Индивидуальные задания по линейной алгебре матрицы, определители, системы линейных уравнений. Линейные геометрические объекты. Учебно-методическое пос

Вариант 28

¯

1. На векторах ¯ “ p4, ´6, ´2q и “ p0, ´2, 5q, выходящих из одной точки, построен параллелограмм. Найти: длины диагоналей парал-

лелограмма; угол между диагоналями; работу силы s “ ¯ на пути

¯

¯ “ .

2.Даны вершины пирамиды : p7, 11, 9q, p2, 0, ´5q, p0, 7, 1q,

p8, ´2, 10q. Найти площадь основания , объем пирамиды, длину высоты .

¯

3. Доказать, что векторы ¯ “ p3, ´2, ´5q, “ p5, ´1, ´4q,

¯

¯ “ p4, ´2, ´1q образуют базис. Найти координаты вектора “

p´7, 8, 9q в этом базисе. Ответ проверить.

4.Дан треугольник : p5, 3q, p´11, 15q, p´4, ´9q. Сделать чертеж. Найти длину и уравнение стороны , длину и уравнение высоты , уравнение медианы , уравнение биссектрисы . Сделать проверку всех ответов.

5.В условиях задачи 2 найти: уравнение грани ; уравнения высоты

; координаты точки . Все ответы проверить.

6.Для прямой , заданной общими уравнениями, и точки найти: канонические уравнения прямой; расстояние от точки до прямой .

являются скрещивающимися, и найти: а) угол между ними;

121

б) общее уравнение плоскости , проходящей через 1

параллельно 2;

в) расстояние между прямыми.

8.Найти пересечение трех плоскостей:

` 2 ´ 2 ´ 3 “ 0, 2 ` 3 ´ ´ 1 “ 0, ` 3 ´ 5 ´ 8 “ 0.

Если пересечением является точка, то указать ее координаты, если это прямая, то указать направляющий вектор и какую-либо точку прямой, если это плоскость, то привести ее уравнение.

Вариант 29

¯

1. На векторах ¯ “ p3, ´1, ´1q и “ p3, 3, 2q, выходящих из одной точки, построен параллелограмм. Найти: длины диагоналей парал-

лелограмма; угол между диагоналями; работу силы s “ ¯ на пути

¯

¯ “ .

2. Даны вершины пирамиды : p3, 2, 6q, p4, 1, ´1q,

p2, ´10, 7q, p5, 0, 3q. Найти площадь основания , объем пирамиды, длину высоты .

¯

3. Доказать, что векторы ¯ “ p4, 0, 5q, “ p1, ´3, ´4q, ¯ “ p3, ´2, ´1q

¯

образуют базис. Найти координаты вектора “ p´8, 2, ´9q в этом базисе. Ответ проверить.

4.Дан треугольник : p9, 7q, p´15, 14q, p´19, 11q. Сделать чертеж. Найти длину и уравнение стороны , длину и уравнение высоты , уравнение медианы , уравнение биссектрисы . Сделать проверку всех ответов.

5.В условиях задачи 2 найти: уравнение грани ; уравнения высоты

; координаты точки . Все ответы проверить.

122

6.Для прямой , заданной общими уравнениями, и точки найти: канонические уравнения прямой; расстояние от точки до прямой .

являются скрещивающимися, и найти:

а) угол между ними;

б) общее уравнение плоскости , проходящей через 1

параллельно 2;

в) расстояние между прямыми.

8. Найти пересечение трех плоскостей:

3 ´ ` 2 ` 7 “ 0, 2 ´ ´ 2 ` 13 “ 0, 2 ´ 5 ` 5 ` 19 “ 0.

Если пересечением является точка, то указать ее координаты, если это прямая, то указать направляющий вектор и какую-либо точку прямой, если это плоскость, то привести ее уравнение.

Вариант 30

¯

1. На векторах ¯ “ p´3, ´3, 5q и “ p5, ´3, 4q, выходящих из одной точки, построен параллелограмм. Найти: длины диагоналей парал-

лелограмма; угол между диагоналями; работу силы s “ ¯ на пути

¯

¯ “ .

2. Даны вершины треугольной пирамиды: p3, 4, 1q, p2, 5, 6q,

p´1, ´3, 4q, p6, 5, 0q. Найти площадь основания , объем пирамиды, длину высоты .

123

¯

3. Доказать, что векторы ¯ “ p6, 1, ´3q, “ p1, 4, ´2q, ¯ “ p3, 3, ´1q

¯

образуют базис. Найти координаты вектора “ p8, ´9, 3q в этом

базисе. Ответ проверить.

4.Дан треугольник : p11, ´3q, p´5, 9q, p2, ´15q. Сделать чертеж. Найти длину и уравнение стороны , длину и уравнение высоты , уравнение медианы , уравнение биссектрисы . Сделать проверку всех ответов.

5.В условиях задачи 2 найти: уравнение грани ; уравнения высоты

; координаты точки . Все ответы проверить.

6.Для прямой , заданной общими уравнениями, и точки найти: канонические уравнения прямой; расстояние от точки до прямой .

являются скрещивающимися, и найти:

а) угол между ними;

б) общее уравнение плоскости , проходящей через 1

параллельно 2;

в) расстояние между прямыми.

8. Найти пересечение трех плоскостей:

´ ` ´ “ 0, 5 ´ 2 ` ` 7 “ 0, ´3 ` ` 4 “ 0.

Если пересечением является точка, то указать ее координаты, если это прямая, то указать направляющий вектор и какую-либо точку прямой, если это плоскость, то привести ее уравнение.

124

Библиографический список

1.Ивлева, А. М. Линейная алгебра. Аналитическая геометрия : учеб. пособие / А. М. Ивлева, П. И. Прилуцкая, И. Д. Черных. — Изд. 5-е, испр. и доп. — Новосибирск : Изд-во НГТУ, 2019. — 182 с.

2. Ивлева, А. М. Основы алгебры и аналитической геометрии : учебник / А. М. Ивлева, А. Г. Пинус, А. В. Чехонадских. — Изд. 2-е. перераб. — Новосибирск : Изд-во НГТУ, 2021. — 286 с.

3.Ивлева, А. М. Решение задач по аналитической геометрии : учеб. пособие / А. М. Ивлева, О. Ю. Бреднихина, Д. Р. Ковальчук. — Новосибирск : Изд-во НГТУ, 2020. — 58 с.

4. Ивлева, А. М. Готовимся к контрольной работе : учеб. пособие / А. М.Ивлева, Л. В. Ковалевская, И. Д. Черных. — 2-е изд. — Новосибирск : Изд-во НГТУ, 2015. — 104 с.

125

Содержание

126