Индивидуальные задания по линейной алгебре матрицы, определители, системы линейных уравнений. Линейные геометрические объекты. Учебно-методическое пос

Вариант 13

¯

1. На векторах ¯ “ p´4, ´1, ´6q и “ p0, 4, ´6q, выходящих из одной точки, построен параллелограмм. Найти: длины диагоналей парал-

лелограмма; угол между диагоналями; работу силы s “ ¯ на пути

¯

¯ “ .

2.Даны вершины пирамиды : p2, 7, 0q, p2, 13, 8q, p´1, 3, 5q,

p´2, 3, 2q. Найти площадь основания , объем пирамиды, длину высоты .

¯

3. Доказать, что векторы ¯ “ p4, ´3, 4q, “ p2, ´6, 1q, ¯ “ p5, 1, ´4q

¯

образуют базис. Найти координаты вектора “ p´5, ´10, 2q в этом

базисе. Ответ проверить.

4.Дан треугольник : p13, 1q, p´11, ´6q, p´15, ´3q. Сделать чертеж. Найти длину и уравнение стороны , длину и уравнение высоты , уравнение медианы , уравнение биссектрисы . Сделать проверку всех ответов.

5.В условиях задачи 2 найти: уравнение грани ; уравнения высоты

; координаты точки . Все ответы проверить.

6.Для прямой , заданной общими уравнениями, и точки найти: канонические уравнения прямой; расстояние от точки до прямой .

являются скрещивающимися, и найти: а) угол между ними;

101

б) общее уравнение плоскости , проходящей через 1

параллельно 2;

в) расстояние между прямыми.

8. Найти пересечение трех плоскостей:

3 ´ 3 ` ` 3 “ 0, ´3 ` 2 ` 4 ´ 32 “ 0, ` ´ 6 ` 37 “ 0.

Если пересечением является точка, то указать ее координаты, если это прямая, то указать направляющий вектор и какую-либо точку прямой, если это плоскость, то привести ее уравнение.

Вариант 14

¯

1. На векторах ¯ “ p2, ´5, ´4q и “ p3, ´6, 3q, выходящих из одной точки, построен параллелограмм. Найти: длины диагоналей парал-

лелограмма; угол между диагоналями; работу силы s “ ¯ на пути

¯

¯ “ .

2.Даны вершины пирамиды : p1, ´2, 3q, p3, 2, 7q, p6, 9, 6q,

p´7, 5, 2q. Найти площадь основания , объем пирамиды, длину высоты .

¯

3. Доказать, что векторы ¯ “ p´6, 0, 4q, “ p2, 3, ´1q, ¯ “ p´2, 1, ´4q

¯

образуют базис. Найти координаты вектора “ p9, 5, 0q в этом ба-

зисе. Ответ проверить.

4.Дан треугольник : p´5, ´3q, p´21, ´15q, p´14, 9q. Сделать чертеж. Найти длину и уравнение стороны , длину и уравнение высоты , уравнение медианы , уравнение биссектрисы . Сделать проверку всех ответов.

5.В условиях задачи 2 найти: уравнение грани ; уравнения высоты

; координаты точки . Все ответы проверить.

6.Для прямой , заданной общими уравнениями, и точки найти:

102

канонические уравнения прямой; расстояние от точки до прямой .

являются скрещивающимися, и найти:

а) угол между ними;

б) общее уравнение плоскости , проходящей через 1

параллельно 2;

в) расстояние между прямыми.

8. Найти пересечение трех плоскостей:

3 ´ ´ ` 9 “ 0, ´ ` 3 ` ´ 21 “ 0, ` ` 2 ´ 4 “ 0.

Если пересечением является точка, то указать ее координаты, если это прямая, то указать направляющий вектор и какую-либо точку прямой, если это плоскость, то привести ее уравнение.

Вариант 15

¯

1. На векторах ¯ “ p´3, 3, ´5q и “ p4, ´1, 0q, выходящих из одной точки, построен параллелограмм. Найти: длины диагоналей парал-

лелограмма; угол между диагоналями; работу силы s “ ¯ на пути

¯

¯ “ .

2. Даны вершины пирамиды : p4, 2, ´1q, p´1, 1, 3q,

p3, 2, ´3q, p2, 0, 3q. Найти площадь основания , объем пи-

рамиды, длину высоты .

103

¯

3. Доказать, что векторы ¯ “ p3, 0, 4q, “ p´2, 3, ´1q, ¯ “ p3, 1, ´4q

¯

образуют базис. Найти координаты вектора “ p9, ´7, ´9q в этом

базисе. Ответ проверить.

4.Дан треугольник : p8, 5q, p´8, ´7q, p´1, 17q. Сделать чертеж. Найти длину и уравнение стороны , длину и уравнение высоты , уравнение медианы , уравнение биссектрисы . Сделать проверку всех ответов.

5.В условиях задачи 2 найти: уравнение грани ; уравнения высоты

; координаты точки . Все ответы проверить.

6.Для прямой , заданной общими уравнениями, и точки найти: канонические уравнения прямой; расстояние от точки до прямой .

являются скрещивающимися, и найти:

а) угол между ними;

б) общее уравнение плоскости , проходящей через 1

параллельно 2;

в) расстояние между прямыми.

8. Найти пересечение трех плоскостей:

7 ` ´ 3 ` 18 “ 0, ´8 ´ 3 ` ´ 17 “ 0, 2 ` ` 4 ´ 8 “ 0.

Если пересечением является точка, то указать ее координаты, если это прямая, то указать направляющий вектор и какую-либо точку прямой, если это плоскость, то привести ее уравнение.

104

Вариант 16

¯

1. На векторах ¯ “ p´1, ´1, ´1q и “ p1, 3, 5q, выходящих из одной точки, построен параллелограмм. Найти: длины диагоналей парал-

лелограмма; угол между диагоналями; работу силы s “ ¯ на пути

¯

¯ “ .

2. Даны вершины пирамиды : p0, 2, 2q, p´2, ´2, 0q,

p´1, 1, 3q, p´4, 4, 0q. Найти площадь основания , объем пирамиды, длину высоты .

¯

3. Доказать, что векторы ¯ “ p4, ´1, ´2q, “ p2, 3, ´1q, ¯ “ p3, 1, ´4q

¯

образуют базис. Найти координаты вектора “ p3, 1, 6q в этом базисе. Ответ проверить.

4.Дан треугольник : p1, 2q, p´15, ´10q, p´8, 14q. Сделать чертеж. Найти длину и уравнение стороны , длину и уравнение высоты , уравнение медианы , уравнение биссектрисы . Сделать проверку всех ответов.

5.В условиях задачи 2 найти: уравнение грани ; уравнения высоты

; координаты точки . Все ответы проверить.

6.Для прямой , заданной общими уравнениями, и точки найти: канонические уравнения прямой; расстояние от точки до прямой .

$

&2 ` ` 3 ` 50 “ 0,

: p´1, ´1, ´9q.

%´4 ` ´ 6 ´ 91 “ 0;

7. Доказать, что прямые 1 и 2, заданные уравнениями

являются скрещивающимися, и найти: а) угол между ними;

105

б) общее уравнение плоскости , проходящей через 1

параллельно 2;

в) расстояние между прямыми.

8.Найти пересечение трех плоскостей:

` 3 ´ 2 ` 1 “ 0, 2 ` 2 ` ´ 3 “ 0, ´5 ´ 3 ´ 5 ` 23 “ 0.

Если пересечением является точка, то указать ее координаты, если это прямая, то указать направляющий вектор и какую-либо точку прямой, если это плоскость, то привести ее уравнение.

Вариант 17

¯

1. На векторах ¯ “ p1, ´3, 3q и “ p3, ´5, 3q, выходящих из одной точки, построен параллелограмм. Найти: длины диагоналей парал-

лелограмма; угол между диагоналями; работу силы s “ ¯ на пути

¯

¯ “ .

2. Даны вершины пирамиды : p´7, 4, 3q, p´5, 5, 4q,

p´6, 6, 4q, p´4, 5, 2q. Найти площадь основания , объем пирамиды, длину высоты .

¯

3. Доказать, что векторы ¯ “ p´3, 6, ´2q, “ p4, 3, ´1q, ¯ “ p5, 1, ´1q

¯

образуют базис. Найти координаты вектора “ p4, 3, ´5q в этом базисе. Ответ проверить.

4.Дан треугольник : p1, 5q, p´15, ´7q, p´8, 17q. Сделать чертеж. Найти длину и уравнение стороны , длину и уравнение высоты , уравнение медианы , уравнение биссектрисы . Сделать проверку всех ответов.

5.В условиях задачи 2 найти: уравнение грани ; уравнения высоты

; координаты точки . Все ответы проверить.

106

6.Для прямой , заданной общими уравнениями, и точки найти: канонические уравнения прямой; расстояние от точки до прямой .

являются скрещивающимися, и найти:

а) угол между ними;

б) общее уравнение плоскости , проходящей через 1

параллельно 2;

в) расстояние между прямыми.

8. Найти пересечение трех плоскостей:

` 2 ` 3 ` 4 “ 0, ´2 ´ 4 ´ 6 ´ 8 “ 0, 3 ` 6 ` 9 ` 12 “ 0.

Если пересечением является точка, то указать ее координаты, если это прямая, то указать направляющий вектор и какую-либо точку прямой, если это плоскость, то привести ее уравнение.

Вариант 18

¯

1. На векторах ¯ “ p´2, ´1, 3q и “ p´2, ´5, ´1q, выходящих из одной точки, построен параллелограмм. Найти: длины диагоналей парал-

лелограмма; угол между диагоналями; работу силы s “ ¯ на пути

¯

¯ “ .

2.Даны вершины пирамиды : p6, 3, 13q, p9, 9, 5q, p4, 7, 7q,

p11, 5, 12q. Найти площадь основания , объем пирамиды, длину высоты .

107

¯

3. Доказать, что векторы ¯ “ p8, ´4, 2q, “ p4, 2, ´1q, ¯ “ p´5, 0, ´1q

¯

образуют базис. Найти координаты вектора “ p6, ´6, ´3q в этом

базисе. Ответ проверить.

4.Дан треугольник : p8, 6q, p´16, 13q, p´20, 10q. Сделать чертеж. Найти длину и уравнение стороны , длину и уравнение высоты , уравнение медианы , уравнение биссектрисы . Сделать проверку всех ответов.

5.В условиях задачи 2 найти: уравнение грани ; уравнения высоты

; координаты точки . Все ответы проверить.

6.Для прямой , заданной общими уравнениями, и точки найти: канонические уравнения прямой; расстояние от точки до прямой .

Если пересечением является точка, то указать ее координаты, если это прямая, то указать направляющий вектор и какую-либо точку прямой, если это плоскость, то привести ее уравнение.

108

Вариант 19

¯

1. На векторах ¯ “ p1, ´3, ´4q и “ p´2, 5, 1q, выходящих из одной точки, построен параллелограмм. Найти: длины диагоналей парал-

лелограмма; угол между диагоналями; работу силы s “ ¯ на пути

¯

¯ “ .

2.Даны вершины пирамиды : p6, 3, 4q, p11, 5, 4q, p8, 8, 4q,

p7, 5, 8q. Найти площадь основания , объем пирамиды, длину высоты .

¯

3. Доказать, что векторы ¯ “ p´2, 5, 2q, “ p4, 0, ´1q, ¯ “ p´5, 2, ´1q

¯

образуют базис. Найти координаты вектора “ p4, 2, 11q в этом

базисе. Ответ проверить.

4.Дан треугольник : p´4, 4q, p´20, ´8q, p´13, 16q. Сделать чертеж. Найти длину и уравнение стороны , длину и уравнение высоты , уравнение медианы , уравнение биссектрисы . Сделать проверку всех ответов.

5.В условиях задачи 2 найти: уравнение грани ; уравнения высоты

; координаты точки . Все ответы проверить.

6.Для прямой , заданной общими уравнениями, и точки найти: канонические уравнения прямой; расстояние от точки до прямой .

´

являются скрещивающимися, и найти: а) угол между ними;

109

б) общее уравнение плоскости , проходящей через 1

параллельно 2;

в) расстояние между прямыми.

8. Найти пересечение трех плоскостей:

7 ` 2 ´ 2 ´ 3 “ 0, ´4 ` 4 ` 2 ´ 1 “ 0, ´ ` 10 ` 2 ´ 5 “ 0.

Если пересечением является точка, то указать ее координаты, если это прямая, то указать направляющий вектор и какую-либо точку прямой, если это плоскость, то привести ее уравнение.

Вариант 20

¯

1. На векторах ¯ “ p1, 3, 1q и “ p5, 3, 5q, выходящих из одной точки, построен параллелограмм. Найти: длины диагоналей параллело-

грамма; угол между диагоналями; работу силы s “ ¯ на пути

¯

¯ “ .

2. Даны вершины пирамиды : p´1, 11, 3q, p3, 5, 7q,

p3, 10, 5q, p2, 13, 10q. Найти площадь основания , объем пирамиды, длину высоты .

¯

3. Доказать, что векторы ¯ “ p3, 5, 2q, “ p´4, 1, ´1q, ¯ “ p3, 2, ´1q

¯

образуют базис. Найти координаты вектора “ p9, 1, 10q в этом базисе. Ответ проверить.

4.Дан треугольник : p13, 5q, p´11, 12q, p´15, 9q. Сделать чертеж. Найти длину и уравнение стороны , длину и уравнение высоты , уравнение медианы , уравнение биссектрисы . Сделать проверку всех ответов.

5.В условиях задачи 2 найти: уравнение грани ; уравнения высоты

; координаты точки . Все ответы проверить.

110