Лекции по алгебре. В 2 частях. Ч.2. Учебное пособие

Понятие Н.О.Д. (a1, . . . , an) можно определить для произвольного числа элементов a1, . . . , an. Ввиду только что доказанного получаем, что (a1, . . . , an) ((a1, . . . , an−1), an).

Пусть K — целостное кольцо и a, b K. Наименьшим общим кратным (Н.О.К.) элементов a и b называется такой элемент m K, для которого справедливо следующее:

1)a|m, b|m;

2)если a|c и b|c, то m|c.

Обозначим Н.О.К. элементов a и b через [a, b]. Как и в случае Н.О.Д., элемент [a, b] определён с точностью до умножения на регулярный элемент.

Теорема 2. Пусть K — целостное кольцо и для a, b K существуют (a, b) и [a, b]. Тогда 1) если [a, b] = 0, то или a = 0, или b = 0; 2) если a, b ̸= 0, m = [a, b] и ab = dm, то d (a, b).

Доказательство. Пусть [a, b] = 0. Поскольку a|ab и b|ab, то [a, b]|ab, т. е. 0|ab. Следовательно, ab = 0c = 0. Отсюда получаем, что a = 0 или

b = 0.

Докажем 2). Пусть ab = dm. Так как m = [a, b], то m = a′a и m = b′b. Следовательно, ab = dm = da′a, но тогда b = da′, а потому d|b и аналогично d|a.

Пусть k|a и k|b, т. е. a = ka1, b = kb1. Положим c = ka1b1, тогда a|c и b|c. Следовательно, m|c, т. е. c = mm1. Поэтому kmm1 = kc = ab = dm

и km1 = d, т. е. k|d. Таким образом, d (a, b). □

Пусть K — целостное кольцо, определим на K × K отношение , полагая a b тогда и только тогда, когда a и b — ассоциированные элементы, т. е. a = ub, где u — регулярный элемент кольца K.

Предложение 1. Отношение является отношением эквивалентности.

Доказательство. Поскольку a = 1 · a, то a a, т. е. отношение симметрично.

Если a = ub, где u — регулярный элемент, то b = u−1a, т. е. a b влечёт b a, поэтому отношение рефлексивно.

Пусть a b и b c. Тогда в силу определения получаем, что a = ub и b = vc. Следовательно, a = uvc. Так как uv — регулярный элемент, то a c. □

11

Если K — факториальное кольцо, то класс эквивалентности, содержащий простой элемент, состоит только из простых элементов. Из каждого такого класса выберем по одному элементу и обозначим полученное множество через P. Таким образом, P — это множество всех неассоциированных простых элементов кольца K. Тогда для любых элементов a, b кольца K (если a = upk11 . . . pkrr и b = vpl11 . . . plrr — их разложения на простые сомножители из множества P, т. е. pi P, i = 1, . . . , r, u, v

— регулярные элементы) из теоремы 1 получаем следующие утверждения:

1)a|b тогда и только тогда, когда ki ≤ li, i = 1, . . . r;

2)[a, b] ps11 . . . psrr , где si = max{ki, li};

3)(a, b) pt11 . . . ptrr , где ti = min{ki, li}.

§3. Евклидовы кольца. Алгоритм Евклида

Пусть K — целостное кольцо и K = K \ {0}. Предположим, что определено отображение δ : K 7→N {0}, для которого выполнены следующие условия:

(E1) для любых a, b K , δ(ab) ≥ δ(a);

(E2) для любых a, b K существуют такие q, r K (q — неполное частное, r — остаток), что a = qb + r, δ(r) < δ(b) или r = 0.

В этом случае K называется евклидовым кольцом.

Примеры. 1. Кольцо целых чисел Z с отображением δ(a) = |a| является евклидовым кольцом. 2. Кольцо многочленов P [x], где P — поле и δ(f) = deg f — евклидово кольцо.

Коммутативное кольцо называется кольцом главных идеалов, если каждый идеал кольца является главным.

Предложение 1. Пусть K — евклидово кольцо. Тогда K — кольцо главных идеалов.

Доказательство. Пусть I — идеал кольца K. Выберем в I такой ненулевой элемент a, для которого δ(a) является минимальным. Пусть b — произвольный элемент из I. По (E2) существуют такие элементы q, r K, что b = qa + r и δ(r) < δ(a) или r = 0. Ввиду выбора элемента a получаем, что r = 0, т. е. b = aq. □

Алгоритм Евклида нахождения Н.О.Д. Пусть a и b — ненулевые элементы евклидова кольца K. Тогда в силу (E2) можно рассмотреть

12

Докажем, что на каждом i-м шаге деления справедливо равенство ri = aia + bib для некоторых ai, bi K. Доказательство будем вести индукцией по числу шагов i.

Пусть i = 1. Тогда r1 = a + (−q1)b. Полагая a1 = 1, b1 = −q1, получим r1 = a1a + b1b. Предположим, что rk = aka + bkb для всех

k ≤ i. Тогда на (i + 1)-ом шаге имеем:

ri+1 = ri−1 − qi+1ri = ai−1a + bi−1b − qi+1(aia + bib).

Раскрывая скобки, получим:

ri+1 = (ai−1 − qi+1ai)a + (bi−1 − qi+1bi)b = ai+1a + bi+1b.

Таким образом, мы доказали следующую теорему.

Теорема 1. В евклидовом кольце K любые два ненулевых элемента a, b имеют Н.О.Д. По алгоритму Евклида можно найти такие u, v

K, что (a, b) = ua+vb. В частности, (a, b) = 1 тогда и только тогда,

Следствие 1. Пусть K — евклидово кольцо и a, b, c K. Тогда справедливы следующие утверждения:

1)если (a, b) = (a, c) = 1, то (a, bc) = 1;

2)если a|bc и (a, b) = 1, то a|c;

3)если b|a, c|a и (b, c) = 1, то bc|a.

Доказательство. 1. Поскольку (a, b) = (a, c) = 1, то по теореме 1 существуют такие элементы x, y, z, t кольца K, что ax + by = 1 и az + ct = 1. Следовательно, (ax + by)(az + ct) = 1. Раскрывая скобки, получаем: a(xaz + xct + byz) + bc(yt) = 1. Поэтому (a, bc) = 1.

13

2.Применяя теорему 1, получаем ax + by = 1 для некоторых x, y K. Следовательно, acx+bcy = c. Так как a|bc, то bc = at для некоторого t K. Отсюда получаем: c = acx + aty = a(cx + ty), т. е. a|c.

3.Поскольку a = bx = cy и bu + cv = 1, то abu + acv = a и a =

§4. Факториальность евклидовых колец

Лемма 1. Всякое евклидово кольцо K — кольцо с разложением.

Доказательство. Пусть a K . Предположим, что a = bc, где b, c

— необратимые элементы кольца K. Покажем, что δ(a) > δ(b). По (Е1) имеем δ(a) = δ(bc) ≥ δ(b). Пусть δ(a) = δ(b). Разделив b на a с остатком, получим b = qa + r, причём δ(r) < δ(a) = δ(b). Заметим, что r ̸= 0. Действительно, если r = 0, то a = aqc, и поэтому qc = 1, т. е. c — обратимый элемент. Тогда b = bcq + r, и значит r = b(1 − qc). Следовательно, ввиду свойства (E1) получаем δ(r) = δ(b(1 − ca)) ≥ δ(b) > δ(r). Противоречие. Следовательно, δ(a) > δ(b).

Пусть теперь a — произвольный элемент из K. Тогда либо a — простой элемент, либо a = bc, где b, c — необратимые элементы. Во втором случае по доказанному выше получаем δ(a) > δ(b) и δ(a) > δ(c). Точно

если p — простой элемент из K и p|ab, то либо p|a, либо p|b.

Пусть p не делит a, тогда (p, a) = 1. Поскольку p|ab и (p, a) = 1, то ввиду 2) следствия 1 § 3 получаем, что p|b. □

Следствие 1. Кольца Z и F [x], где F — поле, факториальны. □

§5. Примитивные многочлены. Лемма Гаусса

Рассмотрим кольцо многочленов K[x] над кольцом K. Пусть f(x)

n

— ненулевой многочлен из K[x] и f(x) = P aixi. Обозначим Н.О.Д.

i=0

элементов a0, a1, . . . , an через d(f). Элемент d(f) называется содержанием многочлена f(x). Пусть K — факториальное кольцо. Многочлен f(x) K[x] называется примитивным тогда и только тогда, когда d(f) 1, т. е. когда d(f) обратим.

14

Лемма Гаусса. Пусть K — факториальное кольцо. Тогда для любых f, g K[x] справедливо равенство d(fg) d(f)d(g). В частности, произведение примитивных многочленов — примитивный многочлен.

Доказательство. Начнём со второго утверждения. Пусть f(x) =

a0 + a1x + . . . + anxn, g(x) = b0 + b1x + . . . + bmxm — примитивные многочлены. Предположим, что d(fg) — необратимый элемент. Тогда

существует простой p K, который делит d(fg). Пусть ar, bs — первые коэффициенты многочленов f и g, не делящиеся на p. Коэффициент при xr+s в произведении fg имеет вид

cs+r = arbs + (ar−1bs+1 + ar−2bs+2 + . . .) + (ar+1bs−1 + ar+2bs−2 + . . .).

Поскольку

p|cs+r, p|(ar−1bs+1 + ar−2bs+2 + . . .), p|(ar+1bs−1 + ar+2bs−2 + . . .),

то p|arbs, откуда p|ar или p|bs. Противоречие. Следовательно, fg является примитивным многочленом.

α|(βb0, . . . , βbn) α|β(b0, . . . , bn) α|β.

Аналогично β|α, а потому α β.

Пусть теперь f, g — произвольные многочлены из K[x]. Тогда мы

имеем f = d(f)f0 и g = d(g)g0, где f0 и g0 — примитивные многочлены. По доказанному выше многочлен f0g0 является примитивным.

Ясно, что fg = d(f)d(g)f0g0. Если fg = d(fg)h, где h — примитивный многочлен, то d(fg) d(f)d(g). □

§6. Факториальность кольца многочленов над факториальным кольцом

Мы хотим доказать, что если K — факториальное кольцо, то K[x] — факториальное кольцо. Рассмотрим поле частных Q(K) кольца K. По следствию 1 § 4 Q(K)[x] — факториальное кольцо. Поэтому возможно попытаться от разложения элемента на простые множители в Q(K)[x] перейти к разложению на простые множители в K[x]. Напомним, что многочлен f(x) кольца K[x] называется неприводимым над K многочленом, если f(x) — простой элемент K[x].

15

Лемма 1. Пусть K — факториальное кольцо. Тогда справедливы утверждения:

1) если f, g примитивны в K[x] и f g в Q(K)[x], то f g в K[x]; 2) если f K[x], deg f > 0 и f — неприводим над K, то f непри-

водим над Q(K).

Доказательство. 1. Пусть f = rg, где r обратим в Q(K)[x]. Тогда r обратим в Q(K). Следовательно, r = ab , где a, b K . Поэтому f = ab g и b · f = a · g. В силу леммы Гаусса a b, т. е. a = ub, где u обратим в

K. Тогда f = ab g = ubb g = ug, т. е. f g в K[x].

2. Пусть f = gh, где g, h Q(K)[x]. Обозначим Н.О.К. всех знаменателей коэффициентов многочлена g(x) через b, а через c — Н.О.К. всех знаменателей коэффициентов многочлена h(x). Ясно, что bg, ch K[x].

Положим a = b · c, ge = bg, eh = ch. Тогда

af = (bc)gh = (bg)(ch) = ge· eh.

По лемме Гаусса получаем:

d(af) ad(f) d(ge· eh) d(ge) · d(eh).

Поскольку ge = d(ge)g0 и eh = d(eh)h0, где g0, h0 — примитивные многочлены в K[x], то

Теорема 1. Пусть K — факториальное кольцо. Тогда K[x] также является факториальным кольцом.

Доказательство. Пусть f(x) K[x] и deg f > 0. Представим многочлен f в виде af0, где a = d(f), а f0 — примитивный многочлен. В силу леммы Гаусса многочлен f0 разложим в кольце K[x] в произведение f1 · . . . · fs, где f1, . . . , fs — неприводимые примитивные многочлены. Следовательно, K[x] — кольцо с разложением на простые множители.

Пусть теперь f0 = g1 · . . . · gt — другое разложение многочлена f0 в кольце K[x] на простые множители. Тогда f1 · . . . · fs и g1 · . . . · gt — два разложения многочлена f0 в кольце Q(K)[x], причём по лемме 1 fi, gi — неприводимые в Q(K)[x] многочлены. Так как Q(K)[x] — евклидово кольцо, то оно факториально. Поэтому s = t и с точностью до перестановки сомножителей fi gi в кольце Q(K)[x]. Применяя опять лемму 1, получим, что fi gi в K[x]. Таким образом, f0 однозначно раскладывается на простые множители в K[x].

16

Так как K — факториальное кольцо, то d(f) можно однозначно разложить в K на простые множители p1 · . . . · pl, откуда f = d(f)f0 = p1 · . . . · pl · f1 · . . . · fs — однозначное разложение многочлена f в кольце K[x] на простые множители. Следовательно, K[x] — факториальное кольцо. □

§7. Неприводимые многочлены, признак неприводимости Эйзенштейна

Пусть K — целостное кольцо и f(x) — многочлен из K[x], у которого deg f > 0. Напомним, что f(x) неприводим в кольце K[x] f(x) является простым элементом в K[x].

Примеры. 1. Если f = ax + b и (a, b) = 1, то f неприводим. 2. Многочлен x2 + 1 неприводим в R[x], но приводим в C[x].

Лемма 1. Над любым полем P существует бесконечно много неприводимых многочленов.

Доказательство. Пусть p1, . . . , pn — все неприводимые в P [x] многочлены. Рассмотрим f = p1 · . . . · pn + 1. Тогда существует такой i {1, . . . , n}, что pi|f. Следовательно, pi|1. Противоречие. □

Теорема 1 (признак неприводимости Эйзенштейна). Пусть f(x) = xn + an−1xn−1 + . . . + a0 — многочлен из Z[x] и p — простое число из Z. Предположим, что p|a0, . . . , p|an−1 и p2 не делит a0. Тогда f(x) неприводим над Q.

Доказательство. Предположим, что f(x) разложим в Q[x] на произведение двух многочленов степеней ≥ 1. Так как Q — поле частных кольца Z, то по лемме 1 § 6 f(x) разложим в Z[x].

Пусть f(x) = (xs + bs−1xs−1 + . . . + b0)(xt + ct−1xt−1 + . . . + c0), где s, t > 0. Тогда это разложение останется и в кольце Zp[x] (рассматривая

гомоморфизм ϕ : Z[x] 7→Zp[x], переводящий axn в ax¯ n). Поэтому

xs+t = (xs + bs−1xs−1 + . . . + b0)(xt + ct−1xt−1 + . . . + c0),

где все коэффициенты bi, cj Zp. Поскольку Zp — поле, то Zp[x] — факториальное кольцо. Следовательно, в поле Zp получаем:

bs−1 = . . . = b0 = ct−1 = . . . = c0 = 0,

т. е. p|b0, p|c0 и p2|b0c0, а так как b0c0 = a0, то p2|a0. Противоречие. □

17

Упражнение. Как нужно изменить формулировку теоремы, если f(x) имеет вид f(x) = anxn + an−1xn−1 + . . . + a0?

Редукционный критерий неприводимости.

Теорема 2. Пусть K и R — кольца, ϕ : K 7→R — гомоморфизм

колец. Пусть f(x) = anxn + an−1xn−1 + . . . + a0 — многочлен из K[x],

(a0, . . . , an) = 1, и fϕ(x) = ϕ(an)xn + ϕ(an−1)xn−1 + . . . + ϕ(a0) R[x], где ϕ(an) ̸= 0. Если многочлен fϕ(x) неприводим в R[x], то f(x) неприводим в K[x].

Доказательство. Пусть f(x) = g(x)h(x), где g(x) = blxl +bl−1xl−1 +

. . . + b0 и h(x) = ckxk + ck−1xk−1 + . . . + c0 — многочлены из K[x]. Очевидно, что blck = an. Рассмотрим многочлены gϕ(x) = ϕ(bl)xl +

ϕ(bl−1)xl−1 + . . . + ϕ(b0) R[x] и hϕ(x) = ϕ(ck)xk + ϕ(ck−1)xk−1 + . . . +

мости многочлена fϕ(x) в R[x] получаем, что либо g K, либо h K.

□

Теорема 2 имеет хорошее применение. Рассмотрим кольцо целых чисел Z и поле Z3. Нетрудно показать, что многочлен x3 −x −1 неприводим в кольце Z3[x]. Пусть ϕ : Z 7→Z3 — такой гомоморфизм колец, что ϕ сопоставляет каждому целому числу n его остаток от деления на 3. Тогда по теореме 2 многочлен x3 − x − 1 неприводим в Z[x].

§8. Разложение рациональных функций на простейшие дроби

Пусть P — поле, P (x) (поле частных кольца P [x]) — поле рациональных функций над P . Напомним, что множество P (x) состоит из элементов (дробей) fg , где f, g P [x], причём g ̸= 0. По определению

Для дроби fg определим её степень: deg fg = deg f − deg g. Степень дроби не зависит от её записи. Действительно, пусть fg =

Дробь fg называется несократимой, если (f, g) = 1.

18

Лемма 1. Каждая дробь единственным образом представима в

1. Тогда fg1 = f1g. Следовательно, f|f1g. Поскольку (f, g) = 1, то f|f1. Аналогично получаем, что f1|f, g|g1 и g1|g. Таким образом, f = αf1

Лемма 3. Сумма правильных дробей является правильной дробью.

Доказательство. Пусть f и f1 — правильные дроби. Тогда deg f <

g g1

deg g и deg f1 < deg g1, поэтому

deg (fg1 + f1g) ≤ max (deg (fg1), deg (f1g)) < deg (gg1).

Правильная дробь fg из P (x) называется простейшей тогда и только тогда, когда g = p(x)n, где n ≥ 1, многочлен p(x) неприводим и deg f < deg p.

Теорема 1. Каждую правильную дробь можно однозначно представить в виде суммы простейших дробей.

Доказательство. 1. Существование. Пусть fg — правильная дробь. Не теряя общности, можно считать, что g — унитарный многочлен. Тогда g = pn11 . . . pns s , где p1, . . . , ps — унитарные неприводимые многочлены, причём (pi, pj) = 1 при i ̸= j.

Пусть gi = pn11 . . . pni−i−11 pni+1i+1 . . . pns s . Очевидно, что (g1, . . . , gs) = 1.

Из алгоритма Евклида следует существование многочленов u1, . . . , us

19

= (. . . (bmp + rm)p + rm−1) . . . + r2)p + r1 = bmpm + rmpm−1 + . . . + r1.

Положим hi = ai1pni −1+. . .+ain, i = 1, . . . , s. Тогда h1g1+. . .+hsgs =

20