Интенсивный курс общей методики преподавания математики. Учебное пособие

МЕТОДИКАИЗУЧЕНИЯМАТЕМАТИЧЕСКИХПОНЯТИЙ

оборот. Для последнего достаточно в определении поменять местами определяемое и определяющее понятия и в начале присоединить сло-

во «всякий».

Например, дано определение: «Параллелограмм есть многоугольник, у которого противоположные стороны параллельны». Проверяем его: «Всякий многоугольник, у которого противоположные стороны параллельны, есть параллелограмм» – это неверно. Или: «параллельными прямыми называются прямые, которые не пересекаются» (неверно, это могут быть и скрещивающиеся прямые).

2.Определение не должно заключать в себе «порочного круга». Это означает, что нельзя строить определение таким образом, чтобы определяющим понятием было такое, которое само (явно или неявно) определяется при помощи определяемого понятия. На-

пример, «прямым углом называется угол, содержащий 90°, а градусом называется 1/90 часть прямого угла».

Ошибка «порочный круг» иногда принимает форму тавтологии (то же посредством того же) – употребление слова, имеющего то же самое значение.

3.Определение по возможности не должно быть отрицательным.

В определении должны указываться существенные признаки предмета, а не то, чем не является предмет.

Например, «ромб – это не треугольник», «эллипс – это не окружность». Однако в математике в некоторых случаях отрицательные определения допустимы, например, «трансцендентной функцией называетсявсякаянеалгебраическаяфункция» (Н. Лузин) (ниявная, нинеявная).

4.Определение должно быть ясным, не допускающим двусмысленных или метафорических выражений.

Например, «арифметика есть царица математики» – образное сравнение, а не определение.

Классификация математических понятий

Детальное изучение объема понятия часто осуществляется с помощьюклассификации. Отребованияхкклассификациимыужеговорили.

Например, выполните классификацию:

1)взаимного расположения прямой и плоскости в пространстве;

2)чисел, изучаемых в средней школе;

3)движений, изучаемых в курсе планиметрии;

4)классификацию треугольников (по разным основаниям: по величине углов, по длине сторон).

61

КУЧУГУРОВА Н. Д. ИНТЕНСИВНЫЙ КУРС ОБЩЕЙ МЕТОДИКИ ПРЕПОДАВАНИЯ МАТЕМАТИКИ

Классификацию удобно иллюстрировать с помощью кругов Эйлера – Венна, тогда схема более компактна и наглядна.

При изучении классификации фигур полезно составлять сказки (найдите примеры сказок в методической литературе или придумайте сами).

В процессе определения и классификации понятий данной науки образуется система понятий этой науки.

Методика введения новых математических понятий

В методике преподавания математики выделяются два метода вве-

дения понятий: конкретно-индуктивный и абстрактно-дедуктив-

ный (термины введены русским методистом К. Ф. Лебединцевым).

Схема применения конкретно-индуктивного метода

1.Рассматриваются и анализируются примеры (анализ, сравнение, абстрагирование, обобщение…).

2.Выясняются общие признаки понятия, которые его характеризуют.

3.Формулируется определение.

4.Определение закрепляется путем приведения примеров и контрпримеров.

5.Дальнейшее усвоение понятия и его определения проходит в процессе их применения.

Например, понятие параллелограмма.

Схема применения абстрактно-дедуктивного метода

1.Формулируется определение понятия.

2.Приводятся примеры и контрпримеры.

3.Закрепляется понятие путем выполнения различных упражнений. Например, введение квадратного уравнения, понятия декартовых

координат и т. п.

При формировании понятий целесообразно применять рекомендации психолого-педагогических наук, например, теорию поэтапного формирования умственных действий (П. Я. Гальперина и др.):

I этап. Разъясняют цель вводимого понятия, дают ориентировку. II этап. Учащиеся формулируют определение исходя из рисунка. III этап. Учащиеся формулируют определение, пользуясь громкой

(внешней) речью без опоры на рисунок.

IV этап.Определение проговаривается в форме внешней речи про себя.

V этап. Определение проговаривается в форме внутренней речи.

62

МЕТОДИКАИЗУЧЕНИЯМАТЕМАТИЧЕСКИХПОНЯТИЙ

Ознакомьтесь с данной методикой в методической литературе [1]. При изучении понятий надо варьировать несущественные признаки (принципы варьирования) – это разнообразное расположение на доске рисунков и чертежей, например, треугольника, его высоты, перпендикуляра к прямой и т. д. (не только горизонтальное расположение

прямой, основания треугольника и т. п.).

Усвоению определений помогает анализ логической структуры определений. С этой целью составляются алгоритмы для распоз-

навания понятий, математические диктанты и тесты.

Ошибки в определениях

1. Ошибка «слишком широкого определения».

«Параллелограмм – это многогранник, противоположные стороны которого параллельны».

2. Ошибка «слишком узкого определения».

«Параллелограмм – это четырехугольник с равными сторонами».

3. Тавтология.

«Геометрия – это наука, которая изучает геометрические фигуры».

4. Круг в определении.

«Прямыми углами называются углы, которые получаются при пересечении перпендикулярных прямых», а «перпендикулярными прямые, если пересекаются под прямым углом».

5. Избыточные определения.

«Параллелограмм – это четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны и равны».

6.Отсутствие указания на родовое понятие.

«Ромб – это когда стороны равны».

7.Указание не того родового понятия, к которому данное понятие относится.

«Отношением называется сравнение двух чисел посредством деления» (отношение – это число, а сравнение – это процесс получения…).

ЗАДАНИЯ

1.Приведите примеры понятий из: а) арифметики; б) алгебры; в) геометрии. Укажите их содержание и объем.

2.Перечислитеобщиеприемыучебнойдеятельностипоусвоениюматематических понятий. При затруднении обратитесь к литературе [17].

63

КУЧУГУРОВА Н. Д. ИНТЕНСИВНЫЙ КУРС ОБЩЕЙ МЕТОДИКИ ПРЕПОДАВАНИЯ МАТЕМАТИКИ

3.В математике часто используются условные соглашения, которые такжеявляютсяопределениямиикоторыезаписываютсяввидеравенств, формул (выражений). Примеры таких определений:

в школьном курсе математики.

5.В школьных учебниках математики найдите избыточные определения и измените их так, чтобы они не содержали зависимых свойств.

6.Дайте несколько определений понятий квадрата.

7.Выполните классификацию понятий: а) числа; б) четырехугольника; в) многогранника.

8.Раскройте сущность методики контрпримеров, используемой при формировании понятий у учащихся. Приведите примеры такого использования.

9.В целях обучения и контроля при изучении определений применяются математические диктанты и тесты. Приведите примеры из своей практики.

10.Перечислите этапы работы по изучению понятия «параллелограмм». Назовите действия, из которых состоит деятельность учителя и учащихся при усвоении (закреплении) данного понятия. На основе указанных действий выделите контролирующие действия учителя за усвоением понятия.

11.Подберите контрольные действия для определения понимания понятия «параллелограмм». При подборе учтите специфику математических понятий.

12.Составьте родословную понятия «квадрат». Продумайте систему вопросов по данной схеме, с помощью которой можно проконтролировать усвоение всех указанных понятий. Какие еще средства контроля можно использовать для выяснения понимания каждого определения?

13.Выполните различные варианты чертежей-заготовок для контроля усвоения понятия «высота треугольника». Для проверки результатов сделайте карточки на прозрачной основе.

64

МЕТОДИКАИЗУЧЕНИЯМАТЕМАТИЧЕСКИХПОНЯТИЙ

14.Опишите, какие алгебраические (геометрические) понятия изучаются вV классе. Системойкакихзаданийследуетконтролироватьихусвоение?

15.Изучите содержание определенного раздела школьного курса математики (по указанию преподавателя); проведите его методический анализ: укажите перечень знаний и умений, которые необходимо сформировать у учащихся, выделите объекты проверки на разных этапах изучения этого раздела; разработайте по нему систему проверочных заданий.

16.Назовите возможные ошибки, допускаемые учащимися при изучении понятий темы «Смежные и вертикальные углы». Выясните причины ихпоявленияисоставьтекорректирующиезаданияизаданиядляпрофилактики этих ошибок. Продумайте возможные формы предъявления учащимся этих заданий.

17.Проанализируйте тему «Функции и их графики» (VII класс). Подберитематериаливозможныесредстваконтролякачестваусвоенияэтой темы. Составьте задания для программированного контроля по усвоению определений. Предусмотрите возможные ошибки и составьте корректирующие упражнения.

I вариант. Понятие «функция».

II вариант. График функции, чтение графика функции. III вариант. Способы задания функции.

18.Составьте систему задач для проверки усвоения понятия НОК двух или нескольких чисел, используя задачи учебника и дидактические материалы. Предусмотрите возможные ошибки и способы их корректировки. Какие УУД формируются данной системой задач?

19.Подберите систему устных упражнений для разъяснения учащимся различия между выражениями «на сколько» и «во сколько раз».

20.Найдите и исправьте ошибки в следующих определениях: а) диаметром круга называется наибольшая хорда, проходящая через центр;

б) параллелограммом называется многоугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны; в) ромбом называется

д) равнобедренный треугольник – это когда две стороны равны.

Какпредупредитьтакиеошибкиуучащихся? Объяснитеметодикуиспользования контрпримеров.

21.По перечисленным существенным признакам укажите, определение какого объекта сформулировано:

1)X – четырехугольник АВСД, 2) АВ||CД и 3) ВС||АД. Для какой цели служат такие задания при обучении математике?

65

КУЧУГУРОВА Н. Д. ИНТЕНСИВНЫЙ КУРС ОБЩЕЙ МЕТОДИКИ ПРЕПОДАВАНИЯ МАТЕМАТИКИ

22.Проанализируйте условие следующей задачи: «В треугольнике АВС АВ = ВС, АР – биссектриса, ВС = 7 см. Вычислите длину отрезка СР, если сможете». Каковы возможные ошибки учащихся при решении данной задачи? Какую цель преследовал учитель, предлагая учащимся эту задачу?

23.Составьте алгоритм распознавания понятия «равные треугольники», пользуясь определением понятия; пользуясь признаками равенства треугольников.

Подберите задания, с помощью которых можно предупредить характерные ошибки, допускаемые учащимися при усвоении данного понятия.

24. Проверьте самостоятельную работу учащихся V класса по теме «Округление чисел» (каждому студенту дается по 5 тетрадей). Предварительно продумайте критерии оценки этой работы. Сравните их с критериями учителя, работающего в этом классе. Сделайте выводы с учетом обязательных результатов обучения математике.

Составьте оценочное суждение по результатам одной работы (на ваш выбор).

Проведите анализ ошибок, укажите причины их возникновения. Составьте корректировочные задания с целью профилактики допущенных ошибок.

25.Составьте текст математического диктанта по теме «Сложение и вычитание обыкновенных дробей» (для повторения в IX классе) с целью профилактики постоянно допускаемых учащимися ошибок.

Разработайте критерии оценки результатов этого диктанта. Обсудите различные варианты критериев на практическом занятии по методике обучения математике. Выберите наиболее оптимальный, на ваш взгляд, вариант.

Вопросы для самоконтроля

1.Что мы понимаем под понятием?

2.Какие признаки понятия называются существенными?

3.Что такое содержание понятия? Объем понятия? Какова зависимость между содержанием и объемом понятия?

4.Что значит определить понятие?

5.Какие виды определений вы знаете? Поясните суть каждого вида и их логическую структуру.

6.Перечислите правила определения.

7.Для чего нужна классификация?

8.Назовите методы введения новых понятий.

66

КОНТРОЛЬ ЗНАНИЙ ПО МАТЕМАТИКЕ

План

1.Определение и роль контроля (проверки) знаний учащихся в процессе преподавания математики.

2.Функции проверки.

3.Принципы проверки.

4.Формы, виды и методы проверки.

5.Средства проверки.

Определение и роль контроля (проверки) знаний учащихся

впроцессе преподавания математики

Вструктуре учебной деятельности контроль и оценка выступают как необходимые учебные действия, направленные на решение учебной задачи, они тесно связаны между собой, но не тождественны друг другу. Функция контроля заключается в определении правильности

иполноты выполнения учеником операций в составе действия, направленного на решение учебной задачи. Действие оценки, с одной стороны, состоит в содержательном качественном рассмотрении результата усвоения способа действия в его сопоставлении с намеченными целями; а с другой стороны, действие оценки направлено на выявление тех изменений, которые произошли в самом субъекте в результате решения учебной задачи.

Впроцессе обучения контроль знаний и умений школьников является важным звеном и зависит от специфики предмета. От того, как он организован, на что нацелен, существенно зависит эффективность учебной работы. Именно поэтому в школьной практике необходимо уделять серьезное внимание способам организации контроля. Содержание предмета обуславливает характер используемых методических приемов контроля: определяет спектр задач и упражнений, решаемых различными способами; подбор комплекса заданий, решение которых неизбежно приводит к использованию указанного метода; возможность классификации задач по методам решения, составление задач, обратных данным.

Вчастности, анализ литературы показал, что проблема контроля многоаспектна и здесь нет единой точки зрения даже в трактовке данного понятия. Наиболее удачна, на наш взгляд, точка

68

КОНТРОЛЬЗНАНИЙПОМАТЕМАТИКЕ

зрения на контроль как составную часть учебного процесса, заключающуюся в выявлении степени соответствия или несоответствия запланированного результата выполнения учебной задачи достигнутому и на основе данной информации обеспечивающую управление и совершенствование дальнейшего хода обучения. Как видим, организация контроля предполагает ответы на ряд вопросов: что, как и когда контролировать. Все это обуславливает в контролирующей деятельности учителя не только знание содержания предмета, видение взаимосвязей внутри него, определение основного и вспомогательного материала, но и соотнесение его с целями обучения.

Общейцельюконтроляявляется«взвешивание» иопределениекачества усвоения и овладения материалом, степени соответствия сформированных умений и навыков целям и задачам обучения. Если ученик усвоил – это значит, во-первых, он нечто знает, запомнил, во-вторых, он понимает, не просто умеет повторить, а мотивировать, почему так, а не иначе. Ачтобыучениковладелзнаниями, ондолженуметьприменить их на практике. Как предлагает В. А. Далингер, используя математический язык, условно мы можем записать такие «формулы»:

УСВОЕНИЕ = ПОНИМАНИЕ + ЗАПОМИНАНИЕ, ОВЛАДЕНИЕ = УСВОЕНИЕ + ПРИМЕНЕНИЕ ЗНАНИЙ НА ПРАКТИКЕ [15, с. 5].

Функции проверки

Основными функциями проверки являются: контролирующая, обучающая, диагностическая, прогностическая, развивающая, ориентирующая, воспитывающая и др. (зачем нужна проверка).

Функции самоконтроля в процессе учебной деятельности: прогнозирующую, планирующую, проверочную, оценочную, корректировочную, регулирующую, обучающую, воспитывающую, развивающую. Функции самоконтроля аналогичны функциям контроля, разница состоит лишь в направленности действия: при самоконтроле – на себя, при контроле – на какой-либо объект. С учетом того, что мы не останавливались подробно на содержании функций контроля, дадим разъяснение обозначенных функций:

•прогнозирующая. Смысл ее состоит в формировании у обучаемых умения предвидеть реальный результат своей деятельности в соответствии с поставленной целью и зоны трудности, возникающие при его достижении;

69

КУЧУГУРОВА Н. Д. ИНТЕНСИВНЫЙ КУРС ОБЩЕЙ МЕТОДИКИ ПРЕПОДАВАНИЯ МАТЕМАТИКИ

•планирующая. Предполагаетформирование умения планировать свою деятельность с учетом зон трудности ее осуществления;

•проверочная. Обуславливает формирование умения проверять ход своей деятельности с целью ее улучшения и внесения необходимых коррекций;

•оценочная. Предопределяет формирование у обучаемых умения осуществлять самооценку своей деятельности;

•корректировочная. Смысл ее сводится к формированию умения осуществлять коррекцию своей деятельности на основе самооценки;

•регулирующая. Предполагает сформировать умение планировать свой учебный труд и обеспечивать его целенаправленное протекание;

•обучающая. Смысл ее состоит в стимулировании в учебном процессе овладения необходимыми знаниями, умениями и навыками;

•воспитывающая. Предопределяет приучение школьников или студентов к систематической работе, дисциплине, формирование воли, активности и других качеств личности;

•развивающая. Обуславливает развитие у будущих учителей уме-

ния видеть главное в изучаемом, самостоятельность и активность. Все эти функции реализуются в единстве, однако на разных этапах развитиясамоконтролятаилиинаяизнихдоминирует. Так, оценочная функция является системообразующей, поэтому она имеет место на всех этапах формирования самоконтроля, и от качества ее реализации

зависят все остальные функции.

Принципы проверки

Принципы проверки (какой должна быть проверка?): целенаправленность; объективность; всесторонность; регулярность; индивидуальность.

Формы, виды и методы проверки

В соответствии с формами проверка бывает индивидуальная, групповая, фронтальная.

Виды: текущая, тематическая, итоговая.

Методы: устная проверка, проверка письменно-графических работ, проверка практических работ.

70