Курс по высшей математике (для экономистов)

на. В середине 70 х гг. XVII в. Г. Лейбниц разрабо тал очень удобный алгоритм дифференциального исчисления. Основными понятиями у Лейбница явились дифференциал как бесконечно малое при ращение переменного и определенный интеграл как сумма бесконечно большого числа дифферен циалов. Лейбницу принадлежат обозначения диф ференциала dх и интеграла уdх, ряд правил диф ференцирования, удобная и гибкая символика и, наконец, сам термин «дифференциальное ис числение». Дальнейшее развитие дифферен циального исчисления шло сначала по пути, на меченному Лейбницем; большую роль на этом этапе сыграли работы братьев Я. Бернулли

иИ. Бернулли, Б. Тейлора и др. Следующим эта пом в развитии дифференциального исчисления были работы Л. Эйлера и Ж. Лагранжа (XVIII в.). Эйлер впервые стал излагать его как аналити ческую дисциплину независимо от геометрии

имеханики. Лагранж пытался строить дифферен циальное исчисление алгебраически, пользуясь разложением функций в степенные ряды; ему, в част ности, принадлежит введение термина «произ водная». В начале XIX в. была удовлетворительно решена задача обоснования дифференциального исчисления на основе теории пределов. Это было выполнено главным образом благодаря работам

О. Коши, Б. Больцано и К. Гаусса. Более глубо кий анализ исходных понятий дифференциально го исчисления был связан с развитием теории множеств и теории функций действительного пе ременного в конце XIX — начале XX вв.

18 ПОНЯТИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛА

Дифференциал (от лат. differentia — «раз ность, различие») в математике — главная линей ная часть приращения функции. Если функция у = f(x) одного переменного x имеет при x = x0 произ водную, то приращение y = f(x0+ x) – f(x0) функции f(х) можно представить в виде: y = f ′(x0)x + R, где член R бесконечно мал по сравнению с х. Первый член dy = f′(х0)x в этом разложении и называется дифференциалом функции f(x) в точке х0. Из этой формулы видно, что дифференциал dy линейно зависит от приращения независимого перемен ного x, а равенство y = dy + R показывает, в каком смысле дифференциал dy является главной частью приращения y.

Обобщение понятия дифференциала на вектор функции, начало которому положили в начале XX в. французские математики Р. Гато и М. Фреше, позволяет выяснить смысл понятия «дифферен циал» для функций нескольких переменных, а в при менении к функционалам приводит к понятию ва риации, лежащему в основе вариационного исчисления.

Важную роль в этом обобщении играет понятие линейной функции (линейного отображения). Функ ция L(x) векторного аргумента x называется ли, нейной, если она непрерывна и удовлетворяет равенству l(x′+ x′′) = L(x′) + L(x′′) для любых x′и x′′ из области определения.

Линейная функция n мерного аргумента x =

= {x1, ..., xn} всегда имеет вид: L(x) = a1x1 + … + anxn — постоянные. Приращение L = L(x + h) – L (x) линей

ной функции L(x) имеет вид: L = L(h), т.е. зависит

только от векторного приращения h, и притом ли нейно. Функция f(x) называется дифференцируе мой при значении аргумента x, если ее прираще ние f = f(x + h) – f(х), рассматриваемое как функция от h, имеет главную линейную часть L(h), т.е. выра жается в виде: f = L(h) + R(h), где остаток R(h) при h → 0 бесконечно мал по сравнению с h. Главная линейная часть L(h) приращения f и называется дифференциалом df функции f в точке x. При этом в зависимости от того, в каком смысле понимает ся бесконечная малость R(h) по сравнению с h, различают слабый дифференциал, или дифферен циал Гато, и сильный дифференциал, или диффе ренциал Фреше. Если существует сильный диф ференциал, то существует и слабый, равный сильному. Слабый дифференциал может сущест вовать и тогда, когда сильный не существует.

В случае f(x) = x из общего определения сле дует, что df = h, т.е. можно приращение h считать дифференциалом от аргумента x и обозначать dx.

Если сделать теперь переменной точку х, в ко торой определяется дифференциал df, то он будет функцией двух переменных — Df(x; h).

Далее, считая h = h1 постоянным, можно найти дифференциал от дифференциала df(х; h1) как глав ную часть приращения df(x + h2; h1) – df(x; h1), где h2 — некоторое второе, не связанное с h1 прира щение x. Получаемый таким образом второй диф

ференциал d2f = d2f(x; h1, h2) является функцией трех векторных аргументов x, h1 и h2, линейной по

каждому из двух последних аргументов.

19 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ

Дифференциальная геометрия — раздел геометрии, в котором геометрические образы из учаются методами математического анализа. Главными объектами ее являются произвольные достаточно гладкие кривые (линии) и поверхности евклидова пространства, а также семейства ли ний и поверхностей. Обычно в дифференциальной геометрии исследуются локальные свойства гео метрических образов, которые присущи сколь угодно малой их части. Рассматриваются также и свойства геометрических образов в целом, на пример свойства замкнутых выпуклых поверхно стей.

Геометрические объекты, изучаемые в диффе ренциальной геометрии, обычно подчинены неко торым требованиям гладкости. Как правило, эти требования выражаются в том, что функции, задаю щие указанные объекты не менее двух раз, непре рывно дифференцируемы.

Сущность методов дифференциальной геомет рии, применяемых для выяснения локальных свойств геометрических объектов, проще всего уяснить на примере локального исследования формы кривых.

Различные разделы дифференциальной гео метрии посвящены изучению во всевозможных аспектах так называемых дифференциально гео метрических многообразий. Примерами таких многообразий могут служить кривые (одномерные многообразия), поверхности (двумерные много образия), обычное евклидово пространство (трех мерное многообразие). Более сложным примером может служить четырехмерное многообразие,

элементами которого являются прямые обычного евклидова пространства (прямая в декартовых координатах определяется уравнениями вида: z = = ах + b, z = су + d; числа а, b, с, d можно рассмат ривать как координаты этой прямой).

Изучение дифференциально,геометри, ческих многообразий ведется по следующим основным направлениям:

1)геометрия транзитивной группы отображений многообразия на себя, или геометрия «локаль ной группы» отображений. В тематику этих во просов входят обычная классическая локаль ная дифференциальная геометрия (изучение инвариантов группы движений евклидова прост ранства), аффинная, проективная и конформ ная геометрия (изучение инвариантов соответ ствующей группы преобразований);

2)геометрия многообразий с римановой метри кой (римановых пространств), представляю щая собой обобщение на многомерный случай внутренней геометрии поверхностей, которое можно рассматривать как двумерные римано вы пространства. Геометрия римановых прост ранств играет важную роль в теории относитель ности;

3)геометрия так называемых финслеровых прост ранств, являющихся обобщением римановых пространств;

4)геометрия многообразий со связностью, т.е. многообразий, в которых указан способ, с по мощью которого можно сравнивать геометри ческие образы, расположенные в касательных пространствах в разных точках.

20 ПРОИЗВОДНАЯ И ДИФФЕРЕНЦИАЛ

Операцию нахождения производной называют

дифференцированием.

Таблица формул и правил дифференци, рования:

(C′) = 0; (xn) = nxn – 1, (ax)′= ax ln a и (ex)′= ex,

(loga x)′ = 1/x ln a и (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x; (cos x)′ = –sin x,

(tg x)′= 1/cos2 x; (ctg x)′ = –1/sin2 x,

(arcsin x)′ = 1/ √(1 – x2), (arctg x)′ = 1/(1 + x2), [f(x) ± g(x)]′= f′(x) ± g′(x), [Cf(x)]′ = Cf′(x),

[f(x)g(x)]′= f′(x)g(x)+ f(x) g′(x).

Эта таблица, в частности, показывает, что произ водная от всякой элементарной функции есть сно ва элементарная функция.

Если производная f′(х), в свою очередь, имеет производную, то ее называют второй производной функции у = f(х) и обозначают: у′′, f′′(х), d2у/dx2,

d2f/dx2 или D2f(x). Производная порядка n обозна чается: у n, f n(х), dnу/dxn, dnf/dx n или Dnf(x).

Функция у = f(х), область определения которой содержит некоторую окрестность точки х0, назы вается дифференцируемой в точке х0, если ее при ращение y = f(x0 + x) – f(x0) можно записать в фор

ме: y = Ax + α x, где А = А (х0), α = α (х, х0) →0 при х → х0. В этом и только в этом случае выраже

ние Ах называется дифференциалом функции f(х) в точке х0 и обозначается dу или df(х0). Геометри чески дифференциал (при фиксированном значе нии х0 и меняющемся приращении х) изображает

приращение ординаты касательной, т.е. отрезок NT. Дифференциал dу представляет собой функцию как от точки х0, так и от приращения х. Говорят, что дифференциал есть главная линейная часть при ращения функции, понимая под этим, что при фик сированном х0 dу есть линейная функция от х и разность у – dу есть бесконечно малая относи тельно х. Для функции f(х) = х имеем dх = х, т.е. дифференциал независимого переменного совпа дает с его приращением. Поэтому обычно пишут dу = Adх. Имеется тесная связь между дифферен циалом функции и ее производной. Для того чтобы функция от одного переменного у = f(х) имела в точ ке х0 дифференциал, необходимо и достаточно, чтобы она имела в этой точке (конечную) произ водную f′(х0), и справедливо равенство dу = f′(х0)dх.

На практике с помощью дифференциалов часто производят приближенные вычисления значений функции, а также оценивают погрешности вычис лений.

В дифференциальном исчислении устанавли ваются связи между свойствами функции и ее производных (или дифференциалов), выражаемые основными теоремами дифференциального исчисления. К их числу относятся теорема Ролля, формула Лагранжа f(а) – f(b) = f ′(с)(b – а), где а < с < b, и формула Тейлора.

Эти предложения позволяют методами диффе ренциального исчисления провести подробное исследование поведения функций, обладающих достаточной гладкостью (т.е. имеющих производ ные достаточно высокого порядка).

21 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Дифференциальные уравнения — уравне ния, содержащие искомые функции, их производ ные различных порядков и независимые перемен ные. Теория дифференциальных уравнений возникла в конце XVII в. под влиянием потребностей механики и других естественно научных дисциплин, по существу, одновременно с интегральным исчис лением и дифференциальным исчислением.

Термин «дифференциальное уравнение» при надлежит Лейбницу. С современной точки зрения первая из этих задач (вычисление по функциям их производных) относится к дифференциальному исчислению, а вторая составляет содержание тео рии обыкновенных дифференциальных уравнений. Задачу нахождения неопределенного интеграла функции f(х) Ньютон рассматривал просто как част ный случай его второй задачи. Такой подход был для Ньютона как создателя основ математическо го естествознания вполне оправданным: в очень большом числе случаев законы природы, управ ляющие теми или иными процессами, выражают ся в форме дифференциального уравнения, а рас чет течения этих процессов сводится к решению дифференциального уравнения.

Следующие два простых примера могут служить иллюстрацией к сказанному.

1. Если тело, нагретое до температуры T, поме щено в среду, температура которой равна нулю, то при известных условиях можно считать, что при ращение T (отрицательное в случае Т > 0) его тем пературы за малый промежуток времени t с до статочной точностью выражается формулой:

T = –kTt, где k — постоянный коэффициент. При

математической обработке этой физической зада чи считают, что выполняется точно соответствующее предельное соотношение между дифференциала ми: dT = –kTdt, т.е. имеет место дифференциальное уравнение T′= –kT, где Т′обозначает производную по t. Решить полученное дифференциальное урав нение, или, как выражаются иначе, проинтегриро вать его, означает найти функции, обращающие его в тождество.

2.Пусть, например, груз р массы m подвешен

кпружине и находится в положении равновесия. Отклоняя его от положения равновесия с помощью растяжения пружины, приводят груз в движение. Если х(t) обозначает величину отклонения тела от положения равновесия в момент времени t, то ускорение тела выражается второй производной х′′(t). Сила mх′′(t), действующая на тело, при неболь ших растяжениях пружины по законам теории упругости пропорциональна отклонению х(t). Таким образом, получается дифференциальное уравне ние: mх′′(t) = –kх(t).

Теория дифференциальных уравнений выдели

лась в самостоятельную, детально разработанную в XVIII в. научную дисциплину (труды Д. Бернулли, Ж. Д’Аламбера и особенно Л. Эйлера).

Дифференциальные уравнения делятся на обыкновенные, содержащие производные одной или нескольких функций одного независимого пе ременного, и уравнения с частными производны ми, содержащие частные производные функций нескольких независимых переменных. Порядком дифференциального уравнения называется наи больший порядок входящих в него производных.

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ 22 УРАВНЕНИЯ

Обыкновенным дифференциальным урав нением первого порядка с одной неизвестной функцией называется соотношение:

f(х, y,′y ) = 0

между независимым переменным x, искомой функ цией у и ее производной

Если уравнение (А) может быть разрешено от носительно производной, то получается уравне ние вида: Y ′= f(x, y). (Б)

Многие вопросы теории дифференциальных уравнений проще рассматривать для таких разре шенных относительно производной уравнений, предполагая функцию f(х, у) однозначной.

Уравнение (Б) можно записать в виде соотно шения между дифференциалами: f(х, у)dх – dу = 0, тогда оно становится частным случаем уравнений вида: Р(х, у)dх + Q(х, у)dу = 0. (В)

В уравнениях вида (В) естественно считать пе ременные х и у равноправными, т.е. не интересо ваться тем, какое из них является независимым.

Геометрическая интерпретация дифферен циальных уравнений. Пусть у = у(х) есть решение уравнения (Б). Геометрически это значит, что в прямоугольных координатах касательная к кривой у = у (х) имеет в каждой лежащей на ней точке М(х, у) угловой коэффициент k = f(х, у). Таким образом, на хождение решений у = у(х) геометрически сводится к такой задаче: в каждой точке некоторой области на плоскости задано направление, требуется найти все кривые, которые в любой своей точке М имеют направление, заранее сопоставленное с этой точ