Курс по высшей математике (для экономистов)
.pdfЭлементарные события несовместны, тогда по третьей аксиоме теории вероятности имеет место выражение:
m
ΣP(Ei) = 1.
i = 1
Пусть некоторое событие А Ω состоит из k эле ментарных событий, тогда при (Еi1, Ei2, ..., Еik):
P(Ei j).
Классическое определение вероятности.
Пусть Ω состоит из конечного числа элементарных событий, и все элементарные события равнове роятны, т.е. ни одному из них нельзя отдать пред почтения до испытания, следовательно, их можно считать равновероятными. Тогда достоверное со
m
бытие U =Σω1, m — количество равновероятных
i = 1
событий:
m |
m |
P(U) =Σ P ω1, 1 = ΣPω1, |
|
i = 1 |
i = 1 |
A
i P(ω1) =m1 .
Если элементарные события являются равно правными, а следовательно, и равновероятными, то вероятность наступления произвольного собы тия равна дроби, числитель которой равен числу элементарных событий, входящих в данное, а зна менатель — общее число элементарных событий.
УСЛОВНАЯ ВЕРОЯТНОСТЬ.
38 ФОРМУЛЫ УСЛОВНОЙ ВЕРОЯТНОСТИ
Условной вероятностью наступления собы тия А при условии события В называется вероят ность наступления события А в результате испы таний, если известно, что в этом испытании произошло событие В. Вывод формулы условной вероятности для случая равновероятных элемен тарных событий.
Действительно, в данном испытании произо шло одно из t событий, входящих в В. Все элемен тарные события равновероятны, следовательно, для данного испытания вероятность наступления произвольного элементарного события, входяще го в В равна 1/t. Тогда по классическому определе нию вероятности в данном испытании событие А произойдет с вероятностью r/t:
|
r/m |
P(AB), |
|
P(A/B) = t/m |
= P(B) |
||
P(A/B) = |
P(AB), |
||
P(B) |
|||
P(B/A) = |
P(AB), |
||
P(A) |
|||
P(AB) = P(A)P(B/A) = P(B)P(A/B).
В общем случае доказать эту формулировку невозможно, в теории вероятности она вводится как правило.
Пусть в nB испытаниях произошло событие В, а в nA испытаниях произошло событие А. Найдем условную частость наступления события А при условии, что произошло событие В. Мы можем сделать это для обоснования формулы, так как под вероятностью наступления события пони мается предел частости наступления события
при условии, что серия испытаний достаточно длинная.
Условная частость:
W (A/B)= nAB = nAB/n = Wn(AB), n nB nB/n Wn(B)
Р(АВС) = Р(А) – Р(В/А) – Р(С/АВ).
Рассматривая АВ как одно событие D, имеем: Р(DС) = Р(D)Р(С/D), с другой стороны, Р(D) = Р(АВ) =
=Р(А) – Р(В/А), Р(АВС) = Р(DС) = Р(D) – Р(С/D) =
=Р(А) – Р(В/А) Р(С/D) = Р(А) Р(В/А) – Р(С/АВ).
Рассмотрим систему событий A1, А2, ..., Ak. Пока жем, что вероятность их совместного наступления
равна: Р(А1, A2, ..., Аk) = Р(А1) – Р(А2/А1) Р(А3/А2A1) ...
... Р(Аk/А1, А2, ..., Аk – 1).
Доказательство проведем с помощью матема тической индукции.
Пусть формула верна при k = 2. Докажем для k – 1.
Р(А1, А2, ..., Аk – 1) = Р(А1) – Р(А2/А1) – Р(А3/А2 А1) –
– ... – Р(Аk – 1/А1, А2, ..., Аk – 2). Введем событие В: B = A1A2, …, Ak – 1,
Р(А1А2, …, Аk – 1) = Р(В),
Р(А1, А2, ..., Аk) = Р(АkВ) = Р(В)Р(АkВ).
39 КОМПОЗИЦИЯ ИСПЫТАНИЙ
Композицией двух испытаний называется сложное испытание, состоящее в поведении пер вого и второго испытания.
Композиция испытаний порождает вероятност ное пространство вида:
{EiQ1}, {P(EiQ1)},
где i = 1 ... m1, j = 1 ... m2, EiQi, — композиционное событие.
В общем случае по Р(Еi) и Р(Qi) найти Р(ЕiQi) не возможно.
Рассмотрим один частный случай, когда это можно сделать.
Два испытания называются независимы ми, если различные исходы обоих испытаний опре деляются не связанными между собой случайны ми факторами.
Из определения независимости испытания выте кает,чтоусловныечастостинаступлениясобытияв од ном испытании при условии, что во втором испыта нии произошло фиксированное число событий, равны безусловным частостям, если они существуют.
Пусть испытания независимы. В результате проведения первого испытания произошло эле ментарное событие Еi, в результате второго испы тания может произойти все, что угодно.
Тогда сложное событие, определяющее исход первого и второго испытаний имеет вид:
m2
A = {E Q , E Q , …, E Q } = ΣE Q
i 1 i 2 i m2 i = 1 i i
и равно сумме комбинаций исходов первого и вто рого испытаний.
Вероятность сложного события А
m2
P(A) = ΣEiQi = P(Ei),
i = 1
т.е. результаты второго испытания не зависят от результатов первого.
Если в результате второго испытания произош ло событие Qi, а в результате первого испытания могло произойти все, что угодно, то сложное собы
тие В имеет вид: В = {E1Qi, E2Qi,…, Em1Qj}. Вероятность сложного события В равна сумме
вероятностей комбинаций вида: EiQj, i = 1, …, m1.
m1
P(B) = Σ P(EiQj) = P(Qj),
j = 1
так как исходы первого испытания не влияют на исходы второго испытания.
По определению произведения АВ в него вхо дят только те события, которые входят и в А, и в В. Из приведенных выше формул следует, что только
событие EiQj входит и в А, и в В, то АВ = ЕiQj. Следо вательно, Р(АВ) = Р(ЕiQj) = Р(Еi)Р(Qj).
Общая структура независимых событий в ком позиционном пространстве, порожденном компо зицией испытаний:
s1 m2
A = Σ Σ E Q .
i = 1 j = 1 i j
Сложное событие В определяет все возможные комбинации исходов двух испытаний независимо друг от друга. В результате первого испытания произошли элементарные события: E1, E2, …, Em1.
При решении практических задач, связанных с независимыми испытаниями, обычно требуется не строить композиционных пространств элемен тарных событий, а использовать формально невер ную запись: Р(АВ) = Р(А) × Р(В).
КОМПОЗИЦИЯ N НЕЗАВИСИМЫХ 40 ИСПЫТАНИЙ
Испытания (n испытаний) называются не зависимыми, если неоднозначность исхода каж дого из испытаний определена не связанными между собой группами факторов.
Событие A1: в результате проведения компози ционного испытания в первом испытании произо шло событие. Тогда:
|
m2 m3 |
mn |
A1 |
= Σ Σ |
... Σ Ej11 Ej22 … Ejnn. |
|
j2 = 1 j3 = 1 jn = 1 |
|
Событие An: в результате проведения компози ционного испытания в первом испытании произо шло событие Ejn1. Тогда:
|
m2 |
m3 |
mn |
|
|
An = Σ Σ ... Σ Ej11 Ej22 … Ejnn, |
|||||
|
j2 = 1 j3 = 1 jn = 1 |
|
|
||
|
m2 |
m3 |
mn |
|
|
P(A ) = P( Σ Σ |
... Σ E |
1 E 2 |
… E n) = |
||
1 |
j2 = 1 j3 = 1 jn = 1 |
j1 j2 |
jn |
||
m2 |
m3 |
mn |
|
|
|
= Σ Σ ... Σ P(Ej11 Ej22 … Ejnn), |
|||||
j2 = 1 j3 = 1 jn = 1 |
|
|
|||
|
m2 |
m3 |
mn |
|
|
P(A ) = Σ Σ ... Σ P(E1 E 2 … E n),
n j2 = 1 j3 = 1 jn = 1 j1 j2 jn
P(Ai) = P(Eij) i = 1, …, n.
Общая структура независимых событий
в композиционном пространстве имеет вид:
1)первое событие — это событие, которое проис ходит в первом вероятностном пространстве;
2)второе событие — это событие, которое проис ходит во втором вероятностном пространстве, n событие — это событие, которое происходит
в n м вероятностном пространстве. Энтропия — мера неопределенности исхода
испытания (до испытания). Первым, кто функ
ционально задал выражение для энтропии, был
К. Э. Шеннон:
{ω1, ω2, ..., ωs},
{P(ω1), P(ω2), ..., P(ωs)},
s
H= –ΣP(ωi)log2P(ωi).
i = 1
Докажем, что энтропия системы с конечным числом состояний достигает максимума, когда все состояния равновероятны. Для этого рассмотрим энтропию системы как функцию вероятностей р1, р2, …, ps и найдем условный экстремум этой функ
ции при условии, что:
s
Σрi = 1.
i = 1
Пользуясь методом неопределенных множите лей Лагранжа, будем искать экстремум функции:
s |
s |
F = – Σ pilog2pi |
+ λ Σ pi. |
i = 1 |
i = 1 |
Неопределенность исхода испытания до испы тания автоматически определяет информатив ность исхода испытания после испытания.
С точки зрения качественного анализа макси мальная энтропия композиционного вероятностно го пространства достигается тогда, когда испытания независимы. Найдем энтропию композиционного пространства для случая независимых испытаний:
s1 |
s2 |
s1 |
s2 |
s1 |
s2 |
–Σ |
Σ piqj log2 piqj |
= Σ pilog2 pi Σqj |
– Σ pi Σ qj log2 qj = |
||
i = 1 j = 1 |
i = 1 |
j = 1 |
i = 1 |
j = 1 |
|
= H(Ω1) + H(Ω2);
0≤H(Ω1×Ω2)≤H(Ω1) + H(Ω2).
СЛУЧАЙНАЯ ВЕЛИЧИНА.
41 ДИСКРЕТНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ И ИХ ВЕРОЯТНОСТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ
Пусть имеется вероятностное пространство вида (Ω, σ, ρ). Случайной величиной называется измеримая числовая скалярная функция ϕ(ω), эле ментами которой являются элементарные события.
Числовая скалярная функция — это функция, удовлетворяющая следующему условию: Ax собы тие {ω: γ(ω) < ξ} σ алгебре и, следовательно, имеет вероятность наступления.
Если произведено испытание, в результате ко торого произошло некоторое элементарное собы тие х, х Ω, в соответствии с функцией ϕ(ω) этому элементарному событию соответствует число, ко торое называется реализацией случайной величи ны х в данном испытании.
В соответствии с определением случайной ве личины вводится числовая скалярная функция F(х),
хΩ, определенная для каждого действительного
хи по определению равная вероятности наступле ния события: F(x) = P(ω: γ(ω) < x), 0≤F(x)≤1.
Эта функция называется функцией распределе ния случайной величиной ϕ(ω).
Борелевская функция — функция, определяе мая на системе борелевских множеств. В функцио нальном анализе показано, что все известные ана литические функции являются борелевскими.
Случайная величина называется дискрет! ной, если в результате испытания она может при нять значение из конечного либо счетного множест ва возможных числовых значений.
Случайные величины в дальнейшем будем обо значать большими буквами: Х, У, Z.
Вероятностное пространство дискретной случай ной величины задается в виде: X = (xi, pi), i = 1, ... n, где n — конечное или бесконечное.
Пример. Испытание — композиция n незави симых испытаний, в каждом из которых происхо дит событие А с вероятностью р, либо А с вероят
ностью 1 – р. Вероятностное пространство: {Aα1, Aα2, …, Aαn},
n
P{Aα1, Aα2, …, Aαn} = ΠP(Aαj) = pmqn – m.
j = 1
В этом примере σ алгеброй является множест во всех подмножеств пространства элементарных событий.
Введенную нами случайную величину х по опре делению можно задать:
X = |
{0 |
|
... 1 |
... |
|
2 |
... |
|
m |
|
... n} |
, |
||
{q |
n |
1 |
n – 1 |
|
2 |
2 n – 2 |
|
m |
m |
n – m |
n |
|||
|
|
... Cn pq |
|
... Cn p q |
|
... Cn p q |
|
... p |
} |
|||||
где верхняя строчка — это совокупность возмож ных числовых значений, которые может прини мать случайная величина; нижняя строчка — вероятность наступления этих числовых зна чений.
Практически во всех задачах естествознания отсутствует промежуточный этап: испытание, Ω— пространство всех возможных исходов испытания,
γ(ω) — числовая скалярная функция, элементы ко торой ω Ω.
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОЖИДАНИЕ. СВОЙСТВА 42 МАТЕМАТИЧЕСКОГООЖИДАНИЯ
1.MC = C, X = C.
2.МСХ = СМХ.
По определению математического ожидания:
s |
s |
MCX =ΣCxi pi |
= CΣxi pi = CMX. |
i = 1 |
i = 1 |
3. М(Х + а) = МХ + а, а = const.
Построим схему для случайной величины х + а.
s |
|
s |
s |
s |
M(X + a) =Σ(xi |
+ a)pi |
=Σxi pi |
+Σapi |
= MX + aΣpi = |
i = 1 |
|
i = 1 |
i = 1 |
i = 1 |
n
= Σpi = 1 = MX.
i = 1
4. М(аХ + b) = аМХ + b, где а, b — константы.
s |
|
s |
s |
s |
M(aX + b) =Σ(axi |
+ b)pi |
=Σaxi pi |
+Σbpi |
= aΣpi + b = |
i = 1 |
|
i = 1 |
i = 1 |
i = 1 |
n
=Σpi = aMX + b.
i = 1
Пусть случайная величинаY является функцией f(х) от случайной величины X. Построим вероятност ное пространство случайной величины Y = f(х):
x |
f(x1) |
f(x2) |
... |
f(xn) |
p |
p1 |
p2 |
... |
pn |
Верхняя строчка является пространством элемен тарных событий для случайной величины Y. В про тивном случае верхняя строчка является простран ством элементарных событий для величины Y.
Все одинаковые числа в верхней строчке заме няются одним, вероятность наступления которого равна сумме соответствующих вероятностей.
Следствие. Математическое ожидание случай
ной величины Y равняется:
n
MY =Σf(xi)pi , i = 1, ..., n
i = 1