). Для любой квадратичной формы

F = F (X) = XAXτ , где r (A) = r > 0, D1 (A) ̸= 0, . . . , Dr (A) ̸= 0, существует такая замена неизвестных X = ZT , что

где y1 = a11x1 + . . . + anxn, y2 = x2, . . . , yn = xn. Положим bij = aij −

n

Тогда i-строка матрицы C равна разности между i-строкой A и

1-строкой A, умноженной на a1ia−111. Имеем r (C) = r (A). Следовательно, r (B) = r − 1. Далее, D0 (C) = D0 (A) = 1, D1 (C) = a11 =

D1 (A) , D2 (C) = D2 (A) = a11D1 (B) ̸= 0, . . . , Di (C) = Di (A) =

a11Di−1 (B) ̸= 0, . . . , Dr (C) = Dr (A) = a11Dr−1 (B) ̸= 0.

По индукции существует замена (y2, . . . , yn) = (t2, . . . , tn) T такая,

106

положительной определённости формы

Квадратичная форма F называется положительно определённой, если для всех X Rn, X ̸= 0, справедливо F (X) > 0. Обозначение:

F > 0.

Имеем: F (X) = XAXτ = (XA, X). Так как Aτ = A, то по определению (XA, X) = F (X) > 0 тогда и только тогда, когда A > 0. Последнее по лемме 1 § 5.13 эквивалентно тому, что A = Aτ и λi > 0 для всех λi Spec (A). Это равносильно существованию такой матри-

цы U, что U−1 = Uτ и UAU−1 = diag (α1, . . . , αn) , αi > 0, а последнее возможно тогда и только тогда, когда F = α1z12 + . . . + αnzn2, αi > 0, или F = y12 + . . . + yn2 .

Теорема 1. Форма F = F (X) = XAXτ положительно определена тогда и только тогда, когда D1 (A) > 0, . . . , Dn (A) > 0.

Доказательство. Пусть форма F положительно определена. До-

F (x1, . . . , xk+1, 0, . . . , 0) = G (x1, . . . , xk+1) > 0, где

z1 = t11x1 + . . . + tk+1,1xk+1, . . . , zk+1 = t1,k+1x1 + . . . + tk+1,k+1xk+1,

т. е. (z1, . . . , zk+1) = (x1, . . . , xk+1) T , T = (tij) — невырожденная матрица.

107

вестных, то система имеет нетривиальное решение: (x1, . . . , xk+1) = (γ1, . . . , γk+1) ̸= 0. Тогда G (γ1, . . . , γk+1) = 0. Противоречие. Следо-

положим, что Di−1 (A) Di (A) < 0 для некоторого 1 ≤ i ≤ n. Рассмотрим систему

Матрица T обратима, поэтому существует решение (γ1, . . . , γn) ̸= 0 и

1

F (γ1, . . . , γn) = Di−1 (A) Di (A) < 0.

Следовательно, Di−1 (A) Di (A) > 0 для любого i. Так как D0 (A) = 1 > 0, то D1 (A) > 0. Продолжая так далее, получаем Di (A) > 0 для всех i.

§7. Одновременная диагонализация двух квадратичных форм

Теорема 1. Пусть F = F (x1, . . . , xn) > 0, G = G (x1, . . . , xn). Тогда существует замена X = Y T такая, что F = y12 + . . . + yn2 , G = β1y12 +

. . . + βnyn2 , где β1, . . . , βn с точностью до перестановки однозначно определены формами F и G.

Доказательство. Пусть F = XAXτ , G = XBXτ .

Существование. Пусть X = ZT приводит F к нормальному виду:

108

Приведём ZB1Zτ к главным осям: Z = Y Q, где Q−1 = Qτ ,

i=1

Единственность. Пусть замена X = Y T1 приводит нашу пару форм к виду

F = y12 + . . . + yn2 ,

G = β1y12 + . . . + βnyn2 ,

азамена X = ZT2 — к виду

F = z12 + . . . + zn2,

G = γ1z12 + . . . + γnzn2.

109

Глава 7. Базисы Грёбнера

В этой главе даются основы теории систем произвольных алгебраических уравнений над полями.

§1. Эквивалентность систем алгебраических уравнений. Теорема Гильберта о базисе

Пусть F — поле, fi(x1, . . . , xn) F [x1, . . . , xn], i Ω. Системой алгебраических уравнений (далее — системой) называется система вида

{fi(x1, . . . , xn) = 0, i Ω}. Если |Ω| < ∞, то система называется конечной. Две системы называются эквивалентными, если множества их

решений совпадают. Обозначение: S1 S2.

Лемма 1. Всякая конечная система над R эквивалентна системе из одного уравнения.

Доказательство. Система {fi(x1, . . . , xn) = 0, i = 1, . . . , m} эквивалентна уравнению

f12(x1, . . . , xn) + . . . + fm2 (x1, . . . , xn) = 0.

Упражнение. Доказать лемму 1 для произвольного алгебраически незамкнутого поля.

Лемма 2. Над полем C система {x = 0, y = 0} не эквивалентна никакому уравнению.

Доказательство. Пусть уравнение f(x, y) = 0 имеет решение x = 0, y = 0. Пусть f(x, y) = a0(y) + a1(y)x + . . . + am(y)xm, где am(y) ̸=

Пусть A — ассоциативное коммутативное кольцо с 1. Говорят, что идеал I A порождается элементами ai A, i Ω, если I := (ai, i Ω) := {ai1 r1 + . . . + ain rn : ri A}, т. е. I есть наименьший идеал

110