Курс по высшей математике (для экономистов)

Содержание

41.Случайная величина. Дискретные случайные величины

1ОСНОВЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

Основными понятиями аналитической геометрии являются простейшие геометриче ские образы (точки, прямые, плоскости, кривые

иповерхности второго порядка). Основными средствами исследования в аналитической геометрии служат метод координат (см. ниже)

иметоды элементарной алгебры. Возникновение метода координат тесно связано с бурным разви тием астрономии, механики и техники в XVII в. От четливое и исчерпывающее изложение этого ме тода и основ аналитической геометрии было сделано Р. Декартом в его «Геометрии» (1637 г.).

Основные идеи метода были известны также его современнику П. Ферма. Дальнейшая разра ботка аналитической геометрии связана с труда ми Г. Лейбница, И. Ньютона и особенно Л. Эйлера. Ее средствами пользовались Ж. Лагранж при построении аналитической механики и Г. Монж в дифференциальной геометрии. Сегодня анали тическая геометрия не имеет самостоятельного значения как наука, однако ее методы широко при меняются в различных разделах математики, механики, физики и других наук.

Итак, разбирая аналитическую геометрию, прежде всего обратимся к методу координат. Сущ

ность метода координат заключается в следую щем. Рассмотрим, например, на плоскости π две взаимно перпендикулярные прямые Ох и Оу (рис. 1).

Эти прямые с указанным на них направлением, началом координат О и выбранной масштабной единицей образуют декартову прямоугольную систему координат Оху на плоскости. Прямые Ох

иОу называются соответственно осью абсцисс

иосью ординат. Положение любой точки М на плоскости по отношению к этой системе Оху мож но определить.

Рис. 1

Ваналитической геометрии на плоскости под робно изучаются геометрические свойства эллип са, гиперболы и параболы, представляющих собой линии пересечения кругового конуса с плоскостя ми, не проходящими через его вершину. Эти линии часто встречаются во многих задачах естество знания и техники. Например, движение материаль ной точки под воздействием центрального поля силы тяжести происходит по одной из этих линий;

винженерном деле для конструирования прожек торов, антенн и телескопов пользуются важным оп тическим свойством параболы, заключающимся

втом, что лучи света, исходящие из определенной точки (фокуса параболы), после отражения от па раболы образуют параллельный пучок.

Ваналитической геометрии на плоскости систе матически исследуются так называемые алгебраи, ческие линии первого и второго порядков (эти линии в декартовых прямоугольных координатах определяются соответственно алгебраическими уравнениями первой и второй степени).

Ваналитической геометрии в пространстве систе матически исследуются так называемые алгебраи ческие поверхности первого и второго порядков.

2КООРДИНАТЫ ТОЧКИ НА ПЛОСКОСТИПОНЯТИЕ КООРДИНАТЫ.

Координаты (от лат. со (сum) — «совместно»

иordinatus —«упорядоченный, определенный») — числа, заданием которых определяется положение точкинаплоскости,налюбойповерхностииливпрост ранстве. Первыми вошедшими в систематическое употребление координатами являются астрономи, ческие и географические координаты — ши рота и долгота, определяющие положение точки на небесной сфере или на поверхности земного шара. В XIV в. французский математик Н. Орем пользовал ся координатами на плоскости для построения гра фиков, называя долготой и широтой то, что теперь называют абсциссой и ординатой. Более регулярно координаты стали использоваться применительно к вопросам геометрии на плоскости в XVII в. Заслуга выяснения всего значения метода координат, поз воляющего систематически переводить задачи геометрии на язык математического анализа

иобратно, истолковывать геометрически факты анализа, принадлежит французскому ученому Р. Декарту. Кроме координат, точки, рассматри вают также координаты прямой, плоскости

идругих геометрических объектов. В теоретиче ской механике употребляют координаты меха, нических систем — числа, определяющие по ложение механической системы (например, некоего твердого тела) в каждый момент времени.

Аффинные, или общие декартовы, коорди, наты точки на плоскости получают, выбирая точ ку O (начало координат) и два, не лежащих на одной прямой вектора ОА и ОВ, исходящих из точки O. Положение точки Р определяется (в выбранной системе координат) двумя координатами: абсциссой

х= ОХ

ОА