Курс по высшей математике (для экономистов)

кой. Если функция f(х,у) непрерывна, то это направ ление меняется при перемещении точки М непре рывно, и можно наглядно изобразить поле направ лений, проведя в достаточно большом числе достаточно густо расположенных по всей рассмат риваемой области точек короткие черточки с за данным для этих точек направлением.

График любой однозначной функции у = у(х) пе ресекает каждую прямую, параллельную оси Оy, только один раз. Новые возможности для вида интегральных кривых открываются при переходе к уравнениям (В). При помощи пары непрерывных функций Р(х, у) и Q(х, у) можно задать любое не прерывное «поле направлений». Задача интегри рования уравнений (В) совпадает с чисто геомет рической (не зависящей от выбора осей координат) задачей разыскания интегральных кривых по за данному на плоскости полю направлений.

Из специальных типов дифференциальных уравнений особенно хорошо разработана теория линейных дифференциальных уравнений и систем линейных дифференциальных уравнений.

Для линейных дифференциальных уравнений сравнительно просто решаются также вопросы качественного поведения интегральных кривых, т.е. их поведение во всей области задания диффе ренциального уравнения. Для нелинейных диффе ренциальных уравнений, где нахождение общего решения особенно сложно, вопросы качественной теории дифференциальных уравнений приобре тают иногда даже доминирующее значение.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 23 С ОТКЛОНЯЮЩИМСЯ АРГУМЕНТОМ

Дифференциальные уравнения с откло няющимся аргументом, уравнения, связываю щие аргумент, а также искомую функцию и ее произ водные, взятые при различных значениях этого аргумента (в отличие от обычных дифференциаль ных уравнений), появились в конце XVI в. Примера

где постоянные а, τ, k заданы; τ= t – (t – τ) в уравне нии (1) и t – kt в уравнении (2) — отклонения аргумента.

Неоднократно рассматривались сами по себе и в связи с решением геометрических задач, а позднее — в связи с различными приложениями, прежде всего к теории регулирования. Построение систематической теории дифференциальных уравнений с отклонением аргумента было начато в 50 х гг. XX в., а уже с 1960 х гг. эта теория пред ставляет собой значительный отдел математи ческого анализа.

Наиболее хорошо изучены линейные однород ные автономные (т.е. с постоянными коэффи циентами и постоянными отклонениями аргумен та) дифференциальные уравнения с отклоняющим аргументом; к таким уравнениям относится, на пример (1). Здесь имеется достаточно полная система решений вида х = е pt, причем для отыска ния р получается трансцендентное характеристи ческое уравнение вида: Р(р) = 0, где Р(р) — сумма членов вида Арm еαp, m≥ 0 — целое, например, для

(1) имеем Р(р) = р – аеτp. Это уравнение имеет, во обще говоря, бесконечное число комплексных

корней. Прочие решения рассматриваемого диф ференциального уравнения с отклоняющим аргу ментом разлагаются в ряды по указанным простей шим решениям, и поэтому об основных свойствах совокупности решений, в частности об их устойчи вости, можно судить по расположению нулей функ ции Р(р).

Важнейший и наиболее изученный класс диф ференциальных уравнений с отклоняющим аргу ментом образуют дифференциальные уравне ния с запаздывающим аргументом, в которых старшая производная от искомой функции при ка ком либо значении аргумента определяется че рез саму эту функцию и ее младшие производные, взятые при меньших либо равных значениях аргу мента. Примеры: уравнение (1) при τ ≥ 0 (τ— за паздывание); уравнение (2) при k ≤1 и t ≥0. Эти уравнения и их системы, если аргументом служит время, описывают процессы с последействием, скорость которых в любой момент определяется их состоянием не только в тот же момент (как для обычных дифференциальных уравнении), но и в предшествующие моменты. Такая ситуация возникает, в частности, в системах автоматиче ского управления при наличии запаздывания

воргане управления. Уравнения с запаздываю щим аргументом во многом напоминают обыкно венные дифференциальные уравнения, однако

вряде отношений отличаются от них.

ЗАДАЧА КОШИ. ТЕОРЕМА 24 О СУЩЕСТВОВАНИИ И ЕДИНСТВЕННОСТИ

РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ КОШИ

Основной теоремой теории дифференциальных уравнений является теорема Коши о существо вании и единственности решения задачи Коши.

Задачей Коши называется задача нахожде ния такого решения дифференциального уравне ния первого порядка dy/dx = f(x, y), что выполняет ся условие Коши: у(х0) = у0, где х0, у0 — заданные числа, называемые начальными данными, или данными Коши. Начальное условие может запи сываться в следующем виде: y x = x0 = y0. Графиче ская интерпретация задача Коши: надо найти ин тегральную кривую дифференциального уравнения dy/dx = f(x, y), проходящую через заданную точку

(х0, у0).

Формулировка теоремы для случая диффе ренциального уравнения первого порядка. Пусть функция f(x, y) и частная производная ∂f(x, y)/ ∂y непрерывны в некоторой области D плоскости

(х, у), точка (х0, у0) лежит в области D. Тогда сущест вует решение задачи Коши (существование

рой окрестности точки х0 (единственность ре шения задачи Коши).

Геометрический смысл теоремы: через каж дую точку (х0, у0) области D проходит интегральная кривая, и притом только одна.

Дифференциальное уравнение первого поряд ка можно записать в виде: P(x, y)dx + Q(x, y)dy = 0.

От краевых задач задача Коши отличается тем, что область, в которой должно быть определено искомое решение, здесь заранее не указывается. Тем не менее задачу Коши можно рассматривать как одну из краевых задач.

Основные вопросы, которые связаны с за дачей Коши, следующие.

1.Существует ли (хотя бы локально) решение задачи Коши?

2.Если решение существует, то какова область его существования?

3.Является ли решение единственным?

4.Если решение единственное, то будет ли оно корректным, т.е. непрерывным (в каком либо смысле) относительно начальных данных?

Говорят, что задача Коши имеет единственное решение, если она имеет решение y = f(x) и никакое другое решение не отвечает интегральной кривой, которая в сколь угодно малой выколотой окрест

ности точки (x0,y0) имеет поле направлений, совпа дающее с полем направлений y = f(x). Точка (x0,y0) задает начальные условия.

МЕТОД НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ. 25 ИНТЕРПОЛЯЦИЯ. ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫЙ

МНОГОЧЛЕН ЛАНГРАНЖА

Пусть имеется функция f(x), определенная на отрезке [a, b]. В случаях, если эту функцию вычис лить довольно сложно или она не имеет аналити ческой формы задания, а ее свойства определить сложно, применяется метод наименьших квад ратов. Суть его состоит в том, что данная функция f(x) заменяется одной функцией из m параметри ческого семейства функций ϕ(х, С1, С2, …, Сm), за данных на том же отрезке, которая наиболее точно приближена к исходной функции f(x). Точность при ближения оценивается функцией:

n

R(C , C , ... , C ) = Σ f(x ) – f(x , C , C , ..., C ) 2

1 2 m i = 1 i i 1 2 m

(здесь точки xi принадлежат отрезку [a,b], i =1,2,...,n). Те значения Cj0 (j = 1, 2, ..., m), при которых функция R(С1, С2, …, Сm) достигает своего минимума, и бу дут являться значениями параметров С1, С2, …, Сm наиболее приближенной к исходной функции f(x) функции ϕ(х, С10, С20, …, Сm0), т.е. за меру приближе ния в данном методе выбрана сумма квадратов разностей. Необходимым условием минимума функции R(С1, С2, …, Сm) является равенство нулю ее частных производных:

∂R ∂R

∂C1 = ∂C2

Наиболее простым и удобным является случай, когда функции ϕзависят от параметров линейно, т.е.

имеют вид ϕ(х, С1, С2, …, Сm) = С1 ϕ1(х) + С2 ϕ2(х) + + … + Сm ϕm(x).

Метод интерполяции состоит в следующем. Пусть имеются функция f(x) и параметрическое семейство функций ϕ(х, С0, С1, С2, …, Сm), опреде ленные на отрезке [a, b].

Множество точек данного отрезка х0 = а, х1, х2, …, хm – 1, xm = b называется узлами интерполя ции (xi < xi + 1). Задача интерполяции заключается в нахождении среди параметрического семейства

такой функции (фактически в определении пара

метров), что f(xi) = ϕ(хi, С00, С10, С20, …, Сm0). Интерпо ляционная формула сопоставляет функции f(x)

с функцией ϕ(х, С00, С10, С20, …, Сm0) при выполнении

условия f(xi) = ϕ (хi, С00, С10, С20, …, Сm0), т.е. при ближенное вычисление значений функции проис

ходит по нескольким данным ее значениям. Ин терполяционная формула Лагранжа ставит в соответствие функции f(x) многочлен вида:

Таким образом, интерполяция происходит

вклассе многочленов вида ϕ(х, С0, С1, С2,…, Сm) =

=C0 x m + C1x m – 1 + ... + Cm.

Вслучае, когда функция f(x) имеет непрерыв

ную производную (m + 1) го порядка, остаточный член интерполяционной формулы Лагранжа имеет вид:

f (m + 1)(ξ)

f(x) – Lm(x) = (m + 1)! ωm(x),

где

m

ω (x) =Π (x – x ), ξ [min(x , x), max(x , x)].

m i = 0 i 0 m

Величина остаточного члена зависит не только от значения производной функции и функции ωm, но и от выбора узлов интерполяции.

26 ИСТОРИЯ ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ

Возникновение задач интегрального исчисле ния связано с нахождением площадей и объемов. Ряд задач такого рода был решен математиками Древней Греции. Античная математика предвос хитила идеи интегрального исчисления в значи тельно большей степени, чем дифференциально го исчисления. Большую роль при решении таких задач играл метод исчерпывания, созданный Евдоксом Книдским и широко применявшийся Архимедом. Однако Архимед не выделил общего содержания интеграционных приемов и понятия об интеграле, а тем более не создал алгоритма ин тегрального исчисления. Ученые Среднего и Ближ него Востока в IX—XV вв. изучали и переводили труды Архимеда на общедоступный в их среде арабский язык, но существенно новых результа тов в области интегрального исчисления они не получили. Лишь в XVI и XVII вв. развитие естествен ных наук поставило перед математиками Европы ряд новых задач, в частности задачи на нахожде ния квадратур, кубатур и определение центров тяжести. В более общей форме идеи античного метода неделимых были развиты Б. Кавальери, Э. Торричелли, Дж. Валлисом, Б. Паскалем. Методом неделимых был решен ряд геометри ческих и механических задач. К этому же време ни относятся опубликованные позднее работы П. Ферма по квадрированию парабол n й степе ни, а затем — работы X. Гюйгенса по спрямлению кривых.

В итоге этих исследований выявилась общность приемов интегрирования при решении внешне не сходных задач геометрии и механики, приводив

шихся к квадратурам как к геометрическому экви валенту определенного интеграла. Заключитель ным звеном в цепи открытий этого периода было установление взаимно обратной связи между задачами на проведение касательной и на квад ратуры, т.е. между дифференцированием и интег рированием. Основные понятия и алгоритм интег рального исчисления были созданы независимо друг от друга И. Ньютоном и Г. Лейбницем. Последнему принадлежит термин «интегральное исчисление» и обозначение интеграла ∫уdх.

При этом в работах Ньютона основную роль играло понятие неопределенного интеграла (флюенты), тогда как Лейбниц исходил из понятия определенного интеграла. Дальнейшее развитие интегрального исчисления в XVIII в. связано с име нами И. Бернулли и особенно Л. Эйлера. В на чале XIX в. интегральное исчисление вместе с диф ференциальным исчислением было перестроено О. Коши на основе теории пределов. В развитии интегрального исчисления в XIX в. приняли участие русские математики М. В. Остроградский, В. Я. Буняковский, П. Л. Чебышев. В конце XIX — начале XX вв. развитие теории множеств и теории функций действительного переменного привело к углублению и обобщению основных понятий ин тегрального исчисления (Б. Риман, А. Лебег и др.).