Интенсивный курс общей методики преподавания математики. Учебное пособие

МЕТОДЫНАУЧНОГОПОЗНАНИЯВОБУЧЕНИИМАТЕМАТИКЕ

Легко заметить, что синтез более доступен для понимания учащихся, хотя он меньше развивает логическое мышление, чем анализ. Применяя синтез, учащиеся рассуждают вслепую, пассивно; трудно догадаться, с чего начать доказательство, в то время как рассуждая аналитическим путем, мы мыслим ясно и творчески, активно ищем путь доказательства того или иного предложения.

Синтез в чистом виде почти никогда не встречается, он всегда включает в себя элементы анализа. Синтез и анализ взаимно связаны и неотделимы друг от друга. Они представляют собой две стороны одногоитогожепроцессарассуждения. Ф. Энгельс, характеризуяанализ как метод в научных исследованиях, говорит: «…мышление состоит столько же в разложении предметов сознания на их элементы, сколько в объединении друг с другом элементов в единство. «Без анализа нет синтеза» (Анти-Дюринг).

Многочисленные психологические исследования показали, что анализ выступает в различных формах, например:

а) анализ типа «фильтр»; б) анализ через синтез.

Вслучаеа) человек, решающийзадачу, действуетнаугад, хаотично, безвсякойвидимойсистемы, пробуетодинспособзадругим, отбрасывает, отсеивает и т. п. Это при решении головоломок и т. д. (например, из 6 спичек сложить 4 равносторонних треугольника). Исследования показали, что догадка опирается на анализ.

Вслучае б) в начале поиска выполняется синтез различных частей задачи, а затем проводится анализ того, что может дать такой синтез для решения задачи. Подобное применение анализа является распространенным и имеет специальное название – анализ через синтез.

Иногда при решении задачи возможен повторный анализ, анализ

сновой целью, с иной точки зрения и т. п.

Рассмотрим, как методически грамотно применять анализ и синтез при решении задач.

Ведущий вопрос при анализе: что надо знать, чтобы ответить на

поставленный вопрос?

Ведущий вопрос при синтезе: что мы можем узнать по данным

условия?

Поиск решения задачи при синтезе направляется вопросом: зная то-то и то-то, что можно найти?

Сущность аналитического метода утверждений состоит в том, что исходнымпунктомдляобоснованиятребуемогоутвержденияявляется само это утверждение, которое путем логически обоснованных шагов сводится к утверждению, известному как истинное.

31

КУЧУГУРОВА Н. Д. ИНТЕНСИВНЫЙ КУРС ОБЩЕЙ МЕТОДИКИ ПРЕПОДАВАНИЯ МАТЕМАТИКИ

Сущность синтетического метода состоит в том, что отыскиваются такие истинные утверждения, которые можно было бы путем логически обоснованных шагов преобразовать в данное утверждение (требуемое утверждение).

Метод восходящего анализа

Однойизформдоказательстваутверждений, вкоторыхправомерно может использоваться аналитический метод, является так называемый восходящий анализ.

Сущность метода восходящего анализа видна из следующих рассуждений: для того, чтобы А было верно, достаточно, чтобы было верно В…

Преимущество восходящего анализа в следующем:

1)восходящийанализобеспечиваетсознательноеисамостоятельное отыскание метода доказательства теоремы самими учащимися;

2)способствует развитию логического мышления;

3)обеспечивает осознанность, целенаправленность действий на каждом этапе доказательства;

4)схемаметодапроста: что требуется доказать? Что для этого достаточно знать?

Но этот метод, как и другие, не следует считать универсальным. Вывод: учителю важно уметь выделять там, где это нужно, либо анализ, либо синтез, помня, что анализ – это путь к открытию,

а синтез – это путь к обоснованию.

Аналитико-синтетические методы

Различают три вида аналитико-синтетических методов: синтетический, аналитический и метод попеременного движения с обоих концов.

Еслиисходныммоментомприотысканиирешениязадачиявляются данные, то такой метод называется синтетическим. Причем под данными подразумеваются не только данные предложенной задачи, но и ранее доказанные истины.

Если же исходным моментом решения является искомое, то метод называется аналитическим.

Аналитический метод проявляется в следующих формах:

1)восходящий анализ: (анализ Паппа);

2)нисходящий анализ (анализ Евклида), который имеет две разновидности:

а) несовершенный анализ; б) метод доказательства от противного;

32

МЕТОДЫНАУЧНОГОПОЗНАНИЯВОБУЧЕНИИМАТЕМАТИКЕ

3)алгебраический метод;

4)математическая индукция.

Если при отыскании решения задачи пользуются преобразованием как данных, так и искомых, то это метод попеременного движения с обоих концов.

Сущность метода восходящего анализа заключается в том, что исходным моментом решения задачи на доказательство является заключение, преобразование которого происходит путем отыскания достаточных признаков справедливости его.

Особенности восходящего анализа определяют его достоинства:

1)восходящий анализ представляет большую педагогическую ценность как метод, обеспечивающий учащимся сознательное и самостоятельное отыскание решений задач на доказательство;

2)он способствует развитию логического мышления;

3)обеспечивает осознанность действий на каждом этапе решения, целенаправленность их, вследствие чего почти исключается возможность сделать неправильное заключение;

4)дает возможность найти различные способы решения;

5)усвоение этого метода доступно для большинства учащихся, так как проста схема практического применения: что требуется доказать? Что для этого достаточно знать?

Недостатки:

1)восходящий анализ не удобен для изложения найденного доказательства, которое получается очень длинным. Этого можно избежать, если восходящим анализом пользоваться для отыскания доказательства, а изложение вести синтетическим методом;

2)решение не всякой задачи на доказательство легко найти при помощи восходящего анализа. Например, когда заключение – следствие нескольких оснований.

Несовершенный анализ

Он применяется в геометрии для составления плана решения задач на доказательство и на построение. Исходным моментом является заключение. Преобразование заключения происходит путем отыскания необходимых признаков справедливости его в предположении того, что заключение теоремы верно.

План решения задачи считается составленным, когда отыскание следствий, вытекающих из предположения справедливости заключения, приводит к верному следствию. Для проверки применяют обратный ход, исходным моментом которого является последний получен-

33

КУЧУГУРОВА Н. Д. ИНТЕНСИВНЫЙ КУРС ОБЩЕЙ МЕТОДИКИ ПРЕПОДАВАНИЯ МАТЕМАТИКИ

ный верный вывод. Этот обратный ход называют иногда синтезом, в задачах конструктивных – это построение и доказательство.

Достоинства те же, что и у восходящего анализа. Недостатки несовершенного анализа.

1)Если в случае получения верного следствия попытка обратить рассуждение не удается, то вопрос о верности решения остается открытым и нужно искать другой метод.

2)Преобразование данной задачи во вспомогательную происходит с целью отыскания задачи, решение которой известно. Но этот процесс многозначен, и не каждое преобразование ведет к цели.

Метод доказательства от противного

Вообще доказать какое-либо утверждение – это значит показать, что это утверждение логически следует из системы истинных и связанных с ним утверждений.

Сущность доказательства методом от противного состоит в следующем.

Пусть требуется доказать теорему «А=>В». При доказательстве методом от противного допускают, что заключение теоремы (В) ложно, а, следовательно, его отрицание истинно. Присоединив предложение В к совокупности истинных посылок, используемых в процессе доказательства (среди которых находится и условие А), строят цепочку дедуктивных умозаключений до тех пор, пока не получится утверждение, противоречащее одной из посылок и, в частности, условию А. Как только такое противоречие устанавливают, процесс доказательства заканчивают и говорят, что полученное противоречие доказывает истинность теоремы «А=>В».

Индукция и дедукция

Прочное усвоение математических знаний невозможно без целенаправленного развития мышления. Развитие мышления – одна из основных задач современного школьного обучения.

Мышление есть активный процесс отражения объективного мира

всознании человека.

Сточки зрения формальной логики мышление характеризуется тремя основными формами: понятиями, суждениями, умозаключениями.

Формой связи понятий друг с другом является суждение. Мыслить – значит высказывать суждения. С помощью суждений мысль получает свое дальнейшее развитие.

34

МЕТОДЫНАУЧНОГОПОЗНАНИЯВОБУЧЕНИИМАТЕМАТИКЕ

Умозаключение– это процесс получения нового суждения – вывода из одного или нескольких данных суждений. Умозаключение отличается (как форма мышления) от понятия и суждения тем, что оно представляет собой логическую операцию над отдельными мыслями.

Различают два основных вида умозаключений: индукцию и дедукцию. Понятие об индукции впервые упоминается в трудах древнегреческого философа Сократа (469–399 г. до н. э.).

Индукция – умозаключение (вывод) от частного к общему, т. е. общий вывод, основанный на изучении свойств отдельных, частных фактов (частных экспериментов или наблюдений). Или иначе, индукция – это вывод общего заключения из частных посылок.

Например, построить графики конечного числа линейных уравнений с двумя переменными: 2х – у + 3 = 0, х + 2у + 4 = 0. Мы заключаем, что график уравнений вида ax + by + с = 0 – прямая линия.

Индукция бывает полной и неполной. Индукция называется полной или совершенной, если общий вывод делается на основании изучения (рассмотрения) всех частных фактов (объектов, фигур, чисел и т. д.).

Индукция называется неполной или несовершенной, если общий вывод делается на основании изучения только части множества всех фактов (объектов).

Например, если доказать теорему о вписанном в окружность угле, рассматривая при этом все частные случаи расположения центра окружности по отношению к сторонам угла, то полученный вывод будет представлять собой полную индукцию.

В процессе обучения неполная индукция применяется при изучении законов сложения (вряд ли у кого возникнет сомнение). И как мы уже отметили, вывод, основанный на неполной индукции, может быть ошибочным, но ее значение в том, что рассмотрение частных случаев наводит на мысль о существовании той или иной закономерности, помогает высказать гипотезу, которую можно доказать дедуктивным путем. Например, такой прием применяется в школе при изучении прогрессий.

Дедукция (лат. deductio – выведение) есть форма умозаключения, при которой от одного общего суждения идут к частному суждению.

Если индукция является важным эвристическим средством, то с помощью дедукции мы доказываем предложения, сформулированные как гипотезы (предположения) в результате индукции.

Существенным различием между индукцией и дедукцией является характер заключения. Заключение по индукции лишь правдоподобно, заключение же по дедукции достоверно.

35

КУЧУГУРОВА Н. Д. ИНТЕНСИВНЫЙ КУРС ОБЩЕЙ МЕТОДИКИ ПРЕПОДАВАНИЯ МАТЕМАТИКИ

Дедукция (логический вывод) носит формальный характер, состоящий в том, что в наших рассуждениях, доказательствах одни предложения выводятся из других в силу определенной связи между их формой, структурой, независимо от конкретного содержания этих предложений. Например, квадрат – ромб, ромб – параллелограмм, значит, квадрат – параллелограмм.

В настоящее время дедукцией, или дедуктивным методом доказательства, называется доказательство, основанное на системе определенных аксиом. И поэтому дедуктивный метод называется аксиоматическим методом. Дедукция является строгим, логически обоснованным методом доказательства в математике.

Как видим, дедукция и индукция тоже тесно связаны между собой. «Индукция и дедукция, – писал Энгельс, – связаны между собой столь же необходимым образом, как синтез и анализ. Вместо того, чтобы односторонне превозносить одну из них до небес за счет другой, надо стараться применять каждую на своем месте, а этого можно добиться лишь в том случае, если не упускать из виду их связь между собой, их взаимное дополнение друг друга».

Сравнение

Сравнение – мысленное установление сходства или различия объектов изучения. «Все познается в сравнении».

Используя метод сравнения, необходимо иметь в виду следующие принципы сравнения.

1.Сравнивать можно только такие объекты, которые имеют определенную связь друг с другом, т. е. сравнение должно иметь смысл.

2.Сравнение должно проходить планомерно, т. е. требуется четкое выделение тех свойств, по которым проводится сравнение (по периметру, по площади, по объему и т. п.).

3.Сравнение по одним и тем же свойствам материальных объектов

должно быть полным, доведенным до конца.

К. Д. Ушинский считал, «что в дидактике сравнение должно быть основным приемом». Сравнение очень полезно и при решении задач.

Аналогия

Аналогия (гр. analogia – соответствие, сходство) – умозаключение по сходству частных свойств (признаков), имеющихся у двух математических понятий (фигур, отношений и т. д.).

Аналогия широко используется в преподавании математики благодаря своей наглядности и доступности.

36

МЕТОДЫНАУЧНОГОПОЗНАНИЯВОБУЧЕНИИМАТЕМАТИКЕ

Например:

1)при изучении десятичных дробей аналогия с натуральными числами;

2)свойства алгебраических дробей аналогичны свойствам обыкновенных дробей;

3)методы решения задач на составление уравнений первой степени аналогичны методам решения задач на составление уравнений второй степени;

4)свойства арифметической и геометрической прогрессий;

5)свойства планиметрии и стереометрии.

Заключение по аналогии можно представить так: А имеет признаки a, b, c, d;

B имеет признаки a1, b1, c1; свойства a1, b1, c1 аналогичны a, b, c. Тогда B имеет признак d.

Но это заключение не является строгим, поэтому необходимо предостеречь учащихся от возможных ошибок.

Аналогия «полезная» и «вредная». Ошибки:

Значит, аналогия, как и индукция, может привести к ложным выводам.

Обобщение и абстрагирование

Обобщение и абстрагирование – два логических приема, применяемые почти всегда совместно в процессе познания.

Обобщение – это мысленное выделение, фиксирование каких-ни- будь общих существенных свойств, принадлежащих только данному классу объектов или отношений.

Абстрагирование – это мысленное отвлечение общих существенных свойств, выделенных в результате обобщения, от прочих несущественных для нашего изучения свойств рассматриваемых объектов или отношений и отбрасывание (в рамках нашего изучения) этих несущественных свойств.

37

КУЧУГУРОВА Н. Д. ИНТЕНСИВНЫЙ КУРС ОБЩЕЙ МЕТОДИКИ ПРЕПОДАВАНИЯ МАТЕМАТИКИ

Например, в начальных классах обобщение и абстрагирование при изучении переместительного закона сложения:

2 + 3 = 3 + 2 (для ручек); 1 + 5 = 5 + 1 (для тетрадей и т. п.);

далее отвлекаемся 4 + 7 = 7 + 4 (просто для чисел) …+…=…+…; ○+ □= □+ ○;

a + b = b + a; или x + y = y + x – получаем закон.

Или при изучении формулы общего члена арифметической прогрессии:

a2 = a1 + d

a3 = a2 + d = a1 + 2d…

an = a1 + d(n – 1) и далее y = kx + b, где x א N – как функция натурального аргумента.

Или при умножении натуральных чисел 3 × 6 = 18 произведение можно понимать как стоимость трех тетрадей или путь, пройденный за 3 часа и т. д.

Конкретизация

Процессуабстрагированияпротивоположенпроцессконкретизации. Конкретизация – это мыслительная деятельность, при которой односторонне фиксируется та или иная сторона объекта изучения вне

связи с другими его сторонами.

Конкретизация может выступать и как наглядная иллюстрация, и как подтверждение какого-либо абстрактного положения, и как приложение некоторого свойства в конкретных условиях.

его нетрудно. И сразу видно решение.

Моделирование

Атеперьпопытаемсясвязатьэтузадачусмоделью. Вырежемизкартона модели треугольников и приложим их, как показано на рисунке.

38

МЕТОДЫНАУЧНОГОПОЗНАНИЯВОБУЧЕНИИМАТЕМАТИКЕ

Полученная модель подсказывает способ решения. Это и есть моделирование. В чем состоит отличие поиска решения задачи в первом и во втором случаях?

Моделирование – это использование различных моделей в процессе преподавания математики.

Классификация

Классификация – это разделение (разбиение) множества объектов, составляющих объем родового понятия, на виды (или просто – разбиение множества на классы).

Правильная классификация предполагает соблюдение определенных условий:

1.Классификация должна проводиться по определенному признаку, остающемуся неизменным в процессе классификации.

2.Понятия, получающиесявпроцессеклассификации, должныбыть взаимно независимыми.

3.Сумма объемов понятий, получающихся при классификации, должна равняться объему исходного понятия.

4.В процессе классификации необходимо переходить к ближайшему в данном родовом понятии виду.

Эмпирические методы познания

К ним относятся наблюдение, описание, измерение и эксперимент. Наиболее часто эти методы применяются в естественных дисциплинах. Для математики они не являются характерными, но мы знаем, что эмпирические методы сыграли неоценимую роль в зарождении математических знаний, становлении математики как самостоятельной теоретической дисциплины.

ИспользованиесредствнаглядностииТСО, какправило, предполагает применение различных эмпирических методов. Часто имеет место одновременное использование наблюдения, описания, измерения и эксперимента. Это помогает избежать пассивной созерцательности, активизирует учащихся.

Наблюдение – это метод изучения, фиксирования свойств и отношений отдельных объектов и явлений окружающего мира, рассматриваемых в их естественных условиях и в той естественной связи признаков объекта, в какой они существуют в самом объекте. Наблюдение надо отличать от восприятия.

39

КУЧУГУРОВА Н. Д. ИНТЕНСИВНЫЙ КУРС ОБЩЕЙ МЕТОДИКИ ПРЕПОДАВАНИЯ МАТЕМАТИКИ

Опыт (или эксперимент) – это такой метод изучения объектов и явлений, посредством которого мы вмешиваемся в их естественное состояниеиразвитие, создаваядлянихискусственныеусловия, искусственноихрасчленяяначастиисоединяясдругимиобъектамииявлениями. Всякий эксперимент связан с наблюдением.

Описание – перечисление ряда заслуживающих внимания признаков единичных предметов.

Измерить величину – это значит сравнить ее с другой, однородной ей величиной, принятой за единицу измерения.

1.Выбираем единицу измерения.

2.Осуществляем процесс измерения – сравнение.

Математические методы познания

Однимизнаиболееуниверсальныхматематическихметодовпознания является метод математических моделей (математическое моделирование).

Математическая модель – это описание какого-либо класса явлений реального мира на языке математики.

Метод моделирования дает возможность применять математический аппарат к решению практических задач. Понятия числа, геометрической фигуры, уравнения, неравенства, функции, производной являются примерами математических моделей.

Впроцессематематическогомоделированияширокоиспользуютсяабстракции, отождествления(обобщения), осуществимости, идеализация.

Аксиоматическийметодтакжеотноситсякчислунаиболеехарактерных методов математики. Ознакомлению учащихся с аксиоматическим методом помогает методическая схема.

1.Составить набор математических утверждений. Они пока не связаны друг с другом, поэтому надо логически организовать имеющийся математический материал.

2.Найти исходные утверждения, на основе которых могут быть доказаны остальные.

3.Провестидоказательстваутверждений, неотнесенныхкчислуисходных.

4.Сформулировать аксиомы, определения, теоремы.

ЗАДАНИЯ

1.Часто анализ применяется для выяснения логического строения теорем, особенно сложных. Он помогает более осмысленному восприя-

40