Индивидуальные задания по линейной алгебре матрицы, определители, системы линейных уравнений. Линейные геометрические объекты. Учебно-методическое пос

Министерство науки и высшего образования Российской Федерации

НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Индивидуальные задания

по линейной алгебре

Матрицы, определители,

системы линейных уравнений

Линейные геометрические объекты

Учебно-методическое пособие

Новосибирск

2022

Предисловие

Настоящее пособие адресовано студентам НГТУ всех направлений и специальностей, в учебных планах которых есть дисциплина «Линейная алгебра», и представляет собой набор индивидуальных расчетно-графиче- ских заданий, которые могут быть предложены студентам для самостоятельного решения после изучения ими соответствующего раздела дисциплины. Работа разбита на две части, относящихся к двум обширным разделам курса «Линейная алгебра». Первая часть посвящена темам: «Комплексные числа», «Матрицы и определители», «Системы линейных уравнений», вторая часть содержит задачи по темам: «Геометрические векторы», «Прямая на плоскости», «Плоскость и прямая в пространстве».

Каждая часть включает условия задач тридцати вариантов индивидуальных заданий по линейной алгебре и аналитической геометрии. Для того, чтобы самостоятельно решить эти задачи, нужно изучить соответствующий теоретический материал. В этом и состоит смысл выполнения расчетно-графического задания. В библиографическом списке находятся ссылки на те пособия, по которым можно ознакомиться с необходимой теорией и в которых приведены примеры решения аналогичных задач. В настоящем пособии развернутые сведения из теории не приводятся, однако имеются очень подробные решения всех задач так называемого нулевого варианта. Надеемся, что внимательное знакомство с этими решениями поможет студентам решить задачи собственного варианта.

3

Часть 1 Комплексные числа Матрицы, определители, системы линейных уравнений

Вариант 0

деление 1 двумя способами — в алгебраической форме и в показа-

2

тельной форме. Сравнить полученные результаты.

Решение. Число 1 задано в алгебраической форме, а 2 — в показательной. Нужно привести числа к одной форме записи — либо к алгебраической, либо показательной, и затем уже выполнить деление.

1-й способ. Переведем число 2 “ 2 {6 в алгебраическую форму, воспользовавшись формулой Эйлера:

“ cos ` sin .

Получаем:

?

2 “ 2 {6 “ 2 ´cos 6 ` sin 6 ¯ “ 2 ˆ 23 ` 12˙ “ ?3 ` .

Чтобы выполнить деление 1 в алгебраической форме, нужно домно-

2

4

?

2-й способ. Переведем число 1 “ 12 ` 23 в показательную форму. Имеем:

Сравним результаты деления, полученные двумя разными способами. Для этого мы должны записать оба результата в одной форме — например, в алгебраической. Переведем число 12 {6 в алгебраическую форму с помощью формулы Эйлера:

Результаты, полученные разными способами, совпали.

?

Ответ: 43 ` 4 “ 12 {6.

2.Найти p2 ´ 2 q26, используя формулу Муавра. Результат записать в алгебраической форме.

Решение. Для начала запишем число “ 2 ´ 2 в тригонометрической форме. Имеем:

5

тить их на комплексной плоскости. Сделать проверку хотя бы для одного значения корня.

6

“ 0, 1.

В результате мы получаем два значения корня: при “ 0 это будет

Изобразим эти числа на плоскости (см. рисунок ниже).

Так как модули чисел 1, 2 равны? 3, оба эти числа располагаются на окружности радиуса “ 3, на лучах, составляющих с вещественной осью углы ´ 6 (то есть угол 6 отложен вниз) и 56

соответственно. Точки, изображающие числа, делят окружность на

равные части.

?

Проверка. Покажем, что 12 “ , 22 “ , где “ 32 ´ 3 2 3 .

7

то есть значения корня найдены верно.

??

Ответ: 32 ´ 23 , ´32 ` 23 .

двух нулей и затем разложить определитель по этой строке (столбцу).

Решение. Мы видим, что во втором столбце определителя уже имеется один ноль. Используя свойство о том, что при прибавлении к одной строке определителя другой его строки, умноженной на некоторое число, определитель не меняется, мы легко можем получить во втором столбце еще два нуля — во второй и четвертой строках. Для этого мы сначала прибавим ко второй строке четвертую, умноженную на p´2q, а затем к четвертой строке прибавим первую, умноженную на 2. Далее определитель вычислим разложением по второму столбцу. Итак,

8

ˇˇ

“p´1q ¨ pp´1q ¨ 1 ¨ p´1q ` p´4q ¨ 8 ¨ p´1q ` p´4q ¨ 2 ¨ 11 ´ p´1q ¨ 1 ¨ 11 ´

´2¨8¨p´1q´p´4q¨p´4q¨p´1qq “ p´1q¨p1`32´88`11`16`16q “ 12.

Ответ: 12.

5.Решить систему линейных уравнений с комплексными коэффициентами методом Крамера, сделать проверку:

#

Решение. Найдем определитель ∆, составленный из коэффициентов системы:

ˇˇ

Так как ∆ ‰ 0, то, в соответствии с теоремой Крамера, система уравнений имеет единственное решение. Для его нахождения, вопервых, составим определитель ∆1, заменив в ∆ первый столбец на столбец свободных членов (правых частей), и вычислим его:

ˇˇ

Во-вторых, составим определитель ∆2, заменив в ∆ второй столбец на столбец свободных членов:

ˇˇ

ˇ1 ´ 4 10 ` 7 ˇ

9

Наконец, вычислим решение системы по формулам Крамера:

Сделаем проверку, подставив найденные значения в систему:

$

&p1 ´ 4 q3 ` 2 p2 ` q “ 3 ` 12 ` 4 ´ 2 “ 10 ` 7 ,

%p2 ` 2 q3 ` p1 ´ qp2 ` q “ 6 ´ 6 ` 2 ` ´ 2 ` 1 “ ´3 ` 5 .

Оба равенства в этой системе оказались верны.

Ответ: “ 3 , “ 2 ` .

6.Сформулировать условие, при котором выполнима операция умножения матриц. Найти ¨ , ¨ , если это возможно:

¨˛

Решение. Говорят, что матрица имеет размерность ˆ , если она состоит из строк и столбцов.

Произведением матрицы “ p q размерности ˆ и матрицы

“ p q размерности ˆ называется матрица “ p q размерно-

10