Курс по высшей математике (для экономистов)

Ненулевой столбец Х такой, что АХ = λХ, назы вается собственным вектором матрицы А. В этом равенстве коэффициент λ может быть лишь одним из корней многочлена:

который называется характеристическим мно, гочленом матрицы А. Эти корни называются

собственными значениями, или характе, ристическими числами, матрицы А. Коэффи циенты характеристического многочлена выра жаются через суммы некоторых миноров матрицы А.

Существует большое число различных типов матриц в зависимости от выполнения различных соотношений между элементами.

Отметим ленточные матрицы. Это матрицы, ненулевые элементы которых могут располагать ся на главной диагонали и на диагоналях, сосед них с главной, например двухдиагональные и трех диагональные. Не менее важны специальные типы матриц, употребляемых в качестве вспомогатель ных. Это элементарные матрицы, отличающиеся от единичной одним элементом; матрицы враще ния и отражения.

Имеются унитарные аналоги матриц вращения и отражения; правые (левые) треугольные матри цы, у которых равны нулю элементы под (над) глав ной диагональю; правые (левые) почти треугольные матрицы (матрицы типа Хессенберга), у которых равны нулю элементы под (над) диагональю, со седней снизу (сверху) с главной.

Матрица — полезный аппарат для исследова ния многих задач теоретической и прикладной математики. Одной из важнейших задач является

задача нахождения решения систем линей, ных алгебраических уравнений. В матричных обозначениях такие системы записываются в ви де: АХ = F, где А есть матрица коэффициентов, X — искомое решение, записанное в виде столбца из n элементов, F — столбец свободных членов из m элементов. Если А — квадратная неособенная матрица, то система имеет единственное реше ние X = А–1F. Если А — прямоугольная (m х n) мат рица ранга k, то решение может не существовать или быть не единственным. При отсутствии един ственности точного или обобщенного решения часто выбирают нормальное решение, т.е. реше ние с наименьшей суммой квадратов компонент. Нормальное обобщенное решение находится по формуле X = А + F. Наиболее важен случай переопре деленной системы: k = n < m. В этом случае обобщенное решение единственно. При k = m < n (недоопределенная система) точных решений бесконечно много, и формула дает нормальное решение. Не менее важной для многочисленных приложений (в теории дифференциальных уравне ний, в теории малых колебаний, в квантовой меха нике и т.д.) является задача решения полной или частичной проблемы собственных значений. Здесь ищутся все или часть собственных значе ний матриц и принадлежащие им собственные или корневые (некоторые обобщения собственных) векторы.

Численные методы решения систем ли, нейных уравнений основываются обычно на преобразовании систем посредством цепочки левых умножений на подходящие вспомогатель ные матрицы, с тем чтобы перейти к легко решае мой системе. В качестве вспомогательных для ве щественных матриц употребляются элементарные матрицы — вращения или отражения. Система с неособенной матрицей приводится либо к систе ме с треугольной матрицей, либо с ортогональной. В теоретическом аспекте это равносильно пред ставлению матрице коэффициентов в виде произ ведения двух треугольных матриц (при выполне нии некоторых дополнительных условий) или в виде произведения треугольной на ортогональную (в том или другом порядке).

Для переопределенной системы умножением слева на цепочку матрицы вращения или отраже ния можно прийти к системе с треугольной матри цей порядка n, решение которой дает обобщенное решение исходной системы.

Для решения проблемы собственных значений, прежде чем применять наиболее эффективные итерационные методы, целесообразно подобно преобразовать матрицы общего вида к матрицам типа Хессенберга или к трехдиагональной (в слу чае симметрии). Этого можно добиться за счет цепочки подобных преобразований элементарны ми матрицами, матрицами вращения или отра жения.

9ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ

Определитель (детерминант) — особого рода математическое выражение, встречающееся в различных областях математики. Пусть дана мат рица порядка n, т.е. квадратная таблица, составлен ная из n2 элементов (чисел, функций и т.п.).

Каждый элемент матрицы снабжен двумя индек сами; первый указывает номер строки, второй — номер столбца, на пересечении которых находится этот элемент. Определителем матрицы назы вается многочлен, каждый член которого являет ся произведением n элементов матрицы, причем из каждой строки и каждого столбца матрицы в про

или сокращенно aik .

Определители обладают рядом важных свойств, которые, в частности, облегчают их вы числение. Простейшие из этих свойств:

1)определитель не изменяется, если в нем стро ки и столбцы поменять местами;

2)определитель меняет знак, если в нем поме нять местами две строки (или два столбца);

3)определитель равен нулю, если в нем элемен ты двух строк (или двух столбцов) соответствен но пропорциональны;

4)общий множитель всех элементов строки (или столбца) определителя можно вынести за знак определителя;

5)если каждый элемент какого нибудь столбца (строки) определителя есть сумма двух слагае мых, то определитель равен сумме двух опреде лителей, причем в одном из них соответствующий столбец (строка) состоит из первых слагаемых, а в другом — из вторых слагаемых, остальные же столбцы (строки) — те же, что и в данном определителе;

6)определитель не изменяется, если к элемен там одной строки (столбца) прибавить элемен

ты другой строки (другого столбца), умноженные на произвольный множитель.

В математическом анализе определители систематически используются после работ немец кого математика К. Якоби (вторая четверть XIX в.), исследовавшего определители, элементы которых являются не числами, а функциями одного или нескольких переменных. Наибольший интерес представляет определитель Якоби (якобиан):

Определитель Якоби равен коэффициенту искажения объемов при переходе от неперемен ных х1, х2, …, хn к переменным:

y1 = f1(x1, …, xn), y2 = f2(x1, …, xn),

…………………,

yn = fn(x1, …, xn).

ЛИНЕЙНОЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ 10 УРАВНЕНИЕ

Линейные дифференциальные уравнения —

где у = у(х) — искомая функция, y(n), y(n – 1), ..., y — ее

производные, а р1(х), p2(х), …, pn(х) (коэффи циенты) и f(х) (свободный член) — заданные функции.

В уравнении (1) искомая функция у и ее произ водные первой степени, поэтому оно называется линейным. Если f(х) = 0, то уравнение (1) назы вается однородным, в противном случае — не однородным. Общее решение у0 = y0(х) однородно го линейного дифференциального уравнения при условии непрерывности его коэффициентов рk(х) выражается формулой:

y0 = C1y1(x) + C2y2(x) + … + Cnyn(x),

где С1, С2, ..., Сn — произвольные постоянные и у1(х), у2(х),..., уn(х) — линейно независимые частные решения, образующие так называе мую фундаментальную систему решений.

Критерием линейной независимости решений служит неравенство нулю (хотя бы в одной точке)

Общее решение у = у(х) неоднородного линей ного дифференциального уравнения (1) имеет вид:

Y = y0 + Y,

где у0 = у0(х) — общее решение соответствующего однородного, Y = Y(х) — частное решение дан ного неоднородного уравнения.

Функция Y (х) может быть найдена по формуле:

где уk(х) — решения, составляющие фундамен тальную систему решений однородного ли нейного дифференциального уравнения;

Wk(х) — алгебраическое дополнение элемен та уk(n –1)(x) в определителе Вронского W(х).

Если коэффициенты уравнения (1) постоянны: pk(x) = аk (k = 1, 2, ..., n), то общее решение однород ного уравнения выражается формулой:

k = 1 S = D

где ak ± i βk (k = 1, 2, ..., m; i = √–1 ) — корни так называемого характеристического уравнения:

λn + a1 λn – 1 + ... + an = 0,

где nk — кратности этих корней; Сks, Dks — произ вольные постоянные.

Для линейного дифференциального уравнения y ′′′+ у = 0 характеристическое уравнение имеет вид:

λ3 + 1 = 0.

Общее решение однородной системы линейно го дифференциального уравнения, получаемой из

системы (3), если все f (х) = 0 дается формулами:

A j

y = ΣC y (j = 1, 2, ... n),

i k = 1 k jk

где yj1, yj2, …, yjn — линейно независимые частные решения однородной системы (т.е. такие, что определитель yjk(x) = 0 хотя бы в одной точке).

11 ПОНЯТИЕ ФУНКЦИИ

Функция — одно из основных понятий мате матики, выражающее зависимость одних пере менных величин от других. Если величины х и y связаны так, что каждому значению х соответст вует определенное значение y, тo y называют (од, нозначной) функцией аргумента х. Иногда х называют независимой, а y — зависимой пере менной. Записывают указанное соотношение между х и y в общем виде так: у = f(х) или у = F(х) и т.п. Если связь между х и y такова, что одному и тому же значению х соответствует вообще несколько (быть может, даже бесконечное множество) зна чений у, то у называют многозначной функцией аргумента х. Задать функцию у = f(х) — значит ука зать:

1)множество А значений, которые может прини мать х (область задания функции);

2)множество В значений, которые может прини мать у (область значения функции);

3)правило, по которому значениям х из А соот ветствуют значения у из В.

Впростейших случаях областью задания функ ции служат вся числовая прямая или ее отрезок

а≤ х ≤ b (или интервал а < х < b).

Правило отнесения значениям х соответствую щих им значений у чаще всего задается форму лой, устанавливающей, какие вычислительные операции надо произвести над х, чтобы найти у. Таковы, например, формулы:

К вычислительным (или аналитическим) опера циям, кроме четырех действий арифметики, при

нято относить также операцию перехода к пределу (т.е. нахождение по заданной последовательности чисел а1, а2, а3, …, аn ее предела lim an, если он существует), хотя никаких общих способов произ водства этой операции нет. В 1905 г. А. Лебег пред ложил общее определение аналитически изобра зимой функции как функции, значения которой получаются из значений х и постоянных величин при помощи арифметических действий и предель ных переходов. Все так называемые элементар ные функции sin х, cos х, ах, √х, log х, arctg x тому подобное аналитически изобразимы.

Кроме описанного здесь аналитического спо соба задания функции при помощи формулы, при меняются и другие способы. Например, в триго нометрии функция cos х определяется как проекция единичного вектора на ось, образующую с ним угол в х радианов, а функция √х в алгебре — как число, квадрат которого равен х.

Существуют, однако, и такие функции, которые непредставимы в описанном выше смысле ника кой аналитической формулой. Такими функциями во всяком случае являются так называемые не измеримые по Лебегу функции.

К функциям, заданным одной аналитической формулой, примыкают функции, которые на раз ных частях своей области задания определены различными формулами. Например, f(х), задан ная так: f(х) = х, если х = 1, и f(х) = х2, если х > 1. Приведенное выше «бесформульное» задание функции Дирихле ψ(х) также принадлежит к этому типу.

12 ГРАФИКИ. ВИДЫ ГРАФИКОВ

График — геометрическое изображение функ циональной зависимости при помощи линии на плоскости. График применяют как для наглядного изображения функциональных зависимостей и придания наглядности их исследованию, так и для быстрого фактического нахождения значений функций по значениям аргументов. Если система координат выбрана, то график функции f(х) есть не что иное, как множество (или, как иначе говорят, «геометрическое место») тех точек плоскости, координаты которых удовлетворяют уравнению у = f(х). В большинстве случаев графики строят

вдекартовых прямоугольных координатах.

Спомощью графических методов решаются задачи моделирования процессов управления, выявляются и рационализируются взаимосвязи между различными факторами, определяются расчетные показатели и нормативы, выполняют ся контроль и учет, группировка и классификация хозяйственных операций, информация представ ляется в наглядном виде.

Графики, применяемые в управлении производ ством, можно разделить на следующие группы: 1) графики, отражающие состав объекта и взаи

мосвязи его частей. К ним относятся класси фикационные и структурные схемы, табличные оргсхемы, схемы потоков информации и схемы рабочих процессов. Эта группа графиков ис пользуется для анализа различных показате лей производства — затрат рабочего времени, брака по причинам и виновникам, документо оборота и др.;