Интенсивный курс общей методики преподавания математики. Учебное пособие

МЕТОДЫНАУЧНОГОПОЗНАНИЯВОБУЧЕНИИМАТЕМАТИКЕ

тию теорем, их запоминанию и воспроизведению. Приведите примеры анализа 2–3 теорем (на ваш выбор).

2.Как применяется анализ при доказательстве теорем? Покажите на примере доказательства третьего признака равенства треугольников.

3.Покажите на примере задачи дляV–VI классов применение аналитикосинтетического метода. Составьте аналитико-синтетическую схему.

4.Приведите примеры применений неполной индукции в обучении.

Вчем ее недостатки?

5.Приведите примеры применения полной индукции: а) в арифметике; б) в алгебре; в) в геометрии.

6.Приведите примеры на доказательство «методом от противного». Докажите, что 2 – иррациональное число.

7.Приведите конкретные примеры применения сравнения в обучении математике.

8.Из школьного курса математики приведите примеры дедуктивных умозаключений.

9.Составьте несколько задач, формирующих умение выделить аналогичные элементы фигур и зависимости.

10.Из школьного курса математики приведите примеры использования метода аналогии при доказательстве теорем, при определении понятий, при изучении свойств фигур.

11.Приведите примеры заданий для учащихся, формирующие умения: а) наблюдать на уроке; б) анализировать; в) обобщать.

Какое условие, на ваш взгляд, является непременным при формировании умения наблюдать?

Вслучае затруднений обратитесь к литературе [17].

Вопросы для самоконтроля

1.Перечислите: а) логические методы познания, б) эмпирические методы познания, в) математические методы познания.

2.Что такое анализ, синтез?

3.Какие формы анализа вы знаете?

4.Какой вопрос является ведущим при анализе, синтезе?

5.В чем состоит сущность аналитического метода рассуждений, синтетического метода?

6.В чем заключается сущность метода восходящего анализа? Укажите достоинства и недостатки этого метода.

7.С какой целью применяется несовершенный анализ? В чем его суть? Каковы достоинства и недостатки несовершенного анализа?

8.Что такое индукция, дедукция? Какие виды индукции вы знаете?

41

КУЧУГУРОВА Н. Д. ИНТЕНСИВНЫЙ КУРС ОБЩЕЙ МЕТОДИКИ ПРЕПОДАВАНИЯ МАТЕМАТИКИ

9.Вчемсостоитсущественноеразличиемеждуиндукциейидедукцией?

10.Что такое сравнение? Назовите принципы сравнения.

11.Раскройте сущность аналогии и ее значение в математике.

12.Разъясните смысл понятий «обобщение» и «абстрагирование».

13.Что такое конкретизация?

14.В чем состоит метод моделирования?

15.Дайте определение классификации. Назовите условия правильной классификации.

16.Какие методы познания относятся к эмпирическим? Поясните их смысл.

17.Что такое математическая модель? В чем сущность математического моделирования?

18.Раскройте суть аксиоматического метода.

Методические рекомендации

Эта тема является наиболее трудной в логическом плане, поэтому необходимо тщательно разобраться во всех ее связях. Надо изучить сутькаждогометоданаучногопознанияипривестипримерыизшкольного курса математики, раскрывающие особенности его применения. Особое внимание обратить на разновидности анализа и его роль в познании математики.

1. Анализ восходящий и нисходящий.

Восходящий анализ (анализ Паппа). При доказательстве методом восходящего анализа отталкиваются от заключения теоремы и подбирают для него достаточные условия. Доказательство методом восходящего анализа направляется вопросами: «Что требуется доказать?» и «Что для этого достаточно знать?».

Нисходящий анализ (анализ Евклида). При нисходящем анализе рассуждения также начинают с заключения теоремы, однако подбирают уже не достаточные, а необходимые условия. Выведение необходимых условий продолжают до тех пор, пока не придут к очевидному следствию, представляющему собой или условие теоремы, или ранее изученное предложение. Например, дана теорема: А => В. Допускаем, что В – верно и из него выводится следствие B1, из B1 – следствие В2 и т. д. Цель этой цепочки рассуждений чисто методическая, т. е. нахождение доказательства, которое мы получим, если сможем провести рассуждение в обратном порядке.

42

МЕТОДИКА ОБУЧЕНИЯ УЧАЩИХСЯ РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ

План

1.Определение задачи.

2.Функции задач в обучении.

3.Классификация задач.

4.Методы решения задач.

5.Обучение поиску решения задач.

Определение задачи

Задача– этовопрос, требующийрешениянаоснованииопределенных знаний и размышления.

Процесс решения задачи представляет собой поиск выхода из затруднения или пути обхода препятствия – это процесс достижения цели, которая первоначально не кажется сразу доступной.

Задача предполагает необходимость сознательного поиска соответствующего средства для достижения ясно видимой, но непосредственно недоступной цели (36, с. 143).

Найти решение задачи – это значит установить связь между заранее дифференцированными объектами или идеями (объектами, которыеунасимеются, иобъектами, которыенамтребуетсяотыскать, данными и неизвестным, предпосылкой и заключением) (там же, с. 278).

Функции задач в обучении

Выделяются задачи с дидактическими, познавательными и разви-

вающими функциями. Задачи с дидактическими функциями (вводные,

тренировочные) предназначаются преимущественно для облегчения введения или закрепления изучаемых теоретических сведений. Это задачинанепосредственноеприменениеизучаемойтеории, закрепление основных понятий и фактов. Задачи с познавательными функциями

(теоретические, практические) содержатновуюдляучащихсяучебную информацию. Они ориентированы на более глубокое усвоение основного материала школьного курса, в процессе их решения учащиеся знакомятся с новыми в познавательном отношении теоретическими сведениями: новыми понятиями, фактами, методами решения задач.

43

КУЧУГУРОВА Н. Д. ИНТЕНСИВНЫЙ КУРС ОБЩЕЙ МЕТОДИКИ ПРЕПОДАВАНИЯ МАТЕМАТИКИ

К задачам с развивающими функциями относятся задачи, содержание которых несколько отходит от основного курса, посильно осложняет вопросы программы. Это задачи на сообразительность, развитие числовой и геометрической интуиции, пространственного представления и воображения, логического мышления. Часто одна и та же задача выполняет в обучении несколько функций одновременно.

Задачи являются и предметом, и средством обучения. Они спо-

собствуют достижению всех целей обучения: воспитательных, образовательных, развивающих. Возможны различные подходы к опреде-

лению последовательности в изучении теоретического материала и решении задач: а) изучается небольшой блок теоретического материала, затем решаются задачи, связанные с ним (традиционный подход); б) ведется «опережающее» изучение теоретического материала, после изучения крупного блока теории решаются задачи сразу по всему материалу этого блока; в) ведется «опережающее» решение задач (теоретический материал темы рассматривается вначале на ознакомительном уровне, теоремы пока не доказываются; после ознакомления с формулировками определений и теорем сразу переходят к решению задач; по мере приобретения навыков решения задач обращаются к изучению доказательств теорем теоретической части курса, причем многие из этих доказательств проводятся учащимися самостоятельно). Опыт учителей-новаторов показывает, что «крупноблочное» изучение теоретического материала позволяет решить проблему дефицита учебного времени, интенсифицировать учебный процесс, не перегружая учащихся.

Классификация задач

Сначала необходимо определить тот признак, по которому будем классифицировать.

По содержанию задачи делятся на практические (задачи с практическим содержанием) и математические. При решении практических задач используется метод математического моделирования, его суть в следующем: а) переводим реальную ситуацию на математический язык и строим математическую модель; б) работаем внутри математической модели и получаем результат; в) переводим обратно на реальный язык или интерпретируем результат. При решении математической задачи используется только второй этап.

По требованию выделяют задачи на доказательство, на построение и на вычисление.

44

МЕТОДИКАОБУЧЕНИЯУЧАЩИХСЯРЕШЕНИЮЗАДАЧ

По характеру мыслительной деятельности различают стандар-

тные и нестандартные задачи. К стандартным относятся задачи,

которые имеют определенный алгоритм решения (алгоритмически разрешимые задачи). Задачи, не имеющие общего алгоритма решения, называются нестандартными. Нестандартные задачи имеют отчетливо выраженную развивающую функцию. Функции решаемой стандартной задачи зависят от того, какими теоретическими знаниями обладают учащиеся к моменту ее решения. Если учащимся известен алгоритм решения этой задачи, то ее можно считать шаблонной. Если к моменту решения стандартной задачи общий метод ее решения не известен, тотакаязадачаявляется нешаблонной(при еерешениинеобходимо обнаружить общий метод решения или применить какой-либо искусственный прием). Нестандартные и нешаблонные задачи (вследствие общности их функции в обучении) можно объединить в одну группу – группу творческих задач.

По целям применения задач в учебном процессе выделяют зада-

чи подготовительные, задачи на закрепление, на приобретение новых знаний, на развитие мышления.

Методы решения задач

Существуют различные методы решения текстовых задач: арифметический, алгебраический, геометрический, логический, практический и др. В основе каждого метода лежат различные виды математических моделей. Например, при алгебраическом методе решения задачи составляются уравнения или неравенства, при геометрическом – строятся диаграммы или графики. Решение задачи логическим методом начинается с составления алгоритма.

Следует иметь в виду, что практически каждая задача в рамках выбранного метода допускает решение с помощью различных моделей. Так, используя алгебраический метод, ответ на требование одной и той же задачи можно получить, составив и решив совершенно разные уравнения, используя логический метод – построив разные алгоритмы. Ясно, что и в этих случаях мы также имеем дело с различными методами решения конкретной задачи, которые (с целью избежать разночтения и неоднозначность трактовки термина «метод решения») будем называть способами решения.

Иногда для краткости изложения вместо того чтобы говорить, что задача решена определенным способом в рамках, например, арифметического метода, будем говорить, что «задача решена арифметиче-

45

КУЧУГУРОВА Н. Д. ИНТЕНСИВНЫЙ КУРС ОБЩЕЙ МЕТОДИКИ ПРЕПОДАВАНИЯ МАТЕМАТИКИ

ским способом» или «задача решена арифметическим методом», а то и просто – «задача решена арифметически».

Арифметический метод. Решить задачу арифметическим методом – значит найти ответ на требование задачи посредством выполнения арифметических действий над числами. Одну и ту же задачу во многих случаях можно решить различными арифметическими способами. Задача считается решенной различными способами, если ее решения отличаются связями между данными и искомыми, положенными в основу решений, или последовательностью использования этих связей [16, с. 14]

Например. Поют в хоре и занимаются танцами 82 студента, занимаются танцами и художественной гимнастикой 32 студента, а поют

вхоре и занимаются художественной гимнастикой 78 студентов. Сколько студентов поют в хоре, занимаются танцами и художественной гимнастикой отдельно, если известно, что каждый студент занимается только чем-то одним?

Решение.

1-й способ.

1)82 + 32 + 78 = 192 (чел.) – удвоенное число студентов, поющих

вхоре, занимающихся танцами и художественной гимнастикой;

2) 192 : 2 = 96 (чел.) – поют в хоре, занимаются танцами

ихудожественной гимнастикой;

3)96 – 32 = 64 (чел.) – поют в хоре;

4)96 – 78 = 18 (чел.) – занимаются танцами;

5)96 – 82 = 14 (чел.) – занимаются художественной гимнастикой. 2-й способ.

1)82 – 32 = 50 (чел.) – на столько больше студентов поют в хоре, чем занимаются художественной гимнастикой;

2)50 + 78 = 128 (чел.) – удвоенноечислостудентов, поющихвхоре;

3)128 : 2 = 64 (чел.) – поют в хоре;

4)78 – 64 = 14 (чел.) – занимаются художественной гимнастикой;

5)82 – 64 = 18 (чел.) – занимаются танцами.

Ответ: 64 студента поют в хоре, 14 студентов занимаются художественной гимнастикой, 18 студентов занимаются танцами.

Алгебраический метод. Решить задачу алгебраическим методом – это значит найти ответ на требование задачи, составив и решив уравнение или систему уравнений (или неравенств). Одну и ту же задачу можнотакжерешитьразличнымиалгебраическимиспособами. Задача считается решенной различными способами, если для ее решения составлены различные уравнения или системы уравнений (неравенств),

46

МЕТОДИКАОБУЧЕНИЯУЧАЩИХСЯРЕШЕНИЮЗАДАЧ

в основе составления которых лежат различные соотношения между данными и искомыми [16, с. 15].

Пример. Рабочий может сделать определенное число деталей за тридня. Еслионвденьбудетделатьна10 деталейбольше, тосправится с заданием за два дня. Какова первоначальная производительность рабочего и сколько деталей он должен сделать?

Решение.

1-й способ. Пусть x д./день – первоначальная производительность рабочего. Тогда (x + 10) д./день – новая производительность, 3x д. – число деталей, которые он должен сделать. По условию получаем уравнение 3x = 2(x + 10), решив которое найдем x = 20 . Первоначальная производительность рабочего 20 деталей в день, он должен сделать 60 деталей.

2-й способ. Пусть x д. – число деталей, которые должен сделать рабочий. Тогда x/2 д./день – новая производительность, (x/2 – 10) д./день – первоначальная производительность рабочего. По условию получаем уравнение x = 3(x/2 – 10) , решив которое найдем x = 60. Рабочий должен сделать 60 деталей, его первоначальная производительность 20 деталей в день.

Ответ: 20 деталей в день; 60 деталей.

Геометрический метод. Решить задачу геометрическим методом – значит найти ответ на требование задачи, используя геометрические построения или свойства геометрических фигур. Одну и ту же задачу можно также решить различными геометрическими способами. Задача считается решенной различными способами, если для ее решения используются различные построения или свойства фигур [16, с. 15].

Пример. Из двух городов A и B, расстояние между которыми 250 км, навстречу друг другу выехали два туриста. Скорость движения первого равна 20 км/ч, второго – 30 км/ч. Через сколько часов туристы встретятся?

Решение.

1-й способ. Математическую модель задачи представим в виде диаграммы. Примем длину одного отрезка по вертикали за 10 км, а длину одного отрезка по горизонтали – за 1 ч. Отложим на вертикальной прямой отрезок AB , равный 250 км. Он будет изображать расстояние между городами. Для удобства проведем еще одну ось времени через точку B. Затем на вертикальных прямых станем откладывать отрезки пути, пройденные каждым туристом за 1 ч, 2 ч, 3 ч и т. д. (рис. 1.1, а). Из чертежа видим, что через 5 ч они встретятся.

47

КУЧУГУРОВА Н. Д. ИНТЕНСИВНЫЙ КУРС ОБЩЕЙ МЕТОДИКИ ПРЕПОДАВАНИЯ МАТЕМАТИКИ

2-й способ. В прямоугольной системе координат по горизонтали отложим время движения (в часах), по вертикали – расстояние (в километрах).

Примем длину одного отрезка по вертикали за 10 км, а длину одного отрезка по горизонтали – за 1 ч. Построим графики, характеризующие движение каждого туриста. Движение первого туриста определяется функцией y = 20x, второго – y = 250 – 30x. Абсцисса точки их пересечения (точки О) указывает, через сколько часов туристы встретятся (рис. 1.1, б). Из чертежа видно, что ее значение равно 5. Ордината указывает, на каком расстоянии от пункта A произойдет встреча. Ее значение равно 100.

3-й способ. Пусть время движения туристов до встречи изображается отрезком OT , а скорость сближения – отрезком OS (рис. 1.1, в). Тогда площадь S прямоугольника OSO1T (она равна OS × OT) соответствует расстоянию между городами A и B (пройденный путь есть произведение скорости движения на время движения). Учитывая, что туристы сближаются каждый час на 20 + 30 = 50 км (км), расстояние между городами равно 250 км, имеем уравнение 250 = 50 × OT, решив которое находим OT = 5 (ч). Итак, туристы встретятся через 5 ч.

Ответ: через 5 ч.

Рис. 1.1

Логический метод. Решить задачу логическим методом – это значит найти ответ на требование задачи, как правило, не выполняя вычислений, а только используя логические рассуждения. Примерами таких задач могут служить задачи «на переправы», классическим представителем которых является задача о волке, козе и капусте, или задачи «на взвешивание» [16, с. 16].

48

МЕТОДИКАОБУЧЕНИЯУЧАЩИХСЯРЕШЕНИЮЗАДАЧ

Пример. Из девяти монет одна фальшивая (более легкая). Как двумя взвешиваниями на чашечных весах определить фальшивую монету? Решение.

Ход рассуждений оформим в виде блок-схемы (рис. 1.2).

Начало

Положить на две чаши весов по три монеты

Практический метод. Решить задачу практическим методом – значит найти ответ на требование задачи, выполнив практические действия с предметами или их копиями (моделями, макетами и т. п.) [16, с. 17].

Пример. Некто истратил 30 р. своих денег, после чего удвоил оставшиеся деньги. Затем он истратил 60 р., после чего опять удвоил оставшиеся деньги. Когда он еще истратил 90 р., у него осталось 70 р. Сколько денег было вначале?

Решение.

Чтобы определить, сколько денег было первоначально, возьмем оставшееся количество денег и выполним обратные операции в обратном порядке. Берем оставшиеся 70 р., добавляем к ним истраченные 90 р. (160 р.), затем делим эту сумму пополам и узнаем, сколько денег

49

КУЧУГУРОВА Н. Д. ИНТЕНСИВНЫЙ КУРС ОБЩЕЙ МЕТОДИКИ ПРЕПОДАВАНИЯ МАТЕМАТИКИ

было до того, как второй раз удвоили оставшиеся деньги (80 р.). После этого добавляем 60 р. и находим, сколько денег было до того, как истратили 60 р. (140 р.). Делим эту сумму пополам и узнаем, сколько денег было до того, как первый раз удвоили оставшиеся деньги (70 р.), прибавляемистраченныевпервыйраз30 р. инаходимпервоначальное количество денег (100 р.).

Ответ: первоначально было 100 р.

Иногда в ходе решения задачи применяются несколько методов: алгебраический и арифметический; геометрический, алгебраический и арифметический; арифметический и практический и т. п. В этом случае считают, что задача решается комбинированным (смешанным) методом.

Пример. Четыре товарища купили телевизор. Первый внес половину суммы, вносимой остальными, второй – треть того, что внесли все его товарищи, третий – четверть того, что все его товарищи, четвертый – оставшиеся 650 р. Сколько было уплачено за телевизор?

Решение.

Пусть первый товарищ внес x р., второй – y р., третий – z р. Тогда, решая задачу чисто алгебраическим методом, по условию задачи получим достаточно громоздкую систему трех уравнений с тремя неизвестными:

x = 12 (y + z + 650 ),

y = 13 (x + z + 650 ),

z = 14 (x + y + 650 ).

Комбинированный метод позволяет получить ответ на требование задачи более простым путем.

Решение начнем алгебраическим методом.

Пусть первый товарищ внес x р., тогда все остальные внесли 2x р. Отсюда находим стоимость телевизора: x + 2x = 3x (р.). Значит, первый внес 1/3 стоимости телевизора.

Пусть второй товарищ внес y р., тогда все остальные внесли 3y р. Отсюда находим стоимость телевизора: y + 3y = 4y (р.). Значит, второй внес 1/4 стоимости телевизора.

50