Курс по высшей математике (для экономистов)

но используются в следующем случае: проводят ис пытание над Х и V, исследователь имеет возможность измерять результаты испытания над одной случай ной величиной, измерение другой недоступно.

Рассмотрим пространство элементарных собы тий как совокупность всех точек числовой оси. В этом случае введенная ранее функция распре деления имеет вид: F(x) = Р(Х > х).

Пусть функция распределения является непре рывной. Найдем вероятность того, что в результа те испытаний случайная величина Х примет зна чение а, где а — произвольное действительное число: Р(Х = а).

Рассмотрим неравенство: X ≤a = (x < a + n1): x < a + 1n ,

(x < a + 1n ),

1n,

x ≤ a.

Следовательно:

(F(a + 1n) – F(a)) = 0.

Случайная величина Х называется непрерыв ной, если ее пространством элементарных собы тий является вся числовая ось (либо отрезок (от резки) числовой оси), а вероятность наступления любого элементарного события равна нулю:

Р(а ≤ Х < b) = Р(а ≤ Х ≤ b) = F(b) – F(а). Если из сложного события вычесть конечное

либо счетное множество, вероятность наступле ния нового события останется неизменной.

НАЧАЛЬНАЯФУНКЦИЯИЕЕИЗОБРАЖЕНИЕ. 48 ЕДИНИЧНАЯ ФУНКЦИЯ ХЕВИСАЙДА

Пусть имеется кусочно непрерывная функция f(t) действительной переменной t, определенная при t ≥ 0. Считаем, что существуют такие положи тельные числа М и s, что |f(t)| < Mest при 0 ≤t < ∞. Такая функция f(t) называется функцией конеч! ного роста, а нижняя грань s0 множества чисел s называется показателем роста функции f(t). Пусть имеется комплексная функция e–pt действи тельной переменной t, где p = a + ib (a > 0). Тогда произведение e–ptf(t) тоже является комплексной функцией действительной переменной t, и несоб ственный интеграл от этого произведения при вы

шепринятых условиях существует. Он обозна

∞

чается F(p) =∫e–ptf(t)dt и называется лапласовым

0

изображением (или просто изображением) функции f(t), сама функция f(t) называется ори! гиналом. Соответствие F(p)→f(t) называется пре! образованием Лапласа и обозначается F(p) =

= Lf(t). Это преобразование часто применяется при решении дифференциальных уравнений, так как зачастую при переходе от оригинала к изобра жению вид дифференциального уравнения зна чительно упрощается.

Теорема единственности. Если две непре рывные функции имеют одно и то же лапласово изображение, то эти функции тождественно равны.

Основные свойства преобразования Лап! ласа:

1)свойство линейности: если F1(p) и F2(p) являют ся изображениями соответственно оригиналов f1(t) и f2(t), то L(af1(t) + bf2(t)) = aF1(p) + bF2(p) для

любых комплексных чисел a, b (данное свойство справедливо и для большего числа функций);

2)свойство подобия: если Lf(t) = F(p), то Lf(at) =

=1/a F(p/a), где a > 0;

3)свойство запаздывания: если Lf(t) = F(p), то Lf(t – b) = e–pbF(p), здесь b > 0;

4)свойство смещения: если Lf(t) = F(p),то L[e–atf(t)] =

=F(p + a) (а — любое комплексное число). Довольно часто применяется единичная

функция Хевисайда, определенная следующим образом:

Изображение функции Хевисайда L{ σ0(t)} = 1/p. Ниже приводятся некоторые наиболее часто

употребляемые преобразования Лапласа: L(1) = 1/p (здесь Rep > 0),

L(t n) = n!/pn + 1 (здесь n — целое, Rep > 0), L(e–at) = 1/(p + a) (здесь Rep > Rea),

L(sinat) = a/(p2 + a2) (здесь Rep > |Ima|), L(cos at) = p/(p2 + a2) (здесь Rep > |Im a|), L(shat) = a/(p2 – a2) (здесь Rep > |Rea|), L(chat) = p/(p2 – a2) (здесь Rep > |Rea|),

L(e–atcos ωt) = (p + a)/[(p + a)2 + ω2] (здесь Rep > > –Rea),

L(e–atsinωt) = ω/[(p + a)2 +ω2] (здесь Rep > –Rea).

49 МЕТОД ГАУССА

Метод Гаусса используется при решении ли нейных систем уравнений. Пусть имеется система линейных уравнений:

относительно n неизвестных x1, x2, ..., xn, если все bj = 0 (j = 1, 2, ..., m) равны нулю, то система назы вается однородной, если не равны нулю, то систе ма называется неоднородной. Метод Гаусса преобразовывает исходную систему в систему так называемого ступенчатого вида. При работе по данному методу считается, что коэффициенты (на зовем их диагональными) а11, а22, а33, … не равны нулю. Если на каком либо шаге метода получает ся, что какой либо из этих коэффициентов равен нулю, то происходит перенумерация и перестановка неизвестных с соответствующими им коэффициен тами таким образом, чтобы исключить равенство нулю диагональных коэффициентов. На первом шаге метода из всех уравнений, начиная со второ го, исключаются слагаемые с х1, на втором шаге из всех уравнений, начиная с третьего, исключают ся слагаемые с х2, и т.д. Если на каком либо шаге получается равенство 0 = bk, а само bk не равно нулю, то исходная система несовместна (не имеет решений). Возможно, что количество неизвестных превышает число уравнений. Тогда часть неизвест ных будут свободными (могут принимать любые значения), а остальные однозначно определяют ся системой через эти свободные.

Проще всего метод Гаусса объяснять на при мерах, после этого легко понять работу метода в общем случае.

Пусть дана следующая система:

3x1 + x2 – x3 = 5, 2x1 – x2 + 5x3 = 1, 1x1 + 2x2 – x3 = 3.

Коэффициент а11 не равен нулю. Умножаем пер вое уравнение системы поочередно на –2/3 и –1/3, затем полученные выражения складываем соответ ственно со вторым и третьим уравнением систе мы. В результате получаем:

3x1 + x2 – x3 = 5, 53 x2 + 133 x3 =–73,

53 x2 – 23x3 = 43,

т.е. исключили из второго и третьего уравнений системы слагаемые с х1. Теперь умножаем второе уравнение на –1 и складываем с третьим уравне нием, получаем следующую систему:

3x1 + x2 – x3 = 5, 53 x2 + 133 x3 =–37, –5x3 = 113 .

Получилась система ступенчатого вида, из по следнего уравнения находим х3 = –11/15, подстав ляем во второе уравнение, находим х2 = 38/75, а затем из первого уравнения находим х1 = 94/75.

Если у исходной системы коэффициент а11 = 0, то можно либо перенумеровать неизвестные, на пример х2 и х1 поменять местами, либо поменять местами первое и второе уравнения. В обоих слу чаях получаем систему, у которой коэффициент а11 не равен нулю.

ИТЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ. 50 КВАДРАТУРНЫЕ ФОРМУЛЫ

Итерационные методы применяются для чис ленного решения уравнения вида f(x) = 0. Сначала преобразуется исходное уравнение к виду x = ϕ(x), равносильному заданному. Например, можно по ложить ϕ(х) = х + kf(x) (k не равно нулю) или:

ϕ(x) = x – f(x) . f(x)

Затем рассматривается последовательность чисел x0, x1, x2, ..., xn + 1, определенных следующим

образом: x0, x1 = ϕ(x0), x2 = ϕ(x1), …, xn + 1 = ϕ(xn). При определенных условиях последняя последова

тельность сходится к решению уравнения x = ϕ(x). В процессе построения последней последова тельности производятся последовательные вы числения функции ϕ(x), называемые последова! тельностью итераций функции ϕ(x).

Разновидностями метода итерация являются метод касательных (метод Ньютона) и метод хорд и касательных.

Метод касательных состоит в следующем. Пусть дана дважды дифференцируемая на отрез ке [a, b] функция f(x), причем ее значения на кон цах отрезка F(a) и F(b) имеют разные знаки, а пер вая и вторая производные этой функции сохраняют свой знак на этом отрезке. Построение итерацион ной последовательности начинают с х0, которое равно а (если знак F(a) совпадает со знаком вто рой производной функции f(x)) или b (если знак F(b) противоположен знаку второй производной функ ции f(x)). Дальнейшие члены итерационной после довательности вычисляются по общему правилу: x1 = ϕ(x0), x2 = ϕ(x1) и т.д.

Метод хорд применяется, когда первая произ водная дифференцируемой на интервале (a, b) функции f(x) сохраняет свой знак на этом проме жутке, а значения функции на концах его имеют разные знаки.

Методы хорд и касательных являются ком бинированным. При этом строятся две последова тельности: одна — методом касательных, другая — методом хорд, которые стремятся к искомому зна чению корня с разных сторон (слева и справа).

Квадратурные формулы применяются для приближенного вычисления определенных интег ралов.

Наиболее применимы следующие квадратурные формулы: формула трапеций, формула Симпсона и формула Гаусса.

Формула трапеций имеет вид:

b

∫f(x)dx ≈ b n– a (y0/2 + y1 + y2 + ... + yn – 1 + yn /2).

a

Формула Симпсона (формула парабол) имеет

вид:

b

∫f(x)dx ≈ h3 (y0 + 4y1 + 2y2 + ... + 2y2n – 2 + 4y2n – 1 + y2n),

a

где h = (b – a)/(2n), xi = a + ih, yi = f(xi), i = 0, 1, 2, ..., 2n.

Квадратурная формула Гаусса применяется при вычислениях на ЭВМ. Эта формула более гро моздка, ее узлы неравномерно расположены на рассматриваемом отрезке и связаны с корнями многочлена Лагранжа, коэффициенты же выра жаются через значения производных многочлена Лагранжа.

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ 51 КОШИ. МЕТОД ЭЙЛЕРА. РАЗНОСТНЫЙ

МЕТОД ПРИБЛИЖЕННОГО РЕШЕНИЯ

Приближенное решение дифференциальных уравнений первого порядка методом Эйлера

при заданных начальных условиях производится следующим способом. Пусть имеется дифферен циальное уравнение dy/dx = f(x, y) и удовлетворяет ся следующее начальное условие: при х = х0 у = у0. Для нахождения решения на отрезке [x0, b] разде лим его на n равных частей, шаг разбиения равен

h = (b – x0)/n. Получили ряд точек x1, x2, ..., xn – 1, xn = b,

и х1 – x0 = x2 – x1 = ... = b – xn – 1 = x = h. Пусть у = ϕ(х) — приближенное решение исходного уравнения, т.е.

у0 = ϕ(х0), у1 = ϕ(х1), …, уn = ϕ(хn). Пусть y0 = y1 – y0,

y1 = y2 – y1, …, у–1 = yn – yn – 1. Тогда в каждой из точек x0, x1, ..., xn в исходном уравнении производную

можно заменить отношением конечных разностей:

y

x = f(x, y) или y = f(x, y)x.

Тогда при х = х0 имеем у0 = f(x0, y0)x. Отсюда находим у1 = у0 + f(x0, y0)h, аналогично по известным

x1, y1, h находится у2. Продолжая этот процесс да лее, находим приближенные значения решения у0, у1, …, уn в точках х0, х1, …, хn. Приближенное изобра жение интегральной кривой называется ломаной Эйлера (получается при последовательном со единении отрезками прямой точек (х0, у0), (х1, у1), …,

(хn, yn)).

Метод Эйлера применяется обычно, если не требуется большой точности. Большую точность достигают при увеличении числа разбиений дан ного отрезка.

Модифицированный метод Эйлера задается следующей формулой: yk + 1 = yk + f(xk + h/2, yk + fkh/2)h.

Разностный метод приближенного реше! ния дифференциальных уравнений первого порядка предполагает интегрирование с помощью рядов.

Разности третьего порядка (третьи разности) являются разностями вторых разностей и т.д. Пусть уi′, yi′′и так далее — приближенные значения производных. Аналогично определяются первые, вторые и прочие разности производных. Данный метод основан на применении формулы Тейлора в окрестности точки х = х0:

Значения производных находятся из исходного дифференциального уравнения следующим спо собом: у0′= f(x0, y0); после дифференцирования по х исходного уравнения получаем:

y′′= ∂∂xf + ∂∂yf y′

или после подстановки х0, у0, у0′ имеем:

(∂∂xf + ∂∂yf y′)x = x0, y = y0, y′= y0′.

Производные высших порядков находятся даль нейшим дифференцированием исходного уравне ния и подстановкой определенных ранее вели чин, т.е. получается, что все члены, входящие в формулу Тейлора, кроме остаточного члена, опре делены. Остаточным членом обычно пренебре гают. Точность полученного приближения зависит от величины |х – х0| и числа членов в разложении.

ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ФОРМУЛЫ 52 КОМБИНАТОРИКИ

Испытанием называется опыт, эксперимент или наблюдение. Событие — это результат ис пытания.

Два события называются совместимыми, если появление одного из них не исключает появ ления другого в одном и том же испытании. Два события называются несовместимыми, если появление одного из них исключает появление другого в одном и том же испытании. Два события называются противоположными, если в данном испытании они несовместимы, но одно из них обя зательно происходит.

Событие называется достоверным, если в дан ном испытании оно является единственно возмож ным его исходом, и невозможным, если в данном испытании оно заведомо не может произойти. Со бытие называется случайным, если оно объектив но может наступить или не наступить в данном испытании.

Результатом любого испытания может быть не которое количество исходов (событий). Полная группа событий — это совокупность событий в данном испытании, если результатом этого ис пытания становится хотя бы одно из событий.

Элементарными событиями называются события, образующие полную группу попарно не совместимых и равновозможных событий.

Событие А называется благоприятствующим

событию В, если наступление события А влечет за собой наступление события В.

Вероятностью Р(А) события А называется m/n — отношение числа m элементарных собы тий, благоприятствующих событию А, к числу n всех