Интенсивный курс общей методики преподавания математики. Учебное пособие

ВНЕКЛАССНАЯРАБОТАПОМАТЕМАТИКЕ

2)побуждение учащихся к вступлению в ряды «любителей» математики;

3)организация досуга учащихся в свободное от учебы время. Внеклассные занятия по математике могут быть построены как на

материале, лишь косвенно связанном со школьной программой, так

ина материале, непосредственно примыкающем к работе в классе, но не дублирующем эту работу в рамках общеобязательного минимума.

Реализация перечисленных целей частично осуществляется на уроках. Однако в процессе классных занятий, ограниченных рамками учебного времени и программой, это не удается сделать с достаточной полнотой. Поэтому окончательная и полная реализация этих целей переносится на внеклассные занятия этого вида.

Между учебной и воспитательной работой, проводимой на уроках,

ивнекласснойработойсуществуеттесная взаимосвязь: учебныезанятия, развиваяуучащихсяинтерескзнаниям, содействуютразвертываниювнеклассной работы, и наоборот внеклассные занятия, позволяющие углублять эти знания, повышают успеваемость учащихся и их интерес к учению. Однаковнекласснаяработанедолжнадублироватьучебнуюработу вклассе, иначеонапревратитсявобычныедополнительныезанятия.

Говоря о содержании внеклассной работы с учащимися, интересующимися математикой, отметим следующее.

Традиционная тематика внеклассных занятий ограничивалась обычно рассмотрением таких вопросов, которые хотя и выходили за рамки официальной программы, но имели много точек соприкосновения с рассматриваемыми в ней вопросами. Например, при изучении в V классе признаков делимости натуральных чисел на занятиях математического кружка рассматривались признаки делимости чисел, не предусмотренные программой (признак делимости на 7, на 11 и т. д.).

Также традиционными для рассмотрения на внеклассных занятиях по математике были исторические экскурсы по той или иной теме, математические софизмы, задачи повышенной трудности.

За последние десятилетия в математике возникли новые направления, имеющие не только большое практическое значение, но

ипредставляющие большой познавательный интерес. Обновление содержания основного курса математики привело к возникновению тенденций обновления содержания внеклассных занятий по математике, однако это не означает, что следует полностью отказаться от тех или иных традиционных вопросов, которые составляли до сих пор содержание внеклассных занятий и вызывают у учащихся

91

КУЧУГУРОВА Н. Д. ИНТЕНСИВНЫЙ КУРС ОБЩЕЙ МЕТОДИКИ ПРЕПОДАВАНИЯ МАТЕМАТИКИ

неизменный интерес (например, функции и графики, математические парадоксы и софизмы, неопределенные уравнения, логические и исторические задачи и т. д.).

Можно рекомендовать следующие формы проведения внеклассной работы: математическиекружки; математическиеконкурсы, викторины и олимпиады; математические вечера; математические экскурсии; внеклассное чтение математической литературы, математические рефераты и сочинения; школьная математическая печать.

Раскроем содержание этих форм внеклассной работы.

Математические кружки

Математические кружки организуются для детей, проявляющих повышенный интерес к математике. Их целью является углубление знаний, полученных на уроке, развитие мышления, интуиции, навыков решения задач.

Решение задач должно составлять основное содержание кружкового занятия. Задачи, подбираемые с этой целью, должны быть в большинстве своем нестандартными, требующими не запоминания какогото алгоритма, а умения самостоятельно «открывать» способ решения.

Полезно привлекать также задачи, позволяющие познакомить учащихся с новыми для них методами решения задач школьного курса.

На кружковых занятиях может рассматриваться и теория. Обычно это вопросы, тесно примыкающие к обязательному курсу и дающие возможность более широкого взгляда на рассматриваемые в ней проблемы.

Например, в V–VII классах большой интерес может вызвать знакомство с различными системами счисления. Дети охотно учатся записывать числа в недесятичных системах счисления: двоичной, пятеричной, двенадцатеричной, шестнадцатеричной, переходить от одной из этих систем к другой, выполнять в них арифметические операции.

Для кружкового занятия подбираются также интересный материал из истории математики, занимательные задачи, математические развлечения. Однако основным содержанием занятия должно быть, как уже отмечалось, решение достаточно серьезных математических задач.

Организационные формы и структура могут быть, вообще говоря, различными. Наиболее распространенной формой работы кружка является так называемое теоретическое занятие, которое состоит в последовательном рассмотрении серии задач, подобранных учителем

92

ВНЕКЛАССНАЯРАБОТАПОМАТЕМАТИКЕ

заранее и раскрывающих определенную тему. Тематическое занятие входит как составная часть в большинство кружковых занятий, особенно в VII–XI классах.

Другой распространенной формой работы, используемой на кружковых занятиях, является «десятиминутка». Это небольшое сообщение или серия сообщений из истории математики, из жизни ученых, внесших серьезный вклад в ее развитие, краткий обзор новинок литературы и т. д. Эти сообщения делает учитель или учащиеся, которых учитель заранее тщательно подготовил. «Десятиминутка» проводится после основной части занятия и не должна требовать большого напряжения от слушателей.

В конце занятия проводятся викторины, игры, фокусы, рассматриваются софизмы. В проведении этой части занятия могут участвовать члены кружка.

Организуя занятия математического кружка, следует помнить, что они проводятся обычно после уроков, после напряженного рабочего дня. Участие в кружке – тоже серьезный умственный труд. Чтобы кружок не распался, нужно тщательно продумывать и содержание, и форму занятий. К занятию следует подбирать яркий, интересный материал, широко использовать проблемные ситуации и при изложении теории, и при решении задач. ВV–VII классах достаточно широко должны использоваться игровые формы занятия.

Математические олимпиады

На олимпиадах учащиеся показывают умение разбираться в различных математических вопросах, проверяют свой уровень математической подготовки. Олимпиады способствуют повышению интереса к предмету и воспитанию высокой культуры математического мышления.

Важное значение имеет подбор задач. Они должны быть основаны на использовании материала школьной программы, потому что в I туре может участвовать любой проявивший желание школьник. Одной из особенностей математической олимпиады является то, что здесь элемент творчества присутствует во всех формах математического мышления, таким образом, математические олимпиады способствуют развитию таких ценных качеств личности, как настойчивость

ицелеустремленность, самостоятельность и трудолюбие, вырабатывают навыки научно-исследовательского характера, помогают выявить

иотобрать талантливых учащихся.

93

КУЧУГУРОВА Н. Д. ИНТЕНСИВНЫЙ КУРС ОБЩЕЙ МЕТОДИКИ ПРЕПОДАВАНИЯ МАТЕМАТИКИ

Математическая олимпиада приносит пользу лишь тогда, когда она является заключительным этапом целого комплекса внеклассной работы. Если же олимпиаде не предшествует развернутая деятельность, то она может скорее принести вред, а не пользу, оттолкнет учащихся, а не привлечет к ней.

После каждого тура олимпиады следует вывесить в школе текст задач, чтобы все школьники могли с ними ознакомиться.

Жюри олимпиады проверяет работу участников и присуждает победителям II тура премии и грамоты, а также отмечает учащихся, которые прошли III тур.

Школьная математическая печать

В практике встречаются разные формы математической печати: стенгазета, радиогазета, историко-математический календарь, математический словарь.

Выпуск математической газеты требует определенной «математической активности» трех групп учащихся:

1)редакционной коллегии;

2)группы корреспондентов, постоянно и эпизодически участвующих в выпуске;

3)наиболее многочисленной группы читателей.

Основными целями организации и выпуска школьной математической газеты являются:

1)освещение математической жизни школы;

2)пробуждение у учащихся глубокого интереса к математике;

3)привитие навыков к работе с научно-популярной и занимательной литературой по математике;

4)расширение математического кругозора;

5)привлечение широких масс учащихся к активному решению задач. Рекомендуется материал в газете располагать примерно в таком по-

рядке: 1) научно-популярный раздел; 2) раздел школьной математики; 3) критико-библиографический раздел; 4) школьная жизнь и информация; 5) задачи и развлечения; 6) викторины.

Полезно выпускать тематические газеты, посвященные истории развития математики у какого-нибудь народа (китайцев, индийцев, греков, узбеков); жизни и деятельности выдающихся математиков; определенному разделу или области математики (уравнениям, логарифмам, системам счисления, алгебре, геометрии); значению математики в жизни человека и др.

94

ВНЕКЛАССНАЯРАБОТАПОМАТЕМАТИКЕ

Незачем помещать в газету большую передовую статью. Предпочтения заслуживают мелкие заметки в 8–15 строк.

Вкаждомномередолжнобытьнеменее2–3 фотографийилирисунков.

Математические викторины

Математические викторины относятся к интересной, увлекательной и массовой форме внеклассной работы, имеющей немаловажное значение в учебно-воспитательной работе школы. Они могут проводитьсякаксамостоятельноемероприятиеикакформасоставнойчасти математического вечера.

Тематика вопросов может быть следующая.

1.Выдающиеся русские математики и их вклад в развитие науки.

2.Биографии русских ученых-математиков и т. п.

Вопросы можно задавать устно или писать на плакате, можно предлагать в виде кроссвордов и т. д. Также целесообразно применять материал, помещенный в математических газетах.

Разнообразие заданий поддерживает интерес. Победители поощряются. Их достижения отмечают в школьной стенгазете и специальных бюллетенях.

Математические игры

Игры являются одним из важных средств воспитания учащихся, имеющих большие педагогические и образовательные возможности. При умелой организации математические игры способствуют расширению кругозора, закреплению школьных знаний, полученных на уроке математики. Степень воспитательной и образовательной полезности дидактическойигрызависитотметодикиикачестваееорганизации. Задания для игры должны быть составлены так, чтобы они способствовали развитию воображения, фантазии, изобретательности и творчества. Математические игры помогают развитию навыка исследовательской работы. Полезны для этой цели задачи, которые имеют не один путь решения, а несколько, а также задачи на установление полных данных и на определение дополнительных условий для их решения.

Задачи-игры эффективны для развития разговорной математической культуры и четкого понимания того, что значит решить задачу.

Сдругими формами внеклассной работы можно ознакомиться

вметодической, учебной и научно-популярной литературе.

Задание: Составьте опорный конспект и опорный сигнал по теме «Внеклассная работа по математике».

МЕТОДИКА ИЗУЧЕНИЯ ТЕОРЕМ

План

1.Цели изучения геометрии.

2.Роль аксиом в построении школьного курса геометрии.

3.Методика изучения теорем.

Цели изучения геометрии

Одна из главных задач обучения геометрии состоит в усвоении уча-

щимися ее теоретических основ и овладении навыками применения их на практике. Не менее важна и задача развития логического мыш-

ления учащихся, способности к доказательным, аргументированным рассуждениям, последовательному, точному и ясному выражению мыслей. При изучении школьного курса геометрии решается и целый ряд других задач обучения: развитие пространственного представления и воображения учащихся, геометрического «видения» окружающего мира и т. д.

Актуальными для школьного курса геометрии являются задачи повышения научной ценности содержания этого курса, доступности учебного материала, усиления роли содержательных геометрических задач, устранения перегрузки учащихся и др. Авторы учебников поразному расставляют акценты при формулировании целей обучения геометрии, выделяют ведущие цели.

Роль аксиом в построении школьного курса геометрии Одна из целей включения аксиом в школьный учебник – сформиро-

вать базу для построения доказательств. Удачно подобранная система аксиом призвана обеспечить рациональное и простое построение всего курса. На наш взгляд, аксиомы должны быть ориентированы как на изложение традиционно-синтетической, так и аналитической частей учебного курса.

Необходимоиметьввиду, чтовкачествеаксиомобычновыбираются уже известные из пропедевтического курса факты или факты, близкие к наглядным представлениям учащихся, их жизненному опыту. При этом новым для учащихся является главным образом не содержание аксиом, а предельно точный математический язык, на котором они формулируются. Приведение аксиом в начале курса означает систематизацию ранее известных знаний и дополнение их новыми знаниями.

96

МЕТОДИКАИЗУЧЕНИЯТЕОРЕМ

В начале курса происходит активное усвоение учащимися математической терминологии, необходимой для изучения всего курса.

Дидактические формы приведения аксиом в учебнике могут быть различными. Не следует стремиться к формальному стилю их изложения. Пример неформального введения аксиом дает учебник геометрии А. П. Киселева. В этом учебнике в начале курса приводится немало аксиом, но явно выделяются и нумеруются только те из них, которые систематически используются в дальнейшем изложении.

Методика изучения теорем

Методика изучения теорем широко рассматривается в методической литературе. При разработке методики необходимо первоначально уточнить цель данного урока, а затем описать подробно методику изучения указанной теоремы. Можно воспользоваться следующим планом.

1.Подведение к теореме. Здесь следует предложить вопросы, задачи или какие-то задания, которые позволят учащимся осознать

необходимость изучения данной теоремы, а также помогут ее сформулировать.

Привведениитеорем, какипривведениипонятий, используютсядва метода: конкретно-индуктивный и абстрактно-дедуктивный (эти методы широко применяются и лежат в основе методических схем изучения многихтеорем). Впервомслучаетеоремавготовомвиденесообщается, проводится специальная работа по «подведению» учащихся к теореме, обнаружению соответствующей математической закономерности. Итогом этой работы является формулирование изучаемой теоремы.

Абстрактно-дедуктивный метод введения теоремы начинается с того, что учитель сам формулирует эту теорему, а затем проводится работа по уточнению смысла данной теоремы, ее условия и заключения и т. д.

2.Формулировка теоремы, ее анализ. В школьном курсе математи-

ки формулируются и доказываются теоремы, имеющие различный вид: в одних теоремах из одного условия вытекает одно заключение, в других – из одного условия вытекает несколько заключений, втретьих– изнесколькихусловийвытекаетоднозаключениеит. д. Но в любом случае теорема состоит из трех частей:

а) разъяснительная часть, в которой описывается множество М объектов, о которых идет речь в этой теореме;

б) условие теоремы, т. е. некоторый предикат А(х), заданный на множестве М;

97

КУЧУГУРОВА Н. Д. ИНТЕНСИВНЫЙ КУРС ОБЩЕЙ МЕТОДИКИ ПРЕПОДАВАНИЯ МАТЕМАТИКИ

в) заключениетеоремы– некоторыйпредикат, заданныйнатомже множествеМ. Всимволахматематическойлогикитеоремаможет бытьзаписанаследующимобразом: (xМ) (А(х) => В(х)).

Нужно выделить все эти части в рассматриваемой теореме и сформулировать ее в виде «Если ..., то ...» (в случае, если она сформулирована в другом виде). Установить, какое дано утверждение – простое или сложное. Если теорема имеет сложное строение, то разбить ее на простые теоремы и сформулировать каждую в указанном виде.

3.Чертеж (рисунок), краткая запись теоремы. Сделать чертеж к теореме и записать, что дано и что требуется доказать.

4.Идея и план доказательства. Здесь необходимо указать метод доказательства теоремы (например, метод доказательства от противного) или основную, главную мысль (теорема, свойство), на которой основано доказательство теоремы. Далее записать план доказательства теоремы (можно дать его в таблице).

5.Осуществление плана. По данному выше плану провести доказательство теоремы.

Доказательством называют конечную последовательность предложений данной теории, каждое из которых либо является аксиомой, либо выводится из одного или нескольких предыдущих предложений этой последовательности по правилам логического вывода. После этого теорема определяется как предложение, которое является последним в каком-либо доказательстве. С любой теоремой связаны еще три теоремы: прямая, обратная, противоположная и обратная к противоположной (повторить). Структура доказательства как логическая конструкция состоит из таких компонентов: тезис, аргументы, демонстрация.

Тезис – доказываемое утверждение.

Аргументы (основания доказательства) – используемые в доказательстве уже известные утверждения, из которых необходимо следует истинность доказываемого тезиса.

Демонстрация – последовательность расположения аргументов и выводов, образующих цепь умозаключений.

Умозаключение – рассуждение, в ходе которого из одного или нескольких суждений (называемых посылками умозаключения), выводится новое суждение (называемое заключением или следствием), логически вытекающее из посылок.

Итак, каждое доказательство можно представить в виде цепочки рассуждений или конечной последовательности предложений. Различают два вида доказательств: прямое и косвенное. Прямые

98

МЕТОДИКАИЗУЧЕНИЯТЕОРЕМ

доказательства, в свою очередь, делятся на синтетические и аналитические. Методические особенности этих доказательств раз-

личны. Исходным моментом синтетического доказательства

является условие теоремы. На основе предыдущих предложений и законов логики условие теоремы постепенно преобразуют до тех пор, пока не приходят к заключению. К достоинствам синтетического метода относятся: исчерпывающая полнота, сжатость, краткость (обычно он применяется при изложении уже разработанных математических теорий, известных доказательств или доказательств, отыскание которых не вызывает у учащихся затруднения). Синтетический метод в методическом отношении имеет и свои недостатки. Остается неясным, как можно обнаружить такое доказательство, почему в рассуждениях поступают так, а не иначе; дополнительные построения никак не аргументируются; учащиеся, слушая или читая доказательство, воспринимают его пассивно, соглашаются с истинностью каждого умозаключения и не представляют, в каком направлении должны протекать дальнейшие рассуждения. Этот способ мало способствует самостоятельному открытию доказательства; идея, план рассуждений остаются скрытыми от учащихся.

Компенсировать отмеченные недостатки синтетического метода помогают следующие методические приемы.

1.Прием формулирования общего замысла (идеи) доказательства (о чем говорилось выше).

2.Прием мотивировки дополнительных построений.

3.Прием приведения плана доказательства.

4.Прием проведения доказательства с опорой на краткую его запись.

5.Прием составления блок-схемы доказательства.

6.Прием составления таблицы с двумя параллельными колон-

ками: «Утверждение» и «На основании» (или «Обоснование») и т. д.

При аналитическом методе доказательства мысль движется от заключения теоремы к ее условию. Разновидностями аналитического метода являются восходящий и нисходящий анализы (повторить).

К косвенным доказательствам относятся:

а) «метод от противного» (истинность доказываемого тезиса устанавливается посредством опровержения противоречащего ему суждения);

99

КУЧУГУРОВА Н. Д. ИНТЕНСИВНЫЙ КУРС ОБЩЕЙ МЕТОДИКИ ПРЕПОДАВАНИЯ МАТЕМАТИКИ

б) разделительный метод (тезис рассматривается как один из возможных вариантов предположений, когда все предположения отвергаются, кроме одного).

6.Закрепление доказательства теоремы.

7.Применение теоремы.

Примеры смотрите в методической литературе.

ЗАДАНИЯ

1.Разработайте методику изучения признаков равенства треугольников. Обратите внимание на использование аналогии при доказательствах и решении задач по этой теме. Составьте практические задачи на применение признаков равенства треугольников.

2.Рассмотритеспособыоформлениядоказательствгеометрическихтеорем и проиллюстрируйте примерами наиболее рациональные из них, составьте таблицы, карточки и т. п.

3.Выберите одну из теорем школьного курса планиметрии. Проанализируйте ее доказательство. Выделите систему используемых при этом

понятий и суждений, отметьте факты, которые принимаются без обоснования.

Составьте упражнения, подводящие к идее доказательства. Сформулируйте теорему, обратную данной. Продумайте организацию самостоятельной работы учащихся при изучении обратной теоремы.

4.Составьте алгоритм пошагового контроля за усвоением доказательства теоремы «Сумма углов треугольника». Продумайте контрольные действия для каждого шага и предложите соответствующие средства контроля.

5.Составьте карточку-задание с пропусками для контроля усвоения доказательства теоремы на этапе закрепления (по курсу геометрии VII класса).

6.Составьте (или найдите в методической литературе) текст математического диктанта по теме «Смежные углы». Продумайте методику проверки результатов диктанта сразу после его написания.

7.Составьте карточки с пропусками для контроля усвоения доказательства теоремы «Третий признак равенства треугольников» с учетом того, что вы работаете:

▪в классе выравнивания;

▪в «обычном» классе;

▪в математическом классе.

100