Интенсивный курс общей методики преподавания математики. Учебное пособие

МЕТОДИКАОБУЧЕНИЯУЧАЩИХСЯРЕШЕНИЮЗАДАЧ

Пусть третий товарищ внес z p., тогда все остальные внесли 4z p. Отсюда находим стоимость телевизора: z + 4z = 5z (p.). Значит, третий внес 1/5 стоимости телевизора.

Продолжим решение арифметическим методом.

Первый, второй и третий внесли 1/3 + 1/4 + 1/5 = 47/60 стоимости телевизора. Значит, четвертый внес остальные 1 – 47/60 = 13/60 стоимости. По условию это составляет 650 р. Следовательно, телевизор стоит 650 × 60/13 = 3000 р.

Ответ: 3000 р.

Методы решения могут быть разными, но способ решения, лежащий в их основе, может быть один.

Пример. Арбуз и дыня весят 11 кг, причем арбуз тяжелее дыни на 5 кг. Сколько килограммов весит арбуз и сколько весит дыня?

Решение.

Алгебраический метод. По условию задачи составим систему уравнений:

где x кг – масса арбуза, y кг – масса дыни. Почленно сложив уравнения системы, получим

2x = 1 + 5 2x = 16 x = 8.

Тогда из первого уравнения находим y = 1 – 8 = 3. Итак, арбуз весит 8 кг, дыня – 3 кг.

Арифметический метод. Запишем решение с пояснениями:

1)11 + 5 = 16 (кг) – весили бы два арбуза, если бы дыня весила столько же, сколько и арбуз;

2)16 : 2 = 8 (кг) – весит один арбуз;

3)11 – 8 = 3 (кг) – весит одна дыня.

Ответ: арбуз весит 8 кг, дыня – 3 кг.

В приведенных решениях использованы одни и те же связи между данными и искомыми, положенные в основу решений, и используются ониводнойитойжепоследовательности. Поэтому, хотяданнаязадача решена различными методами, мы не можем сказать, что она решена различными способами.

51

КУЧУГУРОВА Н. Д. ИНТЕНСИВНЫЙ КУРС ОБЩЕЙ МЕТОДИКИ ПРЕПОДАВАНИЯ МАТЕМАТИКИ

Обучение поиску решения задач

С чего начинать решение задачи? Движение вашей мысли, как заметил известный советский психолог П. Я. Гальперин, не должно быть «броуновским», т. е. беспорядочным. Главное – нужно сделать глубокий и всесторонний анализ задачи [9].

Решить математическую задачу – это значит найти такую после-

довательность общих положений математики (определений, аксиом, теорем, правил, законов, формул), применяя которые к условиям задачи или к их следствиям (промежуточным результатам решения), получаем то, что требуется в задаче, – ее ответ.

Основными методами поиска решения задач являются анализ и синтез. Благодаря анализу осуществляется целенаправленная актуализация знаний (знания актуализируются не механически, наугад, «вслепую», а в связи с потребностью в них). В ходе анализа естественно определяются момент использования знаний (не тогда, когда вспоминаешь, а тогда, когда нужно), выбор знаний (берутся лишь те знания, в которых возникла потребность при анализе), форма использования знаний (не так, как в учебнике, а в том виде, в каком это удобнее для решения задачи) и характер использования знаний (все сразу или поочередно).

Ранее были рассмотрены анализ Паппа и анализ Евклида. Они применимы и при поиске решений задач. Каждый из этих анализов имеет свою область применения. Например, при поиске решений текстовых задач с помощью уравнений более удобным является анализ Евклида: искомая величина обозначается через х и на основе текста задачи выводятся следствия до тех пор, пока не будет получено уравнение, связывающее искомую величину х с данными величинами. Поиск решения текстовых задач (решаемых арифметическими средствами) удобнее вести с помощью анализа Паппа. Поиск решения таких задач начинают с вопроса задачи и определяют, какие величины надо знать, чтобы ответить на этот вопрос. Далее выясняют, являются ли эти величиныизвестными. Если некоторыеизних неданывусловиизадачи, то ставится вопрос, как можно найти такие величины, что необходимо знать для этого. Подобные вопросы повторяют до тех пор, пока не обнаружится, что нахождение «промежуточных» неизвестных величин сводится к вычислениям с данными величинами.

Таким образом, при решении задач можно выделить следующие

общие приемы мыслительной деятельности: первый прием – при-

ем развертывания термина, он состоит в выведении всевозможных

52

МЕТОДИКАОБУЧЕНИЯУЧАЩИХСЯРЕШЕНИЮЗАДАЧ

следствий из условия задачи или в выяснении всевозможных свойств объектов, о которых говорится в задаче. Второй прием – анализ через синтез («челнок») состоит в чередовании восходящего анализа и синтетических рассуждений. Эти два приема подводят к формированию плана решения задачи. Третий прием – прием построения дедуктивных умозаключений. Именно эти приемы должны быть отработаны с учащимися.

При решении геометрических задач на вычисление можно ис-

пользовать следующую схему: 1) построить чертеж-набросок; 2) обозначить одну из искомых величин через x; 3) выразить через x неизвестные величины; 4) составить и решить уравнение; 5) записать

ипроверитьответ. Прирешениизадачнадоказательствоможетбыть применена такая схема: 1) построить чертеж; 2) выделить условие

изаключение задачи, записать их; 3) вспомнить определения и свойства геометрических фигур, о которых идет речь в задаче; 4) из условия задачи сделать логические выводы, стремясь получить ее заключение (проследить, чтобы все данные задачи были использованы). Приведите примеры применения этих схем при решении одной-двух задач.

Взаключение отметим, что большинство приемов поиска решения задач базируется на достаточно серьезном логическом содержании, поэтому овладение ими учащимися возможно лишь при условии систематического и целенаправленного их применения. Полезно практиковать в этих целях краткий методологический комментарий, разъясняющий учащимся суть применяемых приемов поиска решения задач.

ЗАДАНИЯ

1.Приведите примеры различных определений понятия «задача».

2.Каковы роль и место задач в школьном курсе математики?

3.В методической литературе часто встречаются следующие термины: «обучение через задачи», «обучающая система задач», «обучающая цепочка (связка) задач», «метод целесообразно подобранных задач» (термин С. И. Шохор-Троцкого), «метод подготовительных задач» и др. Они употребляются применительно к изучению теории и решению задач.

Объясните смысл каждого термина и приведите примеры.

4.В чем значимость работы по составлению задач учащимися? Как лучше организовать ее? Какие пути и средства могут быть при этом использованы?

5.Какие методы научного познания используются при решении задач? Покажите на конкретных примерах.

53

КУЧУГУРОВА Н. Д. ИНТЕНСИВНЫЙ КУРС ОБЩЕЙ МЕТОДИКИ ПРЕПОДАВАНИЯ МАТЕМАТИКИ

6.Ориентации в решении задач способствует ознакомление учащихся

собщими схемами решения задач. По какой схеме решаются геометрические задачи на построение; на вычисление; на доказательство? Приведите примеры.

7.Для развития мышления школьников в процессе решения задач рекомендуется задавать следующие типы вопросов:

1)вопросы на сравнение (полное и неполное);

2)вопросы, требующие установления основных характерных черт, признаков понятий и предметов;

3)вопросы на установление причинно-следственных связей;

4)вопросы, требующие подведения частного (особенного) под общее;

5)вопросы, требующие применения общего к конкретному;

6)вопросы, требующие установления справедливости обратного

утверждения.

Составьте примеры вопросов всех указанных типов.

Приведите, есливызнаете, идругиепримерыдополнительныхвопросов, усиливающих развивающие функции задач.

8.Наиболее простым приемом обобщения задачи является замена конкретных числовых данных параметрами. Приведите примеры таких задач из различных учебников геометрии.

9.Если в рассматриваемой задаче принять найденную величину за данную, а одну из данных за искомую, то мы получим так называемую обратную задачу. Исследуйте роль обратных задач в процессе изучения математики.

10.Каким требованиям должна отвечать математическая задача практического содержания? Приведите примеры задач практического характера.

11.Для развития творческого мышления предлагаются различные виды учебно-творческих задач. Ознакомьтесь с некоторыми из них в приведенной таблице.

54

МЕТОДИКАОБУЧЕНИЯУЧАЩИХСЯРЕШЕНИЮЗАДАЧ

12.Ознакомьтесь с представленными ниже видами задач и продумайте методику их применения на уроках математики.

ЗАДАЧИ НА ОБНАРУЖЕНИЕ ОШИБОК В УСЛОВИИ

Задача 1. Площадь квадрата равна 0,16 м2. Какой станет площадь этой фигуры, если одну его сторону увеличить вдвое, а другую уменьшить на 0,5 м?

Задача 2. 65% огорода занято картофелем, 20% огорода – капустой, а остальные 4 га заняты свеклой. Какова площадь огорода?

Задача 3. В колхозе 1/2 пашни заняты озимой пшеницей, 1/6 – рожью, 2/5 – яровой пшеницей, а остальная часть пашни занята овощами. Какая часть пашни занята овощами?

Задача 4. Ширина прямоугольника в 3 раза меньше стороны квадрата, аегодлинана9 смбольшестороныквадрата. Насколькоплощадьпрямоугольника больше площади квадрата, если сторона квадрата равна

24 см?

Задача5. ИваннадвагодамоложеПетра, Петрчетырьмягодамистарше Степана, Андрей на 3 года старше, чем Петр, Иван по возрасту равен Степану. Кто старше? Андрей или Иван?

Задача 6. Пароход весь путь от А до В (по течению) и обратно (против течения) шел с максимальной скоростью. Фактически, ввиду наличия течения, скорость его была различной: от А до В он шел со скоростью 20 км/ч, а обратно со скоростью 30 км/ч. Какова его средняя скорость за весь путь?

55

КУЧУГУРОВА Н. Д. ИНТЕНСИВНЫЙ КУРС ОБЩЕЙ МЕТОДИКИ ПРЕПОДАВАНИЯ МАТЕМАТИКИ

ЗАДАЧИ С НЕПОЛНЫМ СОСТАВОМ УСЛОВИЯ

Задача 1. В библиотеке всего 6100 книг на русском, французском и английском языках. Французских книг больше английских на 257. Сколько книг на каждом языке? (Нет данных о количестве книг на каком-нибудь одном языке).

Задача 2. Банка с медом весит 500 г. Такая же банка с керосином 350 г. Сколько весит пустая банка? (Нужно отношение веса меда и веса керосина. Например, керосин легче меда в 2 раза).

Задача 3. Стороны треугольника относятся как 5 : 4 : 3. Найти величину его сторон. (Надо знать величину периметра или величину хотя бы одной из сторон).

Задача 4. Поезд состоит из цистерн, товарных вагонов и платформ. Цистерн на 4 меньше, чем платформ, и на 8 меньше, чем товарных вагонов. Сколько в поезде цистерн, товарных вагонов и платформ? (Неизвестно общее количество вагонов, цистерн и платформ).

Задача 5. Жили-были 2 брата-близнеца. Один из них ежедневно спал 1/3 суток. Дожили они так до 72-летнего возраста. Сколько лет за это время проспал каждый из них? (Надо знать, какую часть суток спал второй брат).

Приведите примеры других видов учебно-творческих задач.

Вопросы для самоконтроля

1.Что такое задача?

2.Какие классификации задач существуют?

3.Назовите функции задач в обучении.

4.Что значит решить математическую задачу?

5.Какова структура процесса решения задачи?

6.Перечислите общие приемы мыслительной деятельности при решении задач и раскройте их суть на примерах: а) арифметических; б) алгебраических; в) геометрических.

7.Как можно организовать обучение решению математических задач?

8.Как можно усилить развивающие функции задач в обучении?

56

МЕТОДИКА ИЗУЧЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКИХ ПОНЯТИЙ

План

1.Сущность понятия. Содержание и объем понятия.

2.Определение математических понятий.

3.Классификация математических понятий.

4.Методика введения новых математических понятий.

5.Ошибки в определениях.

Сущность понятия. Содержание и объем понятия

При помощи понятий мы выражаем общие, существенные признаки вещей и явлений объективной действительности. Для выяснения сущности понятий сравним их с восприятиями и представлениями.

Восприятием называется непосредственное чувственное отражение действительности в сознании человека.

Представлениемназываетсязапечатленныйвнашемсознанииобраз предмета или явления, в данный момент нами не воспринимаемого.

Восприятие исчезает как только воздействие предмета на органы чувств человека кончается. Остается представление. Например, показываем куб, а потом его убираем. Мы знаем различные кубы, разного цвета и т. п., но мы от этого отвлекаемся, сохраняя общее и существенное. Понятиеабстрагируетсяотиндивидуальныхчертипризнаков отдельных восприятий и представлений и является, таким образом, результатом обобщения восприятий и представлений очень большого количества однородных явлений и предметов, например: число, пирамида, окружность, прямая. Понятия образуются путем таких логических приемов, как анализ и синтез, абстрагирование и обобщение.

Понятием будем называть мысль о предмете, выделяющую его существенные признаки.

Существенными признаками понятия называются такие признаки, каждый из которых необходим, а все вместе достаточны, чтобы отличить объекты данного рода от других объектов (например, параллелограмм).

Надоотметить, чтовыборсущественныхпризнаковдляобразования определенияизвсейсовокупностипризнаковнеявляетсяоднозначным.

58

МЕТОДИКАИЗУЧЕНИЯМАТЕМАТИЧЕСКИХПОНЯТИЙ

В каждом понятии различают его содержание и объем. Содержанием понятия называется совокупность существенных

признаков объектов, охватываемых понятием.

Объемом понятия называется совокупность объектов, на которое распространяется данное понятие.

Например, понятие «человек». Содержание: живое существо, создает орудия производства, обладает способностью абстрактного мышления. Объем: все люди.

«Тетраэдр». Содержание: многогранник, ограниченный четырьмя гранями, имеющими форму треугольников. Объем: множество всех тетраэдров.

Между объемом и содержанием понятия существует такое соотношение: чем больше содержание понятия, тем меньше его объем.

Если объем одного понятия входит как часть в объем другого понятия, то первое понятие называется видовым, а второе – родовым.

Понятия род и вид имеют относительный характер. Например, понятие «призма» является родовым по отношению к понятию «прямая призма», но видовым понятием по отношению к понятию «многогранник».

Определение математических понятий

Содержание понятия раскрывается с помощью определения. Определением называется такая логическая операция, при помощи

которой раскрывается содержание вводимого в рассмотрение понятия. Определитьпонятие– этозначитперечислитьсущественныепри-

знаки предметов, отображенных в данном понятии.

Задача перечисления признаков бывает нелегкой, но она упрощается, если опираться на понятия, ранее уже установленные. Понятие фиксируется в речи с помощью слова или словосочетания, называемого именем или термином понятия. В математике понятие часто обозначается не только именем, но и символом. Например, 2 и др.

59

КУЧУГУРОВА Н. Д. ИНТЕНСИВНЫЙ КУРС ОБЩЕЙ МЕТОДИКИ ПРЕПОДАВАНИЯ МАТЕМАТИКИ

Что значит дать определение? Это значит прежде всего подвести данное понятие под другое, более широкое.

Таким образом, в определении сначала указывается род, в который определяемоепонятиевходиткаквид. Азатемуказываюттепризнаки, которые отличают этот вид от других видов ближайшего рода.

Такой прием определения понятия называется определением по-

нятия через ближайший род и видовое отличие.

Понятие = род + видовое отличие.

Итак, мы подошли к видам определений. Часто все определения делятся на два вида: явные и неявные.

Явными называются определения, в которых смысл определяемого термина полностью передается через смысл определяющих терминов. Определение через ближайший род и видовое отличие относится к явным.

Внеявных определениях смысл определяемого термина не передается полностью определяющими терминами.

Типичный пример неявного определения – определение исходных понятий с помощью системы аксиом. Такие определения называются аксиоматическими. Примерами аксиоматических определений являются определения группы, кольца и поля и т. п. (аксиоматика Гильберта, Вейля, система аксиом Пеано для натуральных чисел).

Генетическим называется определение объекта путем указания способа его построения.

Например, «усеченныйконусестьтело, происходящееотвращения прямоугольной трапеции вокруг стороны, перпендикулярной к основаниям трапеции», или определение понятия «линейный угол двугранного угла».

Виндуктивном (рекуррентном) определении объект задается как функция f(n) от натурального числа n. Это задание обеспечивается указанием значения f(1) и некоторого равенства, связывающего значе-

ния f(n+1) и f(n).

Индуктивным является, например, известное определение суммы натуральных чисел Грассмана, состоящее из двух равенств:

m + 1 = m`, m + n` = (m + n`)`.

Чтобы дать логически правильное определение, нужно соблюдать следующие правила определения.

1.Определение должно быть соразмерным, т. е. определяемое и определяющее понятия должны быть равны по объему.

Чтобы проверить соразмерность, нужно убедиться, что определяемое понятие удовлетворяет признакам определяющего понятия и на-

60