Курс по высшей математике (для экономистов)

28 СВОЙСТВА ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА

Обратимся к понятию определенного интегра ла от функции f(х), непрерывной на отрезке [а b}, как к пределу интегральных сумм Sn при том же предельном переходе. Этот интеграл обозначается:

b1

∫f(x)dx.

a

Символ ∫(удлиненное S — первая буква слова Summa) называется знаком интеграла, f(х) — подынтегральной функцией, числа а и b — нижним и верхним пределами определенного интеграла. Если а = b, то, по определению, полагают:

Свойства определенного интеграла

где k — постоянная. Очевидно также, что:

b1 b1

∫f(x)dx =∫f(t)dt

aa

(численное значение определенного интеграла не зависит от выбора обозначения переменной ин тегрирования).

К вычислению определенных интегралов сво дятся задачи об измерении площадей, ограничен ных кривыми (задачи «нахождения квадратур»), длин дуг кривых («спрямление кривых»), площадей поверхностей тел, объемов тел («нахождение ку

батур»), а также задачи определения координат центров тяжести моментов инерции, пути тела по известной скорости движения, работы, произво димой силой, и многие другие задачи естество знания и техники.

Фактическое вычисление определенных интег ралов осуществляется различными способами. В отдельных случаях определенный интеграл мож но найти, непосредственно вычисляя предел соот ветствующей интегральной суммы. Однако в боль шей части такой переход к пределу затруднителен. Некоторые определенные интегралы удается вычис лять с помощью предварительного отыскания не определенных интегралов. Как правило, приходится прибегать к приближенному вычислению опреде ленных интегралов, применяя различные квадра турные формулы. В случаях, не требующих боль шой точности, применяют графические методы.

Понятие определенного интеграла распростра няется на случай неограниченного промежутка интегрирования, а также на некоторые классы не ограниченных функций. Такие обобщения назы ваются несобственными интегралами.

Выражения вида:

b

μ(α)∫f(x, α)dx,

a

где функция f(х, α) непрерывна по х, называются интегралами, зависящими от параметра. Они яв ляются основным средством изучения многих спе циальных функций. Примером служит гамма функция.

НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ. ПРАВИЛА 29 ИНТЕГРИРОВАНИЯ

Нахождение неопределенных интегралов, или интегрирование, есть операция, обратная диффе ренцированию. При дифференцировании дан ной функции ищется ее производная. И, наобо рот, при интегрирования ищется первообразная (или примитивная) функция — такая функция, производная которой равна данной функции. Таким образом, функция F(х) является первообразной для данной функции f(х), если F′(х) = f{х) или, что то же самое, dF{х) = f(х)dх. Данная функция f(х) может иметь различные первообразные, но все они от личаются друг от друга только постоянными сла гаемыми. Поэтому все первообразные для f(х) со держатся в выражении F(х) + С, которое называют

неопределенным интегралом от функции f(х) и записывают так:

∫f(x)dx = F(x) + C.

Интеграл с переменным верхним пределом есть одна из первообразных подынтегральной функ ции. Это позволяет установить основную формулу интегрального исчисления (формулу Ньютона— Лейбница):

x

∫f(u)du = F(x) – F(a).

a

Трудность интегрального исчисления по срав нению с дифференциальным исчислением заклю чается в том, что интегралы от элементарных функ ций не всегда выражаются через элементарные (могут не выражаться), как говорят, в конечном виде. Интегральное исчисление располагает лишь отдельными приемами интегрирования в конеч ном виде, область применения каждого из которых ограниченна.

К классу функций, интегралы от которых всегда выражаются в элементарных функциях, принадле жит множество всех рациональных функций:

R(x) = P(x),

Q(x)

где Р(х) и Q(х) — многочлены.

В конечном виде интегрируются и многие транс цендентные функции, например рациональные функции синуса и косинуса. Функции, которые изображаются неопределенными интегралами, не берущимися в конечном виде, представляют со бой новые трансцендентные функции. Многие из них хорошо изучены.

Понятие интеграла распространяется на функ ции многих действительных переменных, а также на функции комплексного переменного и вектор функции.

ИНТЕГРАЛ РИМАНА, ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА, 30 ИНТЕГРАЛ СТИЛТЬЕСА

О. Коши применял свое определение интегра ла только к непрерывным функциям. Назвать, по определению, интегралом предел сумм Sn при max(хi, –хi – 1) → 0 во всех тех случаях, когда этот предел однозначно определен, предложил Б. Ри ман (1853 г.). Он же исследовал условия примени мости такого определения.

Для интегрируемости в смысле Б. Римана

функции f(х) на [а, b] является необходимой и доста точной совокупность двух условий: f(х) ограничена на [а, b], множество помещающихся на [а, b] точек разрыва функции f(х) имеет меру, равную нулю. Таким образом, непрерывность в каждой точке отрезка [a, b] совсем не обязательна для интегри руемости, по Б. Риману.

В каждой точке непрерывности f(х), т.е. в силу результата Б. Лебега всюду, кроме, может быть, множества меры, равной нулю, будет:

dxd F(x) = f(x).

Введенное А. Лебегом понятие меры множест ва позволило дать значительно более широкое определение интеграла. Чтобы определить интег рал, А. Лебег делит точками область возможных значений переменного y = f(х) и обозначает Мi множество тех точек х из отрезка [a; b], для кото

рых yi – 1≤ f(x) < yi.

Функция f(х) называется интегрируемой (в по нимании Лебега) на отрезке [а, b], если ряды, опре деляющие суммы S, абсолютно сходятся при max(yi – yi – 1) → 0. Предел этих сумм и называется

интегралом Лебега.

Среди функций, интегрируемых по Лебегу, имеет ся сколько угодно функций, всюду разрывных и, следовательно, неинтегрируемых по Риману. Наоборот, каждая интегрируемая по Риману функ ция интегрируема и по Лебегу.

В конце XIX в. определение интеграла Б. Римана подверглось совершенно иному обобщению, чем то, к которому привело введение понятия меры множества. Это обобщение было дано Т. Стилтье сом (1894 г.). Пусть f(х) — непрерывная функция действительного переменного х, определенная на отрезке [а; b], и U(х) — определенная на том же отрезке ограниченная монотонная (неубывающая или невозрастающая) функция.

Интеграл (его называют также интегралом Стилтьеса) существует и в том случае, когда огра ниченная функция U(х), не будучи сама монотон ной, может быть представлена в виде суммы или разности двух ограниченных монотонных функций U1(х) и U2(х):

т.е. является функцией с ограниченным измене нием.

Если интегрирующая функция U(х) имеет огра ниченную и интегрируемую по Б. Риману произ водную U′(х), то интеграл Стилтьеса сводится к ин тегралу Римана по формуле:

∫f(x)dU(x) = ∫f(x)dU′(x)dx.

НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ. 31 ГАММА ФУНКЦИЯ

К несобственным интегралам относятся определенные интегралы, у которых хотя бы один из пределов интегрирования бесконечен либо подынтегральная функция неограниченна (либо то и другое вместе). Ранее речь шла о собственных интегралах (для них пределы интегрирования ко нечны и подынтегральная функция ограниченна).

На несобственные интегралы с бесконечным пределом распространяются многие свойства собственных интегралов, применяются методы подстановки и интегрирования по частям.

Теорема сравнения (признак сходимости не собственного интеграла). Если в промежутке [a, +∞) функции f(x) и g(x) непрерывны и удовлетворяют неравенству 0 ≤ g(x)≤ f(x), то из сходимости ин

∫f(x)dx называется абсолютно сходящимся.

a

Интегралы с бесконечным нижним пределом определяются аналогично, и для них справедливы две приведенные выше теоремы.

Интеграл с бесконечными верхним и нижним пределом определяется следующим образом:

причем интеграл с двумя бесконечными предела ми сходится, если сходятся оба интеграла, стоя щие в правой части последнего равенства, если хотя бы один из них расходится, то расходится и ин теграл с двумя бесконечными пределами, стоя щий в левой части равенства.

Пусть имеем непрерывную функцию f(x) при a ≤ x < b, которая при х → b стремится к бесконеч ности, т.е. на отрезке [a, b] функция f(x) не ограни ченна. Тогда интеграл от неограниченной

функции определяется следующим образом:

b – ε

∫f(x)dx.

а

Для интеграла от неограниченной функции справедливы те же свойства, что и для интегралов с бесконечными пределами. Интеграл от функции, стремящейся к бесконечности, при приближении к обоим концам промежутка (a, b) определяется аналогично интегралу с двумя бесконечными пре делами интегрирования, т.е. представляется в ви де суммы двух интегралов.

Одним из известных и часто применяемых не собственных интегралов является гамма функ ция, зависящая от параметра р (р — постоянная),

он определяется как:

+∞

∫e–xx p – 1dx.

0

Данный интеграл сходится при р > 0.

Свойства гамма функции:

Г(р + 1) = рГ(р);

Г(n + 1) = n! (n— натуральное число).

ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ.

32 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ

Интегральной формой Фурье функции f(x) (разложением функции в интеграл Фурье) назы вается выражение:

Интеграл в правой части данного выражения называется интегралом Фурье. Данное выра жение можно записать в виде:

+∞

f(x) = 1π 0∫(a( λ)cos λx + b( λ)sin λx)d λ, где коэффициенты равны:

а обратным преобразованием Фурье (фор мула обращения) — функция:

Здесь функция f(x) называется прообразом,

~

а функцияf(λ) — образом. Данные преобразования определены для функций, для которых существуют интегралы, входящие в состав выражений преоб разований.