Курс по высшей математике (для экономистов)

Начальным моментом k го порядка случайной величины X называется математическое ожида ние случайной величины X k:

s

Vk = MX k =Σxkipi.

i = 1

Дисперсией случайной величины X называет ся центральный момент второго порядка случай

ной величины X:

s

DX = μ2 =Σ(xi – v)2pi.

i = 1

Дисперсия является мерой концентрации ре зультатов конкретных испытаний над случайной величиной А.

Свойства математического ожидания

1.М(С) = С.

2.М(СХ) = СМ(Х).

3.М(XY) = M(X)M(Y).

4.M(X + Y) = M(X) + M(Y).

43 МОДЕЛИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ПУАССОНА

Первая модель распределения Пуассона.

Проведена неограниченно большая серия испыта ний. В результате каждого испытания случайным образом появляется точка на числовой оси. Слу чайное распределение точек на числовой оси удов летворяет следующим трем свойствам:

1)стационарности: вероятность того, что на отре зок данной длины попадает данное количество точек, определяется только длиной этого отрез ка и не зависит от расположения этого отрезка на числовой оси;

2)ординарности: вероятность того, что на доста точно малый отрезок длины х попадает одна точка, является бесконечно малой х порядка. Вероятность того, что на этот отрезок попадает более чем одна точка, является бесконечно ма лой более высокого порядка, чем х;

3)отсутствию последействия: вероятность того, что на данный отрезок попало определенное ко личество точек, не зависит от того, сколько точек в результате проведенной бесконечно серии ис пытаний попало на отрезок, не пересекающий ся с данным.

Необходимо найти вероятность того, что на дан ный отрезок длины l попадает m точек. Обозначим черех х1 случайную величину равную численности точек, выпавших на отрезок длины l. На числовой оси рассмотрим отрезок длины l и обозначим m × l = l. Математическое ожидание числа точек, попавших на отрезок длины l по свойству стацио нарности l одинаково для всех отрезков.

Вторая модель распределения Пуассона.

Рассматривается обычная схема биноминально

го распределения, в котором n — велико, р — до статочно мало. Тогда точная формула для вероят

ности появления события А в t испытаниях имеет

вид: Cnmpmqn – m.

Эта формула при больших n вычисляется слож но. Такую вероятность заменяют приближенной:

am e–a, a = pn. m!

Для найденного а построим гипотетический ряд вероятностей:

Предполагается, что, во первых, для достаточно больших n и малых р искомая вероятность Cnmpmqn – m является членом построенного гипотетического ряда вероятностей, а во вторых, находится в ма лой окрестности предельного значения этого ряда. И, следовательно, это значение можно взять в ка честве допустимой хорошей аппроксимации зна чений искомой вероятности.

44 НЕПРЕРЫВНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ

Кроме дискретных случайных величин, возмож ные значения которых образуют конечную или бес конечную последовательность чисел, не заполняю щих сплошь никакого интервала, часто встречаются случайные величины, возможные значения кото рых образуют некоторый интервал. Примером та кой случайной величины может служить отклоне ние от номинала некоторого размера детали при правильно налаженном технологическом процес се. Такого рода, случайные величины не могут быть заданы с помощью закона распределения вероят ностей р(х). Однако их можно задать с помощью функции распределения вероятностей F(х).

Будем рассматривать пространство элемен тарных событий как совокупность всех точек чис ловой оси. В этом случае введенная ранее функ ция распределения имеет вид:

F(x) = Р(Х > х).

Пусть функция распределения является непре рывной. Найдем вероятность того, что в результа те испытаний случайная величина Х примет зна чение а, где а — произвольное действительное число: Р(Х = а).

Рассмотрим неравенство: X ≤a = (x < a + n1). x < a + 1n ,

(x < a + 1n ),

1n, x ≤ a.

Следовательно:

(F(a + 1n) – F(a)) = 0.

Мы впервые столкнулись с ситуацией, когда событие принципиально может произойти в ре зультате испытания, но имеет вероятность, рав ную нулю. В инженерном толковании это означает:

вданной конечной серии испытаний данное собы тие никогда не произойдет.

Случайная величина Х называется непрерыв ной, если ее пространством элементарных со бытий является вся числовая ось (либо отрезок (отрезки) числовой оси), а вероятность наступ ления любого элементарного события равна

нулю:

Р(а≤Х < b) = Р(а≤Х≤b) = F(b) – F(а).

Если из сложного события вычесть конечное либо счетное множество, вероятность наступле ния нового события останется неизменной.

Функция f(х) — числовая скалярная функция действительного аргумента называется плот ностью вероятности и существует в точке х, если

вэтой точке существует предел:

F(x + x) – F(x)

= F′(x).

x

скости. При этом если имеем комплексное число z = x + iy, то точка с координатами (x, y) называется аффиксом комплексного числа z. Комплексное число может быть представлено в виде радиус вектора, соединяющего начало координат и точку с координатами (х, у), т.е. комплексное число одно значно определяется длиной своего радиус век тора и углом между положительным направлением оси Ох и радиус вектором.

Тригонометрическая форма комплексно! го числа: z = x + iy = r(cosϕ + i sinϕ), где r = |z| = =√x2 + y2 — модуль, а угол ϕ такой, что x = rcos ϕ, y = rsinϕ, и он называется аргументом комплексно го числа z. В тригонометрической форме произве дение двух комплексных чисел равно:

z1z2 = r1r2[cos (ϕ1 + ϕ2) + i sin (ϕ1 + ϕ2)].

Формула Муавра: (cosϕ + i sinϕ)n = cosnϕ+

+ i sinnϕ.

Элементарными функциями комплексной переменой называются функции, которые полу чаются из элементарных функций вещественной переменной, разлагаемых в степенной ряд следую щим образом: если элементарная функция вещест венной переменной х имеет вид: y = f(x) = a0 + a1x + + a2x2 + ..., то соответствующая элементарная функция комплексной переменной z имеет вид

w = f(z) = a0 + a1z + a2z2 + ... (при этом данный ряд должен быть сходящимся). Основные элементар

ные функции комплексной переменной: z n, ez, az, ln z, sin z, cos z, arcsin z, arccos z, tg z, ctg z, аctg z, sh z, ch z.

АКСИОМАТИКА.

46 ФОРМАЛЬНАЯ ВЕРОЯТНОСТНАЯ МОДЕЛЬ

Имеется вероятностное пространство: ( Ω σ P). Зададим m числовых измеримых скалярных функ ций ξ1(ω), …, ξm(ω). Каждая из этих функций яв ляется одномерной по определению. Возьмем m произвольных действительных чисел и рассмот рим событие А.

А = {Aω: ξ1(ω) < х1, ξ2(ω) < х2,…, ξm(ω) < хm}. Очевидно, что событие А является пересече

нием событий А вида:

Ai = {Aω: ξi(ω) < хi},

m

A = Π Ai.

i = 1

Так как каждое Аi σ алгебре, то и А σ алгеб ре. Следовательно, существует вероятность на ступления события А и существует числовая ска лярная функция m действительных аргументов, которая определена для всех значений своих ар гументов и численно равна вероятности наступ ления события А.

F(x1, x2, …, xm) = Р(А).

Это m мерная функция распределения m мер ной случайной величины. Свойства многомер!

ного распределения:

1)значение функции при значении хотя бы одного ее аргумента, равного –∞, равно нулю как ве роятность невозможного события;

2)значение функции при всех значениях ее аргу ментов, равных +∞, равно единице как ве роятность достоверного события;

3)функция не убывает по любой совокупности ее аргументов;

4)функция непрерывна почти всюду (для инженер ной практики это означает, что на конечном либо

счетном множестве аргументов она может иметь скачки первого рода).

Таким образом, многомерная функция распре деления позволяет в m мерном арифметическом пространстве задать счетно аддитивную меру — функцию на поле, порожденном всеми m мерны ми полуинтервалами объема. Тогда построим минимальную σ алгебру на этом поле, которая на зывается борелевским полем (алгеброй) в m мер ном арифметическом пространстве. Любая ска лярная функция m аргументов удовлетворяет всем свойствам, приведенным для m мерной функции распределения и однозначно задает ве роятностное пространство вида: (Rm, Bm, p).

Таким образом, для инженерного исследова ния задача свелась к следующему: пространство элементарных событий — это m мерное арифме тическое пространство. По результатам статисти ческих испытаний нужно оценить m мерную функ цию распределения F(х1, х2, …, xm). Рассмотрим числовую скалярную функцию m действительных

аргументов g(х1, х2, …, хm). Функция g(x1, х2, ..., xm) называется борелевской. Скалярная функция η(ω) =

= g(ξ1(ω), ..., ξm(ω)} является измеримой скалярной функцией — случайной величиной.

ДВУМЕРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ 47 И НЕПРЕРЫВНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ

Рассмотрим испытание, результатом которо го является появление двух чисел из некоторого конечного либо счетного множества пар чисел. Это испытание физически может быть одним ис пытанием (мгновенным измерением прибором величины тока и напряжения в сети), а также мо жет быть композицией двух испытаний, каждое из которых порождает одномерную дискретную вели чину.

Двумерной случайной величиной назы вается система из двух одномерных случайных ве личин X, Y, где как X, так и Y являются дискретными случайными величинами. В пространстве эле ментарных событий дискретной случайной вели чины ХY определим сложное событие А. В ре зультате испытания над двумерной случайной величиной ХY случайная величина Х приняла зна чение хi, случайная величина Y — любое значение.

Условное математическое ожидание случайной величины при условии, что другая случайная ве личина приняла заданное значение, определяет число — точку, относительно которой группируют ся результаты конкретных испытаний над одной случайной величиной при условии, что в этом ис пытании (над двумерной случайной величиной XY) вторая случайная величина приняла заданное фиксированное значение.

Условная дисперсия определяет степень кон центрации результатов конкретных испытаний над одной случайной величиной относительно услов ного математическое ожидания.

При решении практических задач условное мате матическое ожидание и условная дисперсия обыч