Лекции по алгебре. В 2 частях. Ч.2. Учебное пособие

Доказательство. Если fφ (x) обладает вещественным корнем α, то φ имеет такой соответствующий собственный вектор b, что φ (b) =

αb, α R. Тогда a = bb — искомый базис и U = L (a) — одномерное φ-инвариантное пространство. Из доказательства теоремы 1 § 8

следует, что V = U U , где U является φ-инвариантным.

Пусть fφ (x) не имеет вещественных корней и ρ, ρ — комплексные

корни fφ (x), ρ = α + βi, ρ = α − βi, α, β R, β ̸= 0.

Пусть ℓ1, . . . , ℓn — ортонормированный базис V . Определим вектор-

Тогда очевидно, что ℓ1, . . . , ℓn — ортонормированный базис Ve. Рассмотрим линейное отображение φe : Ve → V,e определённое по

правилу

ρ [x] . Переходя к сопряжённым числам, получаем:

[x] · A = [x] · A = ρ · [x].

n

Обозначим x = P xiℓi, тогда [x] · A = ρ · [x] , т. е. x — собственный

i=1

вектор φe, соответствующий собственному значению ρ. Так как ρ ̸= ρ,

91

то по лемме 1 § 8 имеем (x, x) = 0, а потому x и x линейно независимы

√ √

по лемме 1 § 3. Выберем вектор x длины 2 (достаточно взять x2 · x).

Тогда

n

x 2 = (x, x) = Xxixi = (x, x) = x 2 = 2.

i=1

Обозначим

x = a + ib, x = a − ib,

Имеем:

(a, a) = 14 · (x + x, x + x) = 14 · ((x, x) + (x, x)) = 1,

(b, b) = −21i · 21i · (x − x, x − x) = 14 · ((x, x) + (x, x)) = 1,

(a, b) = −12 · 21i · (x + x, x − x) = 0.

Таким образом, {a, b} — ортонормированная система в V . Обозначим через U = LR (a, b) подпространство в V . Докажем, что U является φ-инвариантным:

92

Теорема 1 (о каноническом виде матрицы нормального преобразования евклидова пространства). Пусть φ — нормальное преобразование евклидова пространства V . Тогда существует такой ортонормированный базис ℓ1, . . . , ℓn пространства V , что

1 ≤ i ≤ k.

Доказательство. Пользуясь леммой 1, разложим V в ортогональ-

ную сумму V = V1 . . . Vk, где Vi Vj при i ̸= j. Более того, при 1 ≤ i ≤ k имеем либо Vi = L (ai), где φ (ai) = αiai, αi R, ai = 1, либо Vi = L (ai, bi), где {ai, bi} — ортонормированная система и

φ (ai) = αiai − βibi,

φ (bi) = βiai + αibi при αi, βi R.

Запишем комплексное число ρi = αi + βii в тригонометрическом виде:

ρi = ri (cos φi + i sin φi). Тогда

φ(ai) = ri (cos φi · ai − sin φi · bi) ,

φ(bi) = ri (sin φi · ai + cos φi · bi) ,

где ri > 0 и 0 < φi < 2π. Объединяя эти ортонормированные системы, получим искомый базис. □

§11. Унитарные и ортогональные преобразования

Пусть V — унитарное пространство над F , где F C или F R,

A — ортогональная матрица, если A Mn (R) и A · A = A · A = E; A — унитарная матрица, если A Mn (C) и A · Aτ = Aτ · A = E.

93

Лемма 1. Пусть φ L (V, V ), a1, . . . , an — некоторый ортонормированный базис V . Тогда эквивалентно следующее:

1)φ — унитарное преобразование;

2)φ — изоморфизм унитарных пространств;

3)[φ]a1,...,an — унитарная (ортогональная) матрица;

4)для любого a V выполняется φ (a) = a .

Доказательство. 1. Для любых x, y V имеем (φ (x) , φ (y)) = (x, φ (φ (y))) = (x, (φ ◦ φ ) (y)) = (x, y) . И наоборот, (φ (x) , φ (y)) = (x, y) = (x, (φ ◦ φ ) (y)). Следовательно, φ ◦ φ = id.

(φ (a) , φ (a)) + α (φ (a) , φ (b)) + α (φ (b) , φ (a)) + αα (φ (b) , φ (b)) =

= (a, a) + α (b, a) + α (a, b) + αα (b, b) . Тогда α (b, a) + α (a, b) = α (φ (b) , φ (a)) + α (φ (a) , φ (b)) .

Если F R, то положим α = 1. Тогда для любых a, b V справедливо (a, b) = (φ (a) , φ (b)).

Если F C, то, положив α = 1 и α = i, получим

φ(a1) , . . . , φ (an) — ортонормированный базис.

2.Пусть T — матрица перехода от базиса b1, . . . , bn к базису c1, . . . , cn пространства V . Тогда:

a) если b1, . . . , bn и c1, . . . , cn — ортонормированные базисы, то T — унитарная матрица;

b) если b1, . . . , bn — ортонормированный базис, а T — унитарная матрица, то c1, . . . , cn — ортонормированный базис;

c) если c1, . . . , cn — ортонормированный базис, а T — унитарная матрица, то b1, . . . , bn — ортонормированный базис.

94

Доказательство. 1. В силу леммы 1 φ — изоморфизм унитарных пространств, поэтому (φ (ai) , φ (aj)) = (ai, aj) = δij.

этому (φ ◦ φ ) (aj) = aj и φ ◦ φ = φ ◦ φ = id.

2.Пусть φ — линейное преобразование, переводящее базис b1, . . . , bn

вбазис c1, . . . , cn, т. е. φ (bi) = ci, i = 1, . . . , n. Тогда по определению

[φ]b1,...,bn = T.

Следовательно, если базисы b1, . . . , bn и φ (b1) , . . . , φ (bn) ортонормированные, то φ унитарно и по лемме 1 матрица T унитарна. Если b1, . . . , bn — ортонормированный базис, а T — унитарная матрица, то φ унитарно по лемме 1. Значит, φ (b1) , . . . , φ (bn) — ортонормированный базис. Если φ (b1) , . . . , φ (bn) — ортонормированный базис, а T — унитарная матрица, то T · T τ = T τ · T = E. Следова-

b1 = φ−1 (φ (b1)) , . . . , bn = φ−1 (φ (bn)) — ортонормированный базис.

□

Лемма 3. Пусть U(V ) = {φ L (V, V ) : φ унитарно}. Тогда U(V )

— группа по умножению (группа ортогональных преобразований). Доказательство. Очевидно, что id U(V ), так как id = id. Пусть

§12. Канонический вид матриц унитарных и ортогональных преобразований

Пусть V — унитарное пространство над F (F C или F R).

Лемма 1. Пусть φ LF (V, V ) , φ унитарно (ортогонально) и fφ (ρ) = 0. Тогда |ρ| = 1.

Доказательство. Пусть F C и a — собственный вектор φ, соответствующий ρ. Тогда (φ (a) , φ (a)) = (a, a) = (ρa, ρa) = ρρ (a, a). Следовательно, |ρ| = 1.

95

Если F R, то по теореме 1 § 11 существует такая ортонормированная система a, b V , что φ (a) = αa − βb, φ (b) = βa + αb, где

ρ = α + iβ Spec(φ). Тогда

(a, a) + (b, b) = (φ (a) , φ (a)) + (φ (b) , φ (b)) = (αa − βb, αa − βb) + (βa + αb, βa + αb) =

странство, φ LF (V, V ). Преобразование φ является унитарным (ортогональным) тогда и только тогда, когда существует такой ортонормированный базис ℓ1, . . . , ℓn пространства V , что

1)если F C, то [φ]ℓ1,...,ℓn = diag(α1, . . . , αn), |αi| = 1;

Доказательство. Необходимость следует из теоремы 1 § 11 и леммы

§13. Эрмитовы и симметрические преобразования

Лемма 1 (основные свойства). Пусть V — унитарное пространство над F и a1, . . . , an — некоторый ортонормированный базис V . Тогда:

1) φ эрмитово (симметрическое) [φ]a1,...,an — эрмитова (симметрическая) матрица;

2)если φ, ψ эрмитовы и α R, то αφ, φ + ψ эрмитовы;

3)если φ, ψ эрмитовы, то φ ◦ ψ эрмитово φ ◦ ψ = ψ ◦ φ;

4)если φ эрмитово (симметрическое), то Spec (φ) R.

τ

Доказательство. 1. φ = φ [φ]a1,...,an = [φ ]a1,...,an = [φ]a1,...,an .

2. Пусть φ = φ , ψ = ψ , α R. Тогда (φ + ψ) = φ + ψ = φ + ψ, (αφ) = αφ = αφ.

96

3) Если φ = φ , ψ = ψ , φ ◦ ψ = ψ ◦ φ, то (φ ◦ ψ) = ψ ◦ φ = ψ ◦ φ = φ ◦ ψ.

Обратно, φ = φ , ψ = ψ , (φ ◦ ψ) = φ ◦ ψ = ψ ◦ φ = ψ ◦ φ.

4) Пусть F C и x — собственный вектор φ = φ , соответствующий

=

собственному значению α C. Тогда (x, φ (x)) = (x, αx) = α (x, x) = (φ (x) , x) = (φ (x) , x) = α (x, x), т. е. α = α, так как (x, x) ̸= 0 и α R.

рованная система a, b V , что φ (a) = αa − βb, φ (b) = βa + αb, где

ρ = α + iβ Spec(φ). Тогда (φ(a), b) = −β(b, b), (a, φ(b)) = β(a, a), т. е.

β((a, a) + (b, b)) = 0 и β = 0. □

§14. Канонический вид матриц эрмитовых и симметрических преобразований

Теорема 1 (о каноническом виде). Преобразование φ эрмитово (симметрическое) тогда и только тогда, когда существует ортонормированный базис a1, . . . , an в V , состоящий из собственных векторов φ, причём

[φ]a1,...,an = diag(α1, . . . , αn), αi Spec (φ) R.

Доказательство. В силу теоремы 1 § 8 и теоремы 1 § 10 существует ортонормированный базис a1, . . . , an в V такой, что

ai +ibi Spec (φ) и ρi / R, i = 1, . . . , k. В силу леммы 1 § 13 Spec (φ)

Следствие. 1. Для любой эрмитовой матрицы A существует такая унитарная матрица U, что UAU−1 — вещественная диагональная матрица. 2. Для любой симметрической матрицы A существует такая ортогональная матрица U, что UAU−1 — вещественная диагональная матрица.

97

Доказательство. Пусть ℓ1, . . . , ℓn — произвольный ортонормирован-

ный базис и φ L (V, V ) такое, что [φ]ℓ1,...,ℓn = A. Тогда по теореме 1 существует такой ортонормированный базис b1, . . . , bn, состоящий из соб-

[φ]b1,...,bn = U [φ]a1,...,an U−1, то diag (α1, . . . , αn) = UAU−1. □

§15. Положительные и неотрицательные преобразования

Пусть V — унитарное пространство над F , где F C или F R. Эрмитово преобразование φ L (V, V ) называется неотрицательным, если (φ (x) , x) ≥ 0 для всех x V . Обозначение: φ ≥ 0. Эрмитово преобразование φ называется положительным, если (φ (x) , x) > 0 для всех x V . Обозначение: φ > 0. Аналогичные определения для матриц.

Лемма 1 (основные свойства).

1.Если α, β ≥ 0, φ, ψ ≥ 0, то αφ + βψ ≥ 0.

2.Если φ L (V, V ), то φ ◦ φ ≥ 0.

3. Если φ эрмитово, то φ2 ≥ 0.

4. φ ≥ 0 (> 0) φ эрмитово и α ≥ 0 (> 0) для любого α Spec (φ).

5. Если f (x) R[x] , f (x) = α0 + . . . + αmxm, αi ≥ 0, φ ≥ 0, то f (φ) ≥ 0.

Доказательство. 1. Для любого x V имеем ((αφ + βψ) (x) , x) =

α (φ (x) , x) + β (ψ (x) , x) ≥ 0, (αφ + βψ) = αφ + βψ = αφ + βψ.

2–3. (φφ ) = (φ ) φ = φφ , т. е. φφ эрмитово. Для любого x V имеем

((φφ ) (x) , x) = (φ (φ (x)) , x) = (φ (x) , φ (x)) ≥ 0.

4. Если φ эрмитово, то по теореме 1 § 14 существует ортонормированный базис a1, . . . , an в V , состоящий из собственных векторов, при-

98

n

Следовательно, (φ (x) , x) ≥ 0 тогда и только тогда, когда P αi |γi|2 ≥ 0

i=1

для любых γ1, . . . , γn F . Положим γ1 = 0, . . . , γk = 1, . . . , γn = 0 при

когда α1 > 0, . . . , αn > 0.

5. Заметим, что Spec f(φ) R+. Это следует из выбора f и свойств функций от матриц. Далее применяем пункты 1) и 4). □

Лемма 2. Пусть ϕ, ψ — симметрические преобразования и ϕψ = ψϕ. Тогда ϕ, ψ обладают общим ортонормированным базисом из собственных векторов.

Доказательство. Пусть λ Spec ϕ. Рассмотрим пространство Vλ. Для любого v Vλ имеем ϕ(ψ(v)) = ψ(ϕ(v)) = λψ(v). Следовательно, Vλ инвариантно относительно ψ. Если ψ не было бы диагонализируемо на Vλ, то его минимальный многочлен имел бы кратный множитель, что невозможно (это также следует из самосопряжённости ψ). Таким образом, можно выбрать базис из собственных векторов и ортонормировать его. □

Лемма 3. Для каждого неотрицательного преобразования φ унитарного пространства V существует единственное неотрицательное преобразование ψ такое, что ψ2 = ϕ. При этом если ϕ > 0, то и

ψ > 0, r(ϕ) = r(ψ), ϕψ = ψϕ.

Доказательство. Пусть e1, . . . , en — ортонормированный базис из собственных векторов для ϕ, ϕ(ei) = λiei, λi ≥ 0. Пусть ψ — линейное

Ясно, что r(ϕ) = r(ψ), ϕψ = ψϕ. Докажем единственность. Мы знаем, что существует многочлен p(t) такой, что p(ϕ) = ψ (так как φ диагонализируемо, то существует √φ). Если θ ≥ 0, θ2 = ϕ, то ψ = p(ϕ) = p(θ2). Тогда ψθ = θψ и по лемме 2 существуют унитарная матрица U и диагональные матрицы Λi такие, что U ψU = Λ1, U θU = Λ2. Тогда

99

§16. Сингулярное и полярное разложение линейного преобразования

Пусть V — унитарное пространство над F , где F C или F R, φ — произвольное линейное отображение из L (V, V ). Представление φ = u ◦ h = h1 ◦ u1, где h, h1 — неотрицательные преобразования, а u, u1 — унитарные преобразования, называется полярным разложением φ. Мы докажем, что для любого φ L (V, V ) существует полярное разложение.

Лемма 1. Преобразования ϕϕ и ϕ ϕ имеют одинаковый спектр.

Доказательство. Пусть e1, . . . , en — ортонормированный базис из собственных векторов преобразования ϕ ◦ ϕ , ϕ ◦ ϕ (ei) = ρ2i ei, ρi ≥ 0,

причём ρ21 ≥ ρ22 ≥ . . . ≥ ρ2k > 0, ρk+1 = . . . = ρn = 0. Рассмотрим a1 = ϕ(e1), . . . , ak = ϕ(ek). Имеем:

(ai, aj) = (ϕ(ei), ϕ(ej)) = (ϕ ϕ(ei), ej) = ρ2i (ei, ej).

Кроме того, ||ai||2 = (ϕ(ei), ϕ(ei)) = ρ2i (ei, ei) > 0. Итак, a1, . . . , ak — ортогональная система ненулевых векторов. Далее, ϕϕ (ai) = ϕϕ ϕ(ei) =

Арифметические значения квадратных корней из общих собственных значений ϕϕ и ϕ ϕ называются сингулярными числами преобразования ϕ.

Лемма 2. Если ϕ L(V, V ), то (Ker ϕ) = Im ϕ и (Im ϕ) = Ker ϕ .

Доказательство. Если y Im ϕ , то y = ϕ (x), поэтому для любого v Ker ϕ имеем (v, y) = (v, ϕ (x)) = (ϕ(v), x) = 0. Значит,

Im ϕ (Ker ϕ) . Так как r(ϕ ) = r(ϕ) = n−dim (Ker ϕ) = dim (Ker ϕ) , то имеем равенство. Второе равенство получается из первого подстановкой ϕ вместо ϕ. □

Следствие. Уравнение ϕ (x) = a разрешимо a ортогонален всем решениям ϕ(y) = 0. В частности, ϕ(x) = a разрешимо для любого a

||ai|| = ρi ̸= 0, i = 1, . . . , k, поэтому a1, . . . , ak = Im ϕ, ek+1, . . . , en = Ker ϕ.

100