Курс по высшей математике (для экономистов)

элементарных событий Р(А). Это классическое определение вероятности. Абсолютной часто! той события А называется число m, а отношение m/n называется относительной частотой со бытия А.

Два события называются независимыми, если вероятность появления каждого из них не зависит от того, появилось другое событие или нет. В про тивном случае эти события называются зависи! мыми.

Из определения следуют свойства вероят! ности:

1)вероятность достоверного события равна еди нице P(A) = 1 (для достоверного события m = n);

2)вероятность невозможного события равна нулю Р(А) = 0 (для невозможного события m = 0);

3)вероятность случайного события есть положи тельное число (больше нуля, но меньше еди

ницы).

При решении задач теории вероятности очень часто используются следующие понятия и фор! мулы комбинаторики:

1)размещениями из n различных элементов по m элементов (m ≤ n) называются комбинации, составленные из n элементов по m элементов, которые отличаются либо самими элементами, либо порядком элементов;

2)перестановками из n различных элементов на зываются размещения из этих n элементов по m элементов;

3)сочетаниями из nразличных элементов по m элементов называются комбинации, состав ленные из данных n элементов по m элементов, которые отличаются хотя бы одним элементом.

МАТЕМАТИЧЕСКОЕОЖИДАНИЕ 53 И ДИСПЕРСИЯ ДИСКРЕТНОЙ

СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ

Если закон распределения случайной величи ны неизвестен, то она изучается по различным числовым характеристикам. К числу таких харак теристик относятся математическое ожидание и дисперсия.

Пусть дискретная случайная величина Х с конеч ным числом своих значений задана законом рас пределения,тогда математическое ожидание М(Х) дискретной случайной величины Х — это сумма произведений всех возможных значений ве личины Х на соответствующие вероятности: М(Х) = = х1р1 + х2 р2 + … + xn pn. Математическое ожидание может быть обозначено МХ.

Теорема. Математическое ожидание дискрет ной случайной величины Х приближенно равно среднему арифметическому всех ее значений (при достаточно большом числе испытаний).

Свойства математического ожидания дис кретной случайной величины:

1)математическое ожидание постоянной величи ны равно этой величине;

2)постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания М(СХ) = СМ(Х);

3)математическое ожидание суммы двух случай ных величин Х и У равно сумме их математиче ских ожиданий: М(Х + У) = М(Х) + М(У);

4)математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин равно произ

ведению их математических ожиданий: М(ХУ) = = М(Х)×М(У) (случайные величины называются независимыми, если закон распределения одной не зависит от значения другой вели чины);

5)математическое ожидание разности двух слу чайных величин Х и У равно разности их мате матических ожиданий: М(Х – у) = М(Х) – М(У).

Отклонением случайной величины Х от ее математического ожидания М(Х) называется слу чайная величина Х – М(Х).

Теорема. Математическое ожидание отклоне ния равно нулю: М[X – M(X)] = 0.

Дисперсия D(X) дискретной случайной вели чины Х — это математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины Х от ее матема тического ожидания (дисперсия может быть обо

значена DX):

D(X) = M[(X – M(X))2].

Справедливо следующее выражение:

D(X)=[x1 –M(X)]2p1 +[x2 –M(X)]2p2 +...+[xn –M(X)]2pn.

Свойства дисперсии дискретной случай! ной величины:

1)дисперсия дискретной случайной величины Х равна разности между математическим ожида

нием квадрата величины Х и квадратом ее ма тематического ожидания: D(X) = M(X 2) – M 2(X);

2)дисперсия постоянной величины равна нулю;

3)постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возведя его в квадрат: D(CX) = C2D(X);

4)дисперсия суммы или разности двух независи мых случайных величин равна сумме диспер сий этих величин: D(X + Y) = D(X) + D(Y), D(X – Y) =

= D(X) + D(Y).

Среднее квадратичное отклонение σ (Х) случайной величины Х — это квадратный корень из ее дисперсии.

МАТЕМАТИЧЕСКОЕОЖИДАНИЕ 54 И ДИСПЕРСИЯ НЕПРЕРЫВНОЙ

СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ

Математическое ожидание непрерывной случайной величины Х с плотностью вероятно сти f(x) — это величина несобственного интеграла

(если он сходится):

+∞

М(Х) =∫xf(x)dx.

–∞

Дисперсия непрерывной случайной величи! ныХ, математическое ожидание которой М(Х) = а, а функция f(x) является ее плотностью вероятно сти, — это величина несобственного интеграла

(если он сходится):

+∞

D(Х) =∫(x – a)2f(x)dx.

–∞

Свойства математического ожидания и диспер сии непрерывной случайной величины те же, что

иу математического ожидания и дисперсии дис кретной случайной величины.

Коэффициенты коварации и корреляции опре деляются следующим образом: пусть Х и Y — слу

чайные величины, а XY — их произведение, M(X), M(Y), M(XY) — их математические ожидания, σX

иσY — среднеквадратичные отклонения. Коэф!

фициент ковариации k(X, Y) определяется формулой: k(X, Y) = M(XY) – M(X) ×M(Y); коэффи!

циент корреляции r(X, Y) определяется фор мулой: r(X, Y) = k(X, Y)/ [ σX × σY].

Свойства коэффициента корреляции:

1)для независимых случайных величин X, Y: r(X, Y) = 0;

2)для любых двух случайных величин X, Y: –1≤ r(X, Y) ≤1;

3)если |r(X, Y)| = 1, то случайные величины X, Y связаны соотношением: Y = aX + b, где a, b — постоянные.

Массовые случайные явления обладают свой ствами устойчивости средних, т.е. при большом числе испытаний колебания значений каждого испытания как бы компенсируются, теряется слу чайный характер величин. В таких случаях исполь зуются законы больших чисел, которые описы ваются теоремами Чебышева и Бернулли.

Теорема (неравенство) Чебышева. Для любой случайной величины Х при каждом положи тельном числе ε имеет место неравенство: Р{|X –

– M(X)| ≥ ε} ≤ D(X)/ ε2. Это неравенство Чебышева

может быть записано с другом виде: Р{|X – M(X)| < < ε} ≥1 – D(X)/ε2.

Теорема Бернулли. Пусть m — число наступ лений события A в n независимых испытаниях и p есть вероятность наступления события A в каж дом испытании. Тогда, каково бы ни было положи тельное число ε,

P(|mn – p|< ε) = 1.

Кроме законов больших чисел, в ситуациях больших n справедлива центральная предельная теорема Ляпунова. Пусть Х1, Х2, …, Хn — одинаково распределенные независимые случайные величи ны с математическим ожиданием М(Х) = а и дис персией D(Xi) = σ2. Тогда при большом n распреде ление суммы Х1 + Х2 + … + Хn близко к нормальному распределению.

СЛУЧАЙНЫЙ ПРОЦЕСС. 55 КОВАРИАЦИОННАЯ ФУНКЦИЯ

Очень часто на практике приходится иметь дело со случайными величинами, изменяющимися во времени. Такие случайные величины, зависящие от времени, называются случайными процес! сами (функциями) X(t). Для случайных процес сов характерны следующие свойства:

1) при каждом определенном значении времени t = t0 (в каждой точке t0) для случайного процесса X(t) определена случайная величина X(t0), имею щая свой закон распределения f(x); эта случай ная величина X(t0) называется сечением слу! чайного процесса X(t) в точке t0;

2) обычно, особенно при близких значениях t1 и t2, случайные величины X(t1) и X(t2) зависимы. Пусть X(t) — некоторый опыт с результатом ϕ(t),

являющимся некоторой функцией из заданного класса L непрерывных или кусочно гладких функций. Функция ϕ(t) называется реализацией (траек! торией) случайного процесса X(t), но сама функ ция ϕ(t) не является случайной.

Для случайных процессов также определены та кие характеристики, как математическое ожидание и дисперсия.

Математическим ожиданием случайного процесса X(t) называется неслучайная функция МX(t), значение которой в каждой точке t0 равно ма тематическому ожиданию сечения X(t0) случайно го процесса X(t).

Дисперсией случайного процесса X(t) назы вается неслучайная функция DX(t), значение кото рой в каждой точке t0 равно дисперсии случайной величины — сечения X (t0).

Среднекадратичное отклонение σ X(t) слу чайного процесса X(t) равно квадратному корню из его дисперсии.

Ковариационной (автоковариационной) функцией случайного процесса X(t) называет ся неслучайная функция cov(s, t), значение кото рой в точке (s0, t0) равно ковариации случайных ве личин X(s0) и X(t0) — сечений случайного процесса

X(t) в точках s0 и t0.

Нормированной ковариационной (норми! рованной автоковариационной) функцией

случайного процесса X(t) называется неслучайная функция rX(s, t), значение которой в каждой точке (s0, t0) равно коэффициенту корреляции случайных

величин X(s0) и X(t0) в точках s0 и t0.

Стационарным случайным процессом на зывается такой случайный процесс, если для всех его n конечномерных функций распределения при любом t0 справедливо равенство: Fn(t1, t2, ..., tn, x1,

x2, ..., xn) = Fn(t1 + t0, t2 + t0, ..., tn + t0, x1, x2, ..., xn). Функция RX(s, t) = M((X(s) × X(t)), где M(X(s)×

×X(t)) — математическое ожидание произведения случайных величин X(s) и X(t), называется корреля! ционной функцией случайного процесса X(t).

Для пары случайных процессов X(t) и Y(t) корре ляционная функция определена следующим обра зом: RXY(s, t) = M(X(s) ×Y(t)).

Справедлива связь: cov XY(s, t) = RXY(s, t) –

– M(X(t)) × M(Y(s)).

ГЕНЕРАЛЬНАЯ СОВОКУПНОСТЬ, ВЫБОРКА. 56 ГЕНЕРАЛЬНАЯ И ВЫБОРОЧНЫЕ СРЕДНИЕ

И ДИСПЕРСИИ

Пусть имеется множество однородных объек тов. Это множество называется статистической совокупностью относительно некоторого качест венного или количественного признака, характе ризующего объекты. Статистическая совокуп ность, из которой отбирается часть объектов, называется генеральной совокупностью.

Выборка — это множество объектов, случайно выбранных из генеральной совокупности. Объем генеральной совокупности — это число объек тов генеральной совокупности. Объем выбор! ки — число объектов выборки. Выборку можно рассматривать как набор случайных величин.

Статистическое распределение выборки —

это перечень вариант и соответствующих им частот (или относительных частот). Графически статисти ческое распределение изображается полигонами и гистограммами. Полигон — это график, по оси Ох которого откладываются значения вариант, а по оси Оу — значения частот (или относительных частот). При имеющемся большом числе вариант или в случае непрерывного распределения обсле дуемого признака пользуются гистограммами. Гистограмма — это график, построенный следую щим образом: на оси Ох откладывается интервал, в котором заключены все значения изучаемого признака; затем этот интервал разбивается на несколько частей длиной h (h меньше длины исход ного интервала в несколько раз).

Пусть имеется некоторая дискретная генераль ная совокупность, Х — изучаемый количествен ный признак, N — объем генеральной совокупно сти. Генеральная средняяxr (или а) — это среднее

арифметическое значение признака генеральной совокупности: а = xr = (x1 + x2 + ... + xN)/N , где x1, x2, ..., xN — значения признака генеральной сово купности или:

где Ni — частота, соответствующая признаку xi (k ≤n).

Если значения x1, x2, ..., xN различны или неко торые значения имеют соответствующие часто ты, то математическое ожидание М(Х) равно гене ральной средней.

Выборочной средней xB называется среднее арифметическое значений признака выборочной совокупности. Для выборочной средней справед ливы аналогичные выражения xB = (x1 + x2 + ... + xn)/n

где n — объем выборки.

Выборочные средние при одинаковом объеме выборок в могут быть различными. Всевозмож ные выборочные средние, которые могут получать ся, являются возможными значениями случайной величины, называемой выборочной средней случайной величиной X.

Генеральной дисперсией Dr называется среднее арифметическое квадратов отклонений значений признака Х генеральной совокупности от генеральной средней:

1 N

Dr = N Σ(xi – xr)2

i = 1

или если признаки имеют частоты, то:

1 N

Dr = N Σ(xi – xr)2Ni ,

i = 1

где Ni — частота, соответствующая признаку xi (k≤n).