Лекции по алгебре. В 2 частях. Ч.2. Учебное пособие

в A, содержащий ai, i Ω. Говорят, что элементы ai, i Ω, составляют базис идеала I. Элементы ai, i Ω, называются порождающими

(или образующими) элементами идеала I. Говорят, что идеал I A допускает конечный базис, если существуют a1, . . . , an A такие, что

I = (a1, . . . , an).

Теорема 1 (Гильберта о базисе). Пусть I F [x1, . . . , xn]. Тогда I допускает конечный базис.

Доказательство. Рассмотрим сначала случай, когда I порождается одночленами m1, m2, . . . Покажем, что в I можно выбрать базис mi1 , . . . , mik . Проведем индукцию по n. При n = 1 утверждение очевидно. В случае n неизвестных подставим во все одночлены xn = 1 и в полученной совокупности выберем базис m′1, . . . , m′s. Пусть mi I соответствует m′i и l есть наибольший показатель при xn в одночленах m1, . . . , ms. Рассмотрим все одночлены из I степени p относительно

порождённый старшими членами fC элементов f из I. Выберем конечный базис m1, . . . , mk в J. Пусть fi — многочлены из I, старшие члены которых равны mi. Покажем, что fi образуют базис в I. Если f I, то fC = mir для некоторых i и одночлена r. Тогда g = f − fir I и gC < fC. За конечное число шагов получим f (f1, . . . , fk). □

§2. Идеал системы, аффинное алгебраическое многообразие, радикал идеала

Для всякой системы S = {fi(x1, . . . , xn) = 0, i Ω} мы можем определить идеал I(S) = (fi, i Ω).

Лемма 1. Если f I(S), то f(x01, . . . , x0n) = 0 для любого решения

(x01, . . . , x0n) системы S.

111

Предложение 1. Пусть {f1, . . . , fm} и {g1, . . . , gk} — два базиса в

I. Тогда системы S1 = {f1 = 0, . . . , fm = 0} и S2 = {g1 = 0, . . . , gk = 0}

эквивалентны.

Таким образом, множество решений системы однозначно определяется идеалом системы, а различным базисам одного идеала отвечают эквивалентные системы.

Следствие 1. Любая система эквивалентна конечной системе.

Доказательство. Из теоремы 1 § 1 следует, что во всяком идеале кольца F [x1, . . . , xn] можно выбрать конечный базис. □

Следствие 2. Любая система от одного неизвестного эквивалент-

на системе из одного уравнения. □ Подмножество X в Fn называется аффинным алгебраическим многообразием, если существует система S такая, что x¯ S x¯ X(S), где X(S) обозначает множество решений системы S. Если I F [x1, . . . , xn], то через X(I) обозначим подмножество в Fn, состоящее из элементов, на которых все многочлены из I равны 0. Ясно, что

S1 S2 X(S1) = X(S2), а также что X(S) = X(I(S)).

Заметим, что системы могут быть эквивалентны, но их идеалы не совпадают. Пример: x = 0 x2 = 0, но (x2) ̸= (x).

Однако для любого многообразия X существует наибольший идеал J(X), задающий это многообразие:

J(X) = {f F [x1, . . . , xn] : f(x) = 0 для любого x X}.

Предложение 2. S1 S2 J(X(S1)) = J(X(S2)).

Доказательство. Покажем, что если J(X(S1)) = J(X(S2)), то

ляется решением системы S1. Следовательно, X(S2) X(S1). Аналогично показывается обратное. Теперь очевидны эквивалентности:

112

□

Идеал I называется радикальным, если I = r(I). Упражнение. Показать, что r(r(I)) = r(I).

Далее в этом параграфе считаем, что основное поле — это C.

Теорема 1 (Гильберта о нулях). Для любой системы S над C справедливо равенство

J(X(S)) = r(I(S)).

Переформулировка: Для системы {fi(x1, . . . , xn) = 0, i = 1, . . . , m}

многочлен f(x1, . . . , xn) обращается в нуль на всех решениях данной системы существуют r1(x1, . . . , xn), . . . , rm(x1, . . . , xn) и s N та-

кие, что fs = Pm rifi.

i=1

Замечание. Над R теорема не верна.

Доказательство. Пусть S = {f1 = 0, . . . , fm = 0} и f(x01, . . . , x0n) = 0 для любого (x01, . . . , x0n) X(S). Покажем, что существует s N

такое, что fs (f1, . . . , fm). При f = 0 утверждение очевидно. Добавим к неизвестным x1, . . . , xn новую неизвестную xn+1 = z и рассмотрим многочлены f1, . . . , fm, 1 − zf. Они не имеют общих нулей, поэтому

m

X

1 = hifi + hm+1(1 − zf),

i=1

где hi C[x1, . . . , xn, z]. Положим z = 1/f. После приведения к общему

знаменателю получим: fs = Pm rifi, где ri C[x1, . . . , xn]. □

i=1

Следствие 3 показывает, что существует биекция между аффинными алгебраическими многообразиями и радикальными идеалами кольца C[x1, . . . , xn].

Предложение 4. Пусть f1(x1, . . . , xn) и f2(x1, . . . , xn) неприводимы. Тогда f1 = 0 f2 = 0 f1 = αf2, α C.

Доказательство. Из неприводимости fi и факториальности кольца C[x1, . . . , xn] следует, что если некоторая степень f делится на fi, то f делится на fi. Следовательно, r((fi)) = (fi). Таким образом, f1 = 0

f2 = 0 (f1) = (f2) f1 = αf2. □

113

Задача вхождения. Пусть идеал I F [x1, . . . , xn] задан базисом I = (f1, . . . , fm). Требуется найти алгоритм, позволяющий за конечное число шагов выяснить, принадлежит ли данный многочлен h = h(x1, . . . , xn) идеалу I.

Редукция. Предположим, что hC делится на (fi)C, то есть верно

hC = (fi)C ·q. Положим h1 = h−fi·q. Тогда (h1)C < hC и h I h1 I. Таким образом, задачу вхождения теперь можно решать для h1. Если

за конечное число редукций h сводится к нулю (редуцируется), то h I.

Базис f1, . . . , fm в I называется базисом Грёбнера, если любой h I редуцируется к нулю при помощи f1, . . . , fm.

Заметим, что f1, . . . , fm — базис Грёбнера в I I = (f1, . . . , fm) и для любого h I одночлен hC делится на некоторый (fi)C.

Лемма 1. Пусть f1, . . . , fm I такие, что для любого h I одночлен hC делится на (fi)C для некоторого i. Тогда f1, . . . , fm — базис Грёбнера в I.

Упражнение. Н.О.Д.(fC, gC) = 1 {f, g} — базис Грёбнера в I = (f, g).

Таким образом, если нам известен базис Грёбнера идеала I и дан многочлен h, то, проводя всевозможные редукции с помощью элементов базиса, получаем, что h I h редуцируется к нулю.

Лемма 2. Пусть I F [x1, . . . , xn]. Тогда в I существует базис Грёбнера.

Доказательство. Рассмотрим идеал, порождённый всеми элементами fC, f I, и выберем в нём по теореме Гильберта о базисе конечный базис J. Тогда элементы исходного идеала, старшие члены которых образуют базис J, составляют конечный базис Грёбнера в I. □

Пусть I = (f1, . . . , fm). Говорят, что многочлены fi и fj допускают композицию, если (fi)C и (fj)C одновременно делятся на некоторый одночлен g ̸F .

Если fi, fj I допускают композицию, т. е. (fi)C = wq1, (fj)C = wq2, то рассмотрим их композицию, т. е. многочлен S(fi, fj) = fiq2−fjq1 I.

114

¯ , то говорим, что композиция тривиальна, иначе присо-

S(fi, fj) = 0

единяем ¯ к базису .

S(fi, fj) := fm+1 f1, . . . , fm

Упражнение. Если Н.О.Д. (fC, gC) = 1, то S(f, g) := fgC − gfC редуцируется к нулю при помощи f, g. В этом случае также говорим, что композиция f и g также тривиальна.

Теорема 1. Для любого набора f1, . . . , fm F [x1, . . . , xn] после присоединения конечного числа нетривиальных композиций получим набор, в котором все композиции тривиальны.

Доказательство от противного. Если при редуцировании получается бесконечное множество I нередуцируемых многочленов, то рассмотрим идеал J, порождённый их старшими членами. Выбираем в J конечное множество образующих m1, . . . , mk. Пусть fi I такие, что

(fi)C = mi, i = 1, . . . , k, и пусть T = {fi, i = 1, . . . , k}. Тогда для любого f I \ T старший член fC делится на (fi)C для некоторого i, т. е.

редуцируется. □

Теорема 2 (Diamond Lemma). Базис f1, . . . , fm в I является базисом Грёбнера в базисе f1, . . . , fm все композиции тривиальны.

Доказательство. В одну сторону утверждение очевидно. Докажем

кое представление для f выбрано так, что (hkfk)C минимален. Пусть

115

§4. Системы алгебраических уравнений и базисы Грёбнера

В данном параграфе основным полем является C.

Теорема 1. Система S несовместна базис Грёбнера идеала I(S) содержит ненулевую константу.

Доказательство. Если 0 ̸= α I(S), то система несовместна. Если система несовместна, то 1 I(S) по следствию 4 § 2. Следовательно,

Доказательство. Пусть число решений системы конечно. Неизвестная x1 может принимать на множестве решений лишь конечное число

значений α1, . . . , αn1 . Многочлен f(x1) = (x1 − α1) . . . (x1 − αn1 ) ≡ 0 на множестве решений системы S. Следовательно, по теореме Гильберта

о нулях существует k1 N такое, что fk1 I(S). Далее, (fk1 )C = xn11k1 . По определению базиса Грёбнера в этом базисе существует такой f1, что (f1)C делит (fk1 )C, т. е. является степенью x1. Аналогично и для остальных неизвестных.

Обратно, если f1, . . . , fn — такие элементы базиса Грёбнера, что (fi)C = xni i , то в силу порядка fn зависит только от xn, т. е. xn может принимать лишь конечное число значений. Аналогично fn−1 зависит только от xn и xn−1 и его старший член не равен нулю при любых значениях xn. Следовательно, xn−1 принимает конечное число значений и т. д. □

116

Глава 8. Тензорные произведения

В данной главе приводится конструкция тензорных произведений векторных пространств и алгебр. В частности, строятся симметрическая и внешняя алгебры векторного пространства. Тензорная алгебра позволяет подойти единообразно ко многим объектам линейной алгебры.

§1. Тензорное произведение векторных пространств

Пусть V, U — векторные пространства над полем F . Рассмотрим множество S формальных конечных сумм Pi αi(vi, ui), где (vi, ui) V × U (V × U — декартово произведение V и U как множеств), αi

XX

где α, αi, β F, v, vi V, u, ui U. Заметим, что множество {(v, u) :

·

v V, u U} является базисом векторного пространства V × U над полем F .

117

·

Линейное отображение f из V × U в пространство W называется сбалансированным, если выполнены следующие условия:

f(v1 + v2, u) = f(v1, u) + f(v2, u),

f(v, u1 + u2) = f(v, u2) + f(v, u2), f(α(v, u)) = f(αv, u) = f(v, αu),

для любых v, v1, v2 V , u, u1, u2 U и α F .

Пусть W, Z — векторные пространства над тем же полем F . Пусть

что отображение f факторизуемо при помощи отображения g, если найдется такое линейное отображение h : Z 7→W , что f = gh, т. е. f(v, u) = h(g(v, u)) для любых v V, u U.

·

В пространстве V × U рассмотрим подпространство T := T (U, V ),

порожденное элементами (v1 + v2, u) − (v1, u) − (v2, u), (v, u1 + u2) − (v, u1) − (v, u2), (αv, u) − (v, αu) и α(v, u) − (αv, u) для всевозможных

v, v1, v2 V , u, u1, u2 U, α F . Пусть пространство V U — фактор-

·

пространство V × U по подпространству T . Пространство V U называется тензорным произведением пространств V и U над полем F , которое обозначается также V F U, чтобы подчеркнуть основное поле.

Обозначим через v u образ элемента (v, u) в пространстве V U. Заметим, что произвольный элемент w пространства V U имеет вид

k

X

w = vi ui,

i=1

где vi V , ui U, k N. Действительно, по определению w =

Заметим, что

α(v u) = αv u = v αu

для любых v V, u U, α F . Действительно, имеем

α(v u) − αv u = 0, αv u − v αu = 0,

118

так как α(v, u) − (αv, u) T, (αv, u) − (v, αu) T. Аналогично доказываются основные тензорные равенства:

(αv1 + βv2) u = αv1 u + βv2 u, v (αu1 + βu2) = αv u1 + βv u2

для любых v, v1, v2 V, u, u1, u2 U, α, β F .

Отметим, что в общем случае элементы из V U не имеют вид v u, где v V, u U. Элементы вида v u, где v V, u U, называются

разложимыми.

·

Лемма 1. Линейное отображение g : V × U 7→V U, опреде-

ленное правилом g(v, u) = v u для любых v V, u U, является

·

сбалансированным. Любое сбалансированное отображение f из V × U в произвольное пространство W факторизуемо при помощи отображения g.

Доказательство. Заметим, к примеру, что первое условие сбалансированности g(v1 + v2, u) = g(v1, u) + g(v2, u) эквивалентно одному из основных тензорных равенств (v1 + v2) u = v1 u + v2 u. Остальные условия сбалансированности проверяются аналогично.

Определим линейное отображение h из V U в пространство W правилом h(v u) = f(v, u) для любых v V, u U. Тогда h определено корректно, так как если Pi vi ui = 0, то Pi(vi, ui) T и f(Pi(vi, ui)) = 0. Более того, f(v, u) = h(g(v, u)) для любых элементов v V, u U по определению отображения h, что и доказывает лемму.

□

Как следует из данной леммы, для любого билинейного отображения f : V × U 7→W существует единственное линейное отображение h : V U 7→W , что f(v, u) = h(v u) для любых v V, u U.

Таким образом, тензорное произведение векторных пространств V и U над полем F естественным образом возникает при рассмотрении всевозможных билинейных отображений f : V × U 7→W в пространства W над F . Cреди таких отображений имеется одно “универсальное” отображение g : V × U 7→V U, через которое могут быть описаны все остальные. Соответствующее ему пространство V U и является тензорным произведением пространств V и U.

Операция тензорного произведения векторных пространств в определённом смысле коммутативна, ассоциативна и дистрибутивна. А именно, справедлива следующая лемма.

119

Лемма 2. Пусть V, U, W — векторные пространства над полем F , а V1, V2 — такие подпространства в V , что V = V1 V2. Тогда справедливы следующие изоморфизмы:

VF V, V U U V,

==

(V U) W V (U W ),

=

·

Доказательство. Определим линейное отображение ϕ : V × F 7→V правилом

!

XX

ii

для любых vi V, αi F . По определению, T (V, F ) ker ϕ, а потому корректно определено такое отображение ϕ′ : V F 7→V , что ϕ′(v α) = αv для любых v V, α F . По построению, ϕ′ является изоморфизмом пространств.

· ·

Определим линейное отображение ϕ : V × U 7→U × V правилом

!

XX

ii

для любых vi V, ui U. По определению, ϕ(T (V, U)) T (U, V ), а потому корректно определено такое линейное отображение ϕ′ : V U 7→ U V , что ϕ′(v u) = u v для любых v V, u U. По построению, ϕ′ является изоморфизмом пространств.

для любых vi V, ui U, wi W . По определению,

··

θ((T (V, U), W )) + θ(T (V × U, W )) T (V, U × W ) + (V, T (U, W )),

апотому корректно определено такое линейное отображение пространств θ′ : (V U) W 7→V (U W ), что

θ′ ((v u) w) = v (u w)

для любых v V, u U, w W . По построению, θ′ — изоморфизм пространств.

120