Курс по высшей математике (для экономистов)
.pdf
Спектральной функцией для функции f(x)
называется функция:
+∞
A(λ) = 21π–∫∞ f(t)e–itλdt.
Некоторые свойства преобразования Фурье:
1) если прообраз сдвинуть на постоянную а, то его
;
~ λ α
2) если функция f(x) преобразуется в f( ),то f( x) (α = const > 0) преобразуется в 1/α~f(λ/α);
3)если от функции f(x) взять первую производную, то образ умножится на i λ (при этом считается, что функции f(х) и f′(х) абсолютно интегрируемы
иf′(х) непрерывна);
4)если функция f(х, у) зависит от двух парамет
ров, то ее образ тоже зависит от этих парамет
~
ров f (х, у);
5)если последовательность функций {f } сходит
∞n+
ся к функции f(x) в том смысле, что ∫f – f dx = 0,
–∞ n
то последовательность преобразований Фурье
~
этих функций {f } сходится к преобразованию
~ n
Фурье f равномерно для всех х (т.е. малым
изменениям функции соответствуют малые из менения ее преобразования Фурье);
6) если функция f(x) удовлетворяет условию
+∞ |
|
~ |
||
∫ |
f(x) |
dx |
<∞ |
|
–∞ |
, то ее преобразование Фурье f(λ), |
|||
|
|
|
|
|
является ограниченной непрерывной функцией, которая стремится к нулю при |λ|→ ∞.
33 ИНТЕГРАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ
Интегральная геометрия — раздел матема тики, в котором изучаются некоторые специальные числовые характеристики (меры) для множеств точек, прямых, плоскостей и других геометриче ских объектов, вычисляемые, как правило, с по мощью интегрирования. При этом мера долж
на удовлетворять требованиям:
1)аддитивности (мера множества, состоящего из нескольких частей, равна сумме мер этих частей);
2)инвариантности относительно движений (два множества, отличающиеся только положением, имеют одинаковые меры).
Кинтегральной геометрии относятся прежде всего задачи нахождения длин, площадей и объе мов, решаемые посредством интегрирования.
Факторами для развития интегральной геометрии послужили задачи, относящиеся к так называемым геометрическим вероятностям, определяемым как отношение меры множества благоприятных случаев к мере множества всех возможных слу чаев (по аналогии с классическим определением вероятности как отношения числа благоприятных случаев к числу всех возможных случаев).
Первым и наиболее известным примером яв ляется задача Бюффона: на плоскость, покрытую рядом параллельных прямых, среди которых каж дые две соседние находятся на расстоянии h, па дает случайным образом тонкая цилиндрическая игла, длина I которой меньше расстояния h между параллелями. Какова вероятность того, что игла пересечет одну из этих прямых? Эта задача равно сильна следующей: какова вероятность того, что
наудачу взятая секущая круга (диаметра h) пере сечет данный отрезок длины I < h с серединой в центре круга? Эту вероятность определяют как отношение меры множества прямых, пересекаю щих данный отрезок, к мере множества прямых, пересекающих данный круг.
Из требования аддитивности меры следует, что эта функция f(х) должна быть аддитивной: f(х + у) = = f(x) + f(у), а отсюда вытекает f(x) = Cx, где С — постоянная. Итак, на плоскости мера множества всех прямых, пересекающих данный отрезок, должна быть пропорциональна его длине. Коэф фициент пропорциональности удобно принять рав ным 2, т.е. условиться, что за меру множества прямых, пересекающих отрезок длины 1, прини мается число 2. Тогда мера множества прямых, пересекающих любой отрезок, окажется равной удвоенной его длине.
В конце XIX — начале XX вв. исследования по интегральной геометрии еще связаны с геомет рическими вероятностями (работы английского математика М. Крофтона, французского матема тика А. Пуанкаре), но уже в работе французского математика Э. Картана (1896 г.) они входят в общую теорию интегральных инвариантов, а в 20 х гг. XX в. складываются в самостоятельную теорию с раз нообразными приложениями — к геометрии в це лом, прежде всего к изучению выпуклых областей, к геометрической оптике и теории излучения.
34 ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Интегральные уравнения — уравнения, со держащие неизвестные функции под знаком ин теграла. Многочисленные задачи физики и мате матической физики приводят к интегральным уравнениям различных типов.
Линейным интегральным уравнением первого
рода называется уравнение вида:
b
∫K(x1,t)u(t)dt = f(x),
a
линейным интегральным уравнением второго рода,
или уравнением Фредгольма, — уравнение вида:
b
u(x1) – ∫K(xt)u(t)dt = f(x),
a
(при f(х) ≡ 0 оно называется однородным уравне нием Фредгольма). Обычно уравнения Фредголь
ма рассматриваются с параметром λ:
b
u(x) – λ∫K(xt)u(t)dt = f(x).
a
Во всех уравнениях функция К(х, у) (а ≤ х ≤ b, А ≤ у ≤ b) — так называемое ядро интегрального уравнения — известна так же, как функция f(х) (а ≤ ≤ х≤ b); искомой является функция u(х) (а ≤ х ≤ b).
Функции К(х, у), f(х), u(х) и параметр уравнения λ могут принимать как действительные, так и комп лексные значения. В частном случае, когда ядро К(х, у) обращается в нуль при у > х, получается
уравнение Вольтерра:
b
u(x) – λ∫K(xt)u(t)dt = f(x).
a
Интегральное уравнение называется особым, если хотя бы один из пределов интегрирования бесконечен или ядро К(х, у) обращается в беско
нечность в одной или нескольких точках квадрата а ≤ х ≤ b, а≤ у ≤ b или на некоторой линии.
Линейные интегральные уравнения второго рода решаются следующими методами:
1)решение u(х) получается в виде ряда по степе ням λ (сходящегося в некотором круге | λ| < К) с коэффициентами, зависящими от х (метод Вольтерра—Неймана);
2)решение u(х) при тех значениях λ, при которых оно вообще существует, выражается через не которые целые функции от λ (метод Фредголь ма);
3)в случае, когда ядро симметрично, т.е. К(х, у) = = К(у, х), решение u(х) выражается в виде ряда по ортогональным функциям u k(х), являющим ся ненулевыми решениями соответствующего
однородного уравнения:
b
u(x) – λ∫K(xt)u(t)dt = f(x);
a
4)в некоторых частных случаях решение сравни тельно просто получается с помощью преоб разования Лапласа.
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ 35 ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТИ
И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ. ОПЕРАЦИИ НАД СОБЫТИЯМИ
Испытанием называется реализация опре деленного комплекса условий, который может вос производиться неограниченное число раз. При этом комплекс условий включает в себя случай ные факторы, реализация которых в каждом испы тании приводит к неоднозначности исхода испы тания.
Например, испытание — подбрасывание моне ты. Результатом испытания является событие. Событие бывает достоверное (всегда происходит в результате испытания); невозможное (никогда не происходит); случайное (может произойти или не произойти в результате испытания).
Например, при подбрасывании кубика невозмож ное событие — кубик станет на ребро, случайное событие — выпадение какой либо грани. Конк ретный результат испытания называется элемен тарным событием. В результате испытания проис ходят только элементарные события. Совокупность всех возможных различных конкретных исходов испытаний называется пространством элемен тарных событий.
Например, испытание — подбрасывание шести гранного кубика, элементарное событие — выпа дение грани с цифрами «1» или «2».
Совокупность элементарных событий — это прост ранство элементарных событий. Сложным событием называется произвольное подмножество простран ства элементарных событий. Сложное событие в ре зультате испытания наступает тогда и только тогда, когда в результате испытаний произошло элемен тарное событие, принадлежащее сложному.
Таким образом, если в результате испытания может произойти только одно элементарное со бытие, то в результате испытания происходят все сложные события, в состав которых входят эти эле ментарные.
Например, испытание — подбрасывание куби ка. Элементарное событие — выпадение грани с цифрой «1». Сложное событие — выпадение не четной грани.
Событие С называется суммой А + В, если оно состоит из всех элементарных событий, входящих как в А, так и в В. При этом если элементарное событие входит и в А, и в В, то в С оно входит один раз. В результате испытания событие С происхо дит тогда, когда произошло событие, которое вхо дит или в А, или в В. Сумма произвольного коли чества событий состоит из всех элементарных событий, которые входят в одно из Аi, i = 1, …, m.
Событие С называется произведением А и В, если оно состоит из всех элементарных событий, входящих и в А, и в B.
Разностью событий А – В называется событие С, состоящее из всех элементарных событий, входя
щих в А, но не входящих в В.
—
Событие А = 1 – А называется противополож ным событию А.
События А и В называются несовместными, если они никогда не могут произойти в результате одного испытания.
ЧАСТОСТЬ НАСТУПЛЕНИЯ СОБЫТИЯ. 36 СВОЙСТВА ЧАСТОСТИ
Пусть пространство элементарных событий ко нечно и состоит из m элементарных событий. В этом случае в качестве возможных исходов ис пытаний рассматривают 2m событий — множество всех подмножеств пространства элементарных событий П и невозможное событие 0:
Ω = (ω1, ω2, ω3), A1 = 0,
A2 = (ω1),
A3 = (ω2),
A4 = (ω3), A5 = (ω1,ω2), A6 = (ω2, ω3), A7 = (ω1, ω3),
A8 = (ω1, ω2, ω3).
Обозначим систему этих событий через F. Бе рем произвольное событие А F. Проводим се рию испытаний в количестве n; n — это количество испытаний, в каждом из которых произошло собы тие А. Частостью наступления события А в n испы таниях называется число:
n Wn(A) = nA .
Свойства частости:
1)0≤Wn(A)≤1;
2)частость достоверного события равна единице:
Ωn(U) = 1;
3)частость суммы попарно несовместных собы тий равна сумме частостей. Рассмотрим систе му Аi, i = 1, ..., k; события попарно несовмест
событие:
i j |
k |
А=Σ Ai.
i = 1
Пусть в результате некоторого испытания произо шло событие А. По определению суммы это озна чает, что в этом испытании произошло некоторое событие А. Так как все события попарно несовмест ны, то это означает, что никакое другое событие Ai, (i ≠j) в этом испытании произойти не может. Сле довательно:
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
n |
|
|
ΣnAi |
k |
n |
k |
Wn(A) = |
|
A |
= |
i = 1 |
=Σ |
Ai |
=ΣWn(A). |
n |
|
n |
|||||
|
n |
||||||
|
|
|
i = 1 |
i = 1 |
Теория вероятности используется при описании только таких испытаний, для которых выполняется следующее предположение: для любого события А частость наступления этого события в любой бесконечной серии испытаний имеет один и тот же предел, который называется вероятностью наступ ления события А.
Следовательно, если рассматривается вероят ность наступления произвольного события, то мы понимаем это число следующим образом: это частость наступления события в бесконечной (достаточно длинной) серии испытаний.
К сожалению, попытка определить вероятность как предел частости при числе испытаний, стре мящихся к бесконечности, закончилась неудачно. Хотя американский ученый Людвиг фон Мизес создал теорию вероятности, базирующуюся на этом определении, но ее не признали из за боль шого количества внутренних логических несоот ветствий. Теория вероятности как наука была по строена на аксиоматике А. Н. Колмогорова.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТНОГО 37 ПРОСТРАНСТВА. КЛАССИЧЕСКОЕ
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТИ
Вероятностным пространством называет ся тройка ( Ω, σ, Р), где Ω — пространство элемен тарных событий, построенное для данного испы тания; σ — алгебра, заданная на Ω — системе возможных событий, которая интересует исследо вателя; Р — σ аддитивная мера, т.е. σ аддитивная неотрицательная функция, аргументами которой являются аргументы из σ алгебры и которая удов летворяет трем аксиомам теории вероятности.
1. A A σ Р(А) ≤1. Р(А) называется вероятно стью наступления события А.
2. Вероятность достоверного события равна единице: P(Ω A A σ) = 1.
3. Вероятность суммы несовместных событий равна сумме вероятностей:
k |
k |
P( Σ Ai) = ΣP(Ai), |
|
i = 1 |
i = 1 |
где k — возможное бесконечное число. Таким об разом, вероятность невозможного события равна нулю.
По определению суммы имеет место неравен ство Ω + V = Ω. Ω и V — несовместные события. По третьей аксиоме теории вероятности имеем:
Р(Ω + V) = Р(Q) = Р(U) = 1, Р(Ω) + Р(V) = Р(Ω),
1 + P(V) = 1, P(V) = 1.
Пусть Ω состоит из конечного числа элемен тарных событий Ω= (Е1, Е2, …, Еn) тогда по опреде
лению:
m
Ω= ΣEi .
i = 1