Курс по высшей математике (для экономистов)

и ординатой

у= ОY ,

ОВ

где ХР параллельно ОВ и YР параллельно ОА.

В частном случае, когда векторы ОА и ОВ пер пендикулярны и имеют одну и ту же длину, получают наиболее употребительные прямоугольные коорди наты. Если угол между ОА и ОВ произволен, но дли ны этих векторов одинаковы, то получают те косо угольные координаты, рассмотрением которых ограничивался сам Декарт (часто только их и назы вают декартовыми, сохраняя для общих декарто вых координат название «аффинные координаты»).

Полярные координаты точки на плоскости

получают, выбирая точку О (полюс), выходящий из нее луч ON и единицу измерения длин. Координа тами точки Р служат расстояние р = ОР и угол NOP. Чтобы получить возможность поставить в соответ ствие каждой точке плоскости Р определенную пару

чисел, достаточно рассматривать подчиненные

π

неравенства О ≤ ρ < ∞, 0 ≤ ϕ< 2. За исключением точки О, для которой ρ = 0, а угол NOP не опреде лен, соответствие между точками Р, отличными от О, подчиненными указанным условиям, взаимно однозначно.

Также из других специальных систем координат на плоскости следует отметить эллиптические координаты.

В случае аффинных координат линии х = const образуют пучок прямых, параллельных оси Оy, а линии у = const — другой пучок прямых, парал лельных оси Ох, через каждую точку плоскости Р (х0, у0) проходит одна прямая первого пучка (х = х0) и одна прямая второго пучка (у = у0).

Впространстве пользуются также системами криволинейных координат, общая схема которых такова: в какой либо области G пространства рас сматриваются 3 функции точки u(Р),υ(Р),ω(Р), под чиненные условию, чтобы через каждую точку Р

области G проходила одна поверхность семейства u = const, одна поверхность семейства υ = const

иодна поверхность семейства ω = const. Тем са

мым каждой точке ставятся в соответствие 3 чис ла — (u, υ, ω) — ее координаты. Поверхности, опре деляемые уравнениями u = const или υ= const, или

ω = const, называют координатными.

Вприложениях (к механике, математической физике и пр.) наиболее употребительны некоторые специальные системы криволинейных координат, а именно: сферические координаты, цилиндриче ские координаты.

Принцип двойственности, устанавливающий равноправность точек и прямых в геометрии двух измерений и равноправность точек и плоскостей в геометрии трех измерений, подсказывают ту мысль, что с помощью особых координат могут быть определены положения прямых и плоскостей. Например, если в прямоугольных координатах уравнение прямой (не проходящей через начало

координат) приведено к виду ux + υу + 1 = 0, то чис лами u и υ (u = –1/a′, υ = –1/b′, где а и u «отрезки», отсекаемые прямой на осях) вполне определяет ся положение прямой; можно принять (u, υ) за ко ординаты прямой линии. Симметричность урав нения ах ux + υy + 1 = 0 относительно пар (х, у) и (u,υ) является аналитическим выражением принципа двойственности. Вполне аналогично случаям n = 2 (плоскость, поверхность) и n = 3 (трехмерное прост ранство) употребление координат в n мерном про странстве.

4ЛИНЕЙНАЯ ВЕКТОР,ФУНКЦИЯПОНЯТИЕ ЛИНЕЙНОЙ ФУНКЦИИ.

Линейная функция — функция вида у = kх + b. Основное свойство линейной функции: прира щение функции пропорционально приращению ар гумента. Графически линейная функция изобра жается прямой линией. При равных масштабах на осях коэффициент k (угловой коэффициент) равен тангенсу угла, образованного прямой с осью Ох, а b равен отрезку, отсекаемому прямой на оси Оу (рис. 3).

Рис. 3

При b = 0 линейная функция называется одно, родной; ее график изображает пропорциональную зависимость: у = kх. Линейная функция широко применяется в физике и технике для представле ния (нередко приближенно) зависимостей между различными величинами. Рассматривают также линейную функцию многих переменных. Однородные линейные функции многих переменных называют линейными формами. Если и аргумент, и функ ция — векторы, то однородными линейными функ циями являются линейные преобразования.

Линейная вектор,функция — функция f(х) векторного переменного х, обладающая следую щими свойствами:

1)f(х + y) = f(x) + f(y);

2)f(λ, х) = λf(x), (λ— число).

Линейная вектор функция в n мерном простран стве вполне определяется значениями, принимае мыми ею для n линейно независимых векторов. Скалярную (принимающую числовые значения) линейную вектор функцию называют также линей ным функционалом; в n мерном пространстве она выражается линейной формой f(x) = a1x1 + a2x2 +…+ + anxn от координат x1, x2, …, xn вектора х. Примером скалярной линейной вектор функции является скалярное произведение вектора х и некоторого постоянного вектора а: F(x) = (а, х). В пространстве, в котором определено скалярное произведение, всякая скалярная линейная вектор функция имеет такой вид. Векторная (принимающая векторные значения) линейная вектор функция определяет линейное или аффинное преобразование прост ранства и называется также линейным операто, ром, или аффинором.

Если определить сумму векторных линейных вектор функций f(х) и g(х) как линейную вектор функцию F(x) + g(х), а произведение тех же функций как линейную вектор функцию g{f(х)}, то сумме и произведению векторных линейных вектор функций будут соответствовать сумма и произве дение соответствующих матриц.

Функцию нескольких векторных переменных, яв ляющуюся линейной вектор функцией относитель но каждого своего аргумента, называют полили,

нейной (билинейной, трилинейной и т.д.) вектор,функцией. Скалярное и векторное произ ведения двух переменных векторов могут служить примерами соответственно скалярной и векторной билинейных вектор функций. Полилинейные век тор функции приводят к понятию тензора.

5ЛИНЕЙНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ

Линейное преобразование переменных х1,

х2, ..., хn — замена этих переменных на новые х1′, х2′, ..., хn′, через которые первоначальные перемен ные выражаются линейно, т.е. по формулам:

образование переменных называют однородным. Простейшим примером линейного преобразо вания переменных могут служить формулы преоб разования прямоугольных координат на плоскости:

х = х′cos α – у′sin α + a, у = х′sin α+ y′cosα + b.

Линейные преобразования векторов или вектор ного пространства называют законом, по которо му вектору х из n мерного пространства ставят в соответствие новый вектор х′, координаты кото рого линейно и однородно выражаются через ко ординаты вектора х:

x1′= a11x1 + a12x2 + … + a1nxn, x2′= a21x1 + a22x2 + … + a2nxn,

………………………………….

xn′= an1x1 + an2x2 + … + annxn

или коротко

х′= Aх.

Линейные преобразования векторного прост ранства можно определить без использования системы координат: соответствие х у = Ax назы вают линейным преобразованием, если вы полняются условия А(х + у) = Ах + Ау и А(αх) = αA(х)

для любых векторов х и у и любого числа α. В раз ных системах координат одному и тому же линей ному преобразованию будут соответствовать раз ные матрицы и, следовательно, разные формулы для преобразования координат.

К линейным преобразованиям относится, в част ности, нулевое линейное преобразование О, пере водящее все векторы в нуль (нулевой вектор): Ох = 0, и единичное линейное преобразование Е, оставляю щее все векторы без изменения: Ех = х; этим линей ным преобразованиям в любой системе координат соответствуют нулевая и единичная матрицы.

Для линейного преобразования векторного пространства естественным образом опреде ляются операции сложения и умножения: суммой двух линейных преобразований А и В называют

линейное преобразование С, переводящее любой вектор х в вектор Сх = Ах + Вх; произведе нием линейного преобразования А и В называют результат их последовательного применения: С = АВ, если Сх = А(Вх).

Линейное преобразование В называют об ратным к линейному преобразованию А (и обозна чают A–1), если ВА = Е (или АВ = Е). Если линейное преобразование А переводило вектор х в вектор у, то линейное преобразование А–1 переводит у об ратно в х. Линейное преобразование, обладающее обратным, называют невырожденным. Такие линейные преобразования характеризуются так же тем, что определитель их матрицы не равен нулю. Некоторые классы линейных преобразова ний заслуживают особого упоминания. Обобще нием поворотов двумерных и трехмерных евкли довых пространств являются ортогональные линейные преобразования. Они не изменяют длин векторов (следовательно, и углов между ними). Матрицы этих линейных преобразований в ортонормированной системе координат также называются ортогональными.

6МАТРИЦА И ДЕЙСТВИЯ НАД НЕЙ

Понятие «матрица» было введено в работах У. Гамильтона и А. Кэли в середине XIX в. Основы теории созданы К. Вейерштрассом и Ф. Фробениу сом (вторая половина XIX — начало XX вв.). И. А. Лап по Данилевский разработал теорию аналитических функций от многих матричных аргументов и при менил эту теорию к исследованию систем диффе ренциальных уравнений с аналитическими коэф фициентами. Матричные обозначения получили распространение в современной математике и ее приложениях. Исчисление матриц развивается в направлении построения эффективных алгорит мов для численного решения основных задач.

Матрица в математике — система элементов aij (чисел, функций или иных величин, над которыми можно производить алгебраические операции), расположенных в виде прямоугольной схемы. Если схема имеет m строк и n столбцов, то говорят о (mn) матрице. Обозначения:

Короче: ||aij||, (aij). Наряду с конечными матрица ми рассматриваются матрицы с бесконечным чис лом строк или столбцов. Матрица, состоящая из одной строки, называется строкой, из одного столбца — столбцом. Если m = n, то матрица на

зывается квадратной, а число n — ее порядком. Квадратная матрица, у которой отличны от нуля лишь диагональные элементы αi = αij, называется диагональной и обозначается diag(α1, …, αn). Ес ли все αi = α, получают скалярную матрицу. При α= 1 матрица называется единичной и обозначается Е. Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой.

Далее рассмотрим действия над матрицами.

Произведением прямоугольной (m ×n) мат рицы А на число называют матрицу, элементы ко торой получены из элементов аij умножением на число α.

Сумма определяется для прямоугольных мат риц одинакового строения, и элементы суммы рав ны суммам соответствующих слагаемых.

Умножение матриц определяется только для прямоугольных матриц, у которых число столбцов первого множителя равно числу строк второго. Произведением (m × p) матрицы А на (p × n) мат рицу В будет (m×n) матрица С с элементами:

Cij = ai1b1j + ai2b2j +…+ aipbpj; I = 1, …, m; j = 1, …, n. Введенные действия над матрицами обладают

свойствами, близкими к свойствам действий над числами. Исключением является отсутствие ком мутативного закона при умножении матриц: равен ство АВ = ВА может не выполняться. Матрицы А и В называются перестановочными, если АВ = ВА. Кроме того, произведение двух матриц может рав няться нулевой матрице, хотя каждый сомножи тель отличен от нулевого. Справедливы правила: (AB)′= BA′ ′; AB = BA.

Определитель произведения двух квадратных матриц равен произведению определителей пере множаемых матриц.

7ТИПЫ МАТРИЦ

Квадратные матрицы

Степенью Аn матрицы А называется произве дение n сомножителей, равных А. Выражение вида:

рицы А. Правила действий над полиномами от дан ной матрицы А ничем не отличаются от правил дей ствий над алгебраическими многочленами. Можно рассматривать и аналитические функции от мат рицы. В частности, если:

∞

f(t) =Σaktk

k = 0

есть сходящийся на всей комплексной плоскости ряд (например, f(t) = et), то и бесконечный ряд:

∞

Σak Ak

k = 0

оказывается сходящимся при любой матрице А, его сумму естественно считать равной f(А). Если же ряд f(t) сходится в некотором конечном круге сходимости, то f(А) задается этим рядом для доста точно «малых» матриц. При этом аналитические функции от матрицы играют большую роль в тео рии дифференциальных уравнений. Так, система обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, записанных в матричных обозначениях в виде:

dx

dt = AX,

где X — столбец из неизвестных функций, имеет решение: х = еAtС, где С — столбец из произ вольных постоянных.