Курс по высшей математике (для экономистов)

2)графики изменения управляемого процесса во времени и пространстве. Эта группа включает гармонограммы, учетно контрольные и плано вые графики, планы объектов на местности, планировку оборудования и рабочих мест, цикло граммы;

3)графики функциональных зависимостей между отдельными параметрами (графики сравнения структур и параметров);

4)расчетные графики (номограммы и шкалограм мы), служащие для упрощения расчетов трудо вых, материальных и календарно плановых нормативов, а также различных математиче ских расчетов (перевода абсолютных величин в проценты, расчета размера партий и т.п.);

5)смешанные графики.

13 ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ

Теория функций — раздел математики, в ко тором изучаются общие свойства функций. Дан ная теория распадается на две части: теорию функ ций действительного переменного и теорию функций комплексного переменного.

В классическом математическом анализе основным объектом изучения являются непре, рывные функции, заданные на (конечных или бесконечных) интервалах и обладающие более или менее высокой степенью гладкости. Однако уже со второй половины XX в. развитие математики все настоятельнее стало требовать систематическо го изучения функций более общего типа. Основ ной причиной этого является то, что предел после довательности непрерывных функций может быть разрывен. По той же причине могут быть разрывны производные непрерывных функций и т.п. И, нако нец, дифференциальные уравнения, возникающие при рассмотрении физических задач, иногда не имеют решений в классе достаточно гладких функ ций, но имеют их в более широких классах функций (если надлежащим образом сообщить само поня тие решения). Весьма важно, что именно эти обоб щенные решения и дают ответ на исходную физиче скую задачу. Эти и аналогичные им обстоятельства стимулировали создание теории функций дей, ствительного переменного.

Отдельные частные факты теории функций дей ствительного переменного были открыты еще в XIX в. (существование рядов непрерывных функ ций с разрывной суммой, примеры нигде не диф ференцируемых непрерывных функций, неинтег рируемых функций и т.п.). И все же эти факты

воспринимались обычно как исключения из пра вил и не объединялись никакими общими схема ми. Лишь в начале XX в., когда в основу изучения функций были положены методы теории множеств, стала систематически развиваться современная теория функций действительного переменного.

Различают 3 направления в теории функ, ций действительного переменного.

1.Метрическая теория, где свойства функ ций изучаются при помощи меры тех множеств, на которых эти свойства имеют место. В метрической теории функций с общих точек зрения изучаются интегрирование и дифференцирование функций, различными способами обобщается понятие схо димости функциональных последовательностей, исследуется строение разрывных функций весьма широкого типа и т.п. Важнейшим классом функций, изучаемым в метрической теории, являются из меримые функции.

2.Дескриптивная теория функций, в кото рой основным объектом изучения является опе рация предельного перехода.

3.Конструктивная теория функций, изучаю щая вопросы изображения произвольных функций при помощи надлежащих аналитических средств.

ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ. 14 ФУНКЦИИ МНОЖЕСТВ

Элементарные функции — класс функций, состоящий из многочленов, рациональных функ ций, показательных функций, логарифмических функций, тригонометрических функций и обратных тригонометрических функций, а также функций, получающихся из перечисленных выше с помощью четырех арифметических действий и суперпози ций (образования сложной функции), примененных конечное число раз. Класс элементарных функций наиболее изучен и чаще всего встречается в при ложениях математики. Однако многие прикладные вопросы приводят к рассмотрению функций, не являющихся элементарными функциями (напри мер, цилиндрических функций).

Функции множества — функции, сопоставляю щие каждому множеству из некоторого класса множеств определенное число. Например, длина отрезка является функцией множества, опреде ленной на классе всех отрезков на прямой (функ цией отрезка).

Интеграл при заданной интегрируемой функции также является функцией отрезка — интервала интегрирования [α, β]. Рассматривают также функ ции от областей на плоскости или в пространстве. Например, при заданном распределении плотно стей масса, заключенная в данной области Ω, яв ляется функцией этой области. Понятие «функ, ции области» — более гибкий аппарат для описания физических явлений, чем понятие «функции точ ки», так как позволяет учитывать случаи, когда плотность физических величин в отдельных точ ках бесконечна (точечные источники и т.д.). Кроме того, это понятие более отвечает условиям физи

ческого эксперимента (при котором наблюдается не функция точки, а среднее от этой функции по не которой малой области).

Понятие функции множества получило разви тие в связи с построением теории интеграла Лебега, в которой приходится рассматривать не только функции от областей, но и функции от произ вольных измеримых множеств. Одним из первых примеров такой функции является мера Лебега μ(Е) измеримого множества Е. Такая функция вполне аддитивна, т.е. мера суммы любой конечной или счетной совокупности непересекающихся изме римых множеств есть сумма мер этих множеств. Наряду с лебеговской мерой множеств рассмат ривают другие меры, являющиеся неотрицатель ными, вполне аддитивными функциями множест ва, определенными на соответствующем классе множеств. Они встречаются в общей теории ин теграла. Функцию множества f(Е) называют аб солютно непрерывной относительно некоторой меры μ, если f(Е) = 0 при μ(E) = 0.

Так, интеграл Лебега заданной суммируемой функции ϕ(х) по множеству М является вполне ад дитивной, абсолютно непрерывной (относительно меры Лебега) функцией от М. Наоборот, всякая вполне аддитивная, абсолютно непрерывная функ ция множества может быть представлена в ка честве интеграла Лебега от некоторой суммируе мой функции ϕ(х). Важным примером ее являются распределения вероятностей.

15 ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

К функциональным уравнениям, по сущест ву, относятся дифференциальные уравнения, ин тегральные уравнения, уравнения в конечных раз ностях. Следует, однако, отметить, что название «функциональное уравнение» обычно не относят к уравнениям этих типов. Под ним в узком смысле понимают уравнения, в которых искомые функции связаны с известными функциями одного или не скольких переменных при помощи операции обра зования сложной функции. Такие уравнения мож но также рассматривать как выражение свойства, характеризующего тот или иной класс функций (например, (х) = f(–х) характеризует класс четных функций, (х + 1) – f(х) — класс функций, имеющих период 1 и т.д.).

Одним из простейших функциональных уравне ний является уравнение f(х + y) = f(х) + f(у). Непре рывные решения его имеют вид: f(х) = Сх. Однако в классе разрывных функций оно имеет и иные ре шения. С рассмотренным функциональным урав нением связаны F(х + у) = f(х) f(у), f(ху) – f(х) + f(у), f(xy) = f(x) f(y), непрерывные решения которых имеют соответственно вид: еСх, С1nх, х01 (х > 0).

Они могут служить для определения показа тельной, логарифмической и степенной функций.

В теории аналитических функций функциональ ные уравнения часто применяются для введения новых классов функций. Например, двоякоперио, дические функции характеризуются: f(z + а) =

=f(z) и f(z + b) = f(z); автоморфные функции: F(sα z) =

=f(z), где {Sа} — некоторая группа дробно линей ных преобразований.

Если функция известна в некоторой области, то знание для нее функциональных уравнений позво ляет расширить область определения этой функ ции. Например, f(х + 1) = f(х) для периодических функций позволяет определить их значение в лю бой точке по значениям на отрезке [0, 1].

Решения функциональных уравнений могут быть как конкретными функциями, так и классами функ ций, зависящими от произвольных параметров или произвольных функций. Для некоторых функцио нальных уравнений общее решение может быть найдено, если известны одно или несколько его частных решений. Так, общее решение f(х) = f(ах) имеет вид: ϕ[ω (x)], где ϕ(х) — произвольная функ ция, а ω(х) — частное решение этого функциональ ного уравнения.

Для решения таких уравнений их во многих слу чаях сводят к дифференциальным уравнениям. Этот метод дает лишь решения, принадлежащие классу дифференцируемых функций.

Другим методом решения функциональных уравнений, является метод итераций. Этот метод дает, например, решение уравнения Абеля:

fα[(х)] = f(х) + 1,

где α (х) — заданная функция, и связанного с ним уравнения Шредера:

f [α(х)] = с(х).

А. И. Коркин доказал, что если α(х) — аналити ческая функция, то уравнение Абеля имеет анали тическое решение. Эти результаты, нашедшие применение в теории групп Ли, привели в даль нейшем к созданию теории итераций аналитиче ских функций.

16 ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ

Функциональный анализ — часть современ ной математики, главной задачей которой яв ляется изучение бесконечномерных пространств

иих отображений. Наиболее изучены линейные пространства и линейные отображения.

Для современного этапа развития функцио нального анализа характерно усиление связей с теоретической физикой, а также с различными разделами классического анализа и алгебры, на пример с теорией функций многих комплексных переменных, теорией дифференциальных уравне ний с частными производными и т.п.

Наиболее общими пространствами, фигурирую щими в функциональном анализе, являются ли нейные (векторные) топологические простран ства, т.е. линейные пространства X над полем комплексных чисел С (или действительных чисел), которые одновременно и топологические, причем линейные операции непрерывны в рассматривае мой топологии. Более частная, но очень важная ситуация возникает, когда в линейном пространстве X можно ввести норму (длину) векторов, свойства которой являются обобщением свойств длины век торов в обычном евклидовом пространстве. Именно нормой элемента x X называется действительное число ||х||, такое, что всегда ||х||= 0 и ||х|| = 0 тогда

итолько тогда, когда х = 0; ||λ||= |λ| ||x||, ||x + y||≤ ≤||x||+ ||y||.

Такое пространство называется линейным нормированным; топология в нем вводится при помощи метрики dist(х, y) = ||x – y||(таким oбразом,

считается, что последовательность хn n →∞ х, ес ли ||xn – x|| n →∞ 0.

В большом числе задач возникает еще более частная ситуация, когда в линейном пространстве X можно ввести скалярное произведение — обоб щение обычного скалярного произведения в евкли довом пространстве. Именно скалярным произ, ведением элементов х, уназывается комплексное число (х, y) такое, что всегда (х, х) > 0 и (х, х) = 0 тогда и только тогда, когда х = 0;

(x, y) = (x, y); (λx + μy, z) = λ(x, y) + μ(x, y).

При этом √(x, x) = ||x||является нормой элемен та х. Такое пространство называется предгиль, бертовым. Для конструкций функционального анализа важно, чтобы рассматриваемые прост ранства были полными (т.е. из того, что следует существование предела xn = x, также являющего ся элементом X). Полное линейное нормирован ное и полное предгильбертово пространства называются соответственно банаховым и гиль, бертовым. При этом известная процедура попол нения метрического пространства (аналогичная переходу от рациональных чисел к действитель ным) в случае линейного нормированного (пред гильбертова) пространства приводит к банахову (гильбертову) пространству.

Большой раздел функционального анализа по священ детальному изучению конкретных прост ранств, так как их свойства обычно определяют характер решения задачи, получаемого метода ми функционального анализа.

ИСТОРИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО 17 ИСЧИСЛЕНИЯ

Возникновение дифференциальной геометрии связано с именами Л. Эйлера и Г. Монжа. Ими к концу XVIII в. были получены важные факты теории поверхностей. Значительный вклад в развитие этой науки сделан в начале XIX в. К. Гауссом, кото рый ввел обе основные квадратичные формы. Им же была доказана теорема об инвариантности полной кривизны относительно изометрических преобразований. Фактически им были заложены основы внутренней геометрии поверхностей. В се редине и во второй половине XIX в. много глубоких и общих результатов по классической теории по верхностей было получено Ф. Миндингом,

Ж. Лиувиллем, Э. Бельтрами, Ж. Г. Дарбу, Л. Бианки. Ряд замечательных результатов по классической дифференциальной геометрии был получен русскими учеными Д. Ф. Егоровым, Н. Н. Лузиным, С. П. Финиковым и др.

Эпохой создания дифференциального исчисле ния как самостоятельного раздела математики следует считать то время, когда было понято, что указанные специальные задачи вместе с рядом других (в особенности с задачей определения мгновенной скорости) решаются при помощи од ного и того же математического аппарата — при помощи производных и дифференциалов. Это по нимание было достигнуто И. Ньютоном и Г. Лейб, ницем. Около 1666 г. И. Ньютон разработал ме тод флюксий. У Ньютона главными понятиями были производная (флюксия) и неопределенный интег рал как первообразная (флюента). Он стремился обосновать метод флюксий с помощью теории пределов, хотя последняя была им лишь намече