Индивидуальные задания по линейной алгебре матрицы, определители, системы линейных уравнений. Линейные геометрические объекты. Учебно-методическое пос

6.Для прямой , заданной общими уравнениями, и точки найти: канонические уравнения прямой; расстояние от точки до прямой .

являются скрещивающимися, и найти:

а) угол между ними;

б) общее уравнение плоскости , проходящей через 1

параллельно 2;

в) расстояние между прямыми.

8. Найти пересечение трех плоскостей:

´ 2 ´ 4 “ 0, ` 2 ` 3 ` 2 “ 0, 2 ` 5 ` 5 “ 0.

Если пересечением является точка, то указать ее координаты, если это прямая, то указать направляющий вектор и какую-либо точку прямой, если это плоскость, то привести ее уравнение.

Вариант 6

¯

1. На векторах ¯ “ p0, ´1, ´3q и “ p´6, 4, 5q, выходящих из одной точки, построен параллелограмм. Найти: длины диагоналей парал-

лелограмма; угол между диагоналями; работу силы s “ ¯ на пути

¯

¯ “ .

2.Даны вершины пирамиды : p0, 3, 4q, p´4, 8, 1q, p´2, 9, 3q,

p5, 7, 8q. Найти площадь основания , объем пирамиды, длину высоты .

91

¯

3. Доказать, что векторы ¯ “ p8, ´1, 7q, “ p0, ´2, 2q, ¯ “ p´1, 2, ´4q

¯

образуют базис. Найти координаты вектора “ p´5, 3, ´3q в этом

базисе. Ответ проверить.

4.Дан треугольник : p5, 5q, p´11, ´7q, p´4, 17q. Сделать чертеж. Найти длину и уравнение стороны , длину и уравнение высоты , уравнение медианы , уравнение биссектрисы . Сделать проверку всех ответов.

5.В условиях задачи 2 найти: уравнение грани ; уравнения высоты

; координаты точки . Все ответы проверить.

6.Для прямой , заданной общими уравнениями, и точки найти: канонические уравнения прямой; расстояние от точки до прямой .

являются скрещивающимися, и найти:

а) угол между ними;

б) общее уравнение плоскости , проходящей через 1

параллельно 2;

в) расстояние между прямыми.

8. Найти пересечение трех плоскостей:

6 ` 2 ´ ` 2 “ 0, 3 ` 2 ` 3 ´ 1 “ 0, 3 ´ 4 ` 3 “ 0.

Если пересечением является точка, то указать ее координаты, если это прямая, то указать направляющий вектор и какую-либо точку прямой, если это плоскость, то привести ее уравнение.

92

Вариант 7

¯

1. На векторах ¯ “ p´4, ´6, ´6q и “ p0, ´1, ´4q, выходящих из одной точки, построен параллелограмм. Найти: длины диагоналей парал-

лелограмма; угол между диагоналями; работу силы s “ ¯ на пути

¯

¯ “ .

2.Даны вершины пирамиды : p5, 2, 5q, p7, 5, 4q, p3, 6, 10q,

p8, 1, 9q. Найти площадь основания , объем пирамиды, длину высоты .

¯

3. Доказать, что векторы ¯ “ p´5, 0, 7q, “ p1, ´2, 2q, ¯ “ p3, 2, ´4q

¯

образуют базис. Найти координаты вектора “ p´3, 2, ´10q в этом

базисе. Ответ проверить.

4.Дан треугольник : p5, 4q, p´11, , ´8q, p´4, 16q. Сделать чертеж. Найти длину и уравнение стороны , длину и уравнение высоты , уравнение медианы , уравнение биссектрисы . Сделать проверку всех ответов.

5.В условиях задачи 2 найти: уравнение грани ; уравнения высоты

; координаты точки . Все ответы проверить.

6.Для прямой , заданной общими уравнениями, и точки найти: канонические уравнения прямой; расстояние от точки до прямой .

являются скрещивающимися, и найти: а) угол между ними;

93

б) общее уравнение плоскости , проходящей через 1

параллельно 2;

в) расстояние между прямыми.

8.Найти пересечение трех плоскостей:

` 5 ´ 2 ´ 1 “ 0, 4 ´ 2 ` 2 ´ 1 “ 0, ´ ` 17 ´ 8 ´ 2 “ 0.

Если пересечением является точка, то указать ее координаты, если это прямая, то указать направляющий вектор и какую-либо точку прямой, если это плоскость, то привести ее уравнение.

Вариант 8

¯

1. На векторах ¯ “ p4, 5, 3q и “ p2, ´2, 3q, выходящих из одной точки, построен параллелограмм. Найти: длины диагоналей параллело-

грамма; угол между диагоналями; работу силы s “ ¯ на пути

¯

¯ “ .

2.Даны вершины пирамиды : p6, 5, 6q, p´6, 7, 2q, p2, 7, 9q,

p3, 9, 3q. Найти площадь основания , объем пирамиды, длину высоты .

¯

3. Доказать, что векторы ¯ “ p6, 1, 3q, “ p1, ´3, 2q, ¯ “ p3, 0, ´4q

¯

образуют базис. Найти координаты вектора “ p7, ´13, ´7q в этом

базисе. Ответ проверить.

4.Дан треугольник : p14, 6q, p´10, ´1q, p´14, 2q. Сделать чертеж. Найти длину и уравнение стороны , длину и уравнение высоты , уравнение медианы , уравнение биссектрисы . Сделать проверку всех ответов.

5.В условиях задачи 2 найти: уравнение грани ; уравнения высоты

; координаты точки . Все ответы проверить.

94

6.Для прямой , заданной общими уравнениями, и точки найти: канонические уравнения прямой; расстояние от точки до прямой .

являются скрещивающимися, и найти:

а) угол между ними;

б) общее уравнение плоскости , проходящей через 1

параллельно 2;

в) расстояние между прямыми.

8. Найти пересечение трех плоскостей:

3 ´ 4 ` 3 ´ 2 “ 0, 4 ´ 4 ` 5 ´ 7 “ 0, 2 ´ 4 ` ` 3 “ 0.

Если пересечением является точка, то указать ее координаты, если это прямая, то указать направляющий вектор и какую-либо точку прямой, если это плоскость, то привести ее уравнение.

Вариант 9

¯

1. На векторах ¯ “ p5, 1, 2q и “ p5, ´3, 2q, выходящих из одной точки, построен параллелограмм. Найти: длины диагоналей параллело-

грамма; угол между диагоналями; работу силы s “ ¯ на пути

¯

¯ “ .

2.Даны вершины пирамиды : p3, 8, 5q, p1, 11, 5q, p1, 8, 11q,

p3, 11, 3q. Найти площадь основания , объем пирамиды, длину высоты .

95

¯

3. Доказать, что векторы ¯ “ p´3, 2, 3q, “ p1, 5, 2q, ¯ “ p3, 1, ´4q

¯

образуют базис. Найти координаты вектора “ p´5, 0, 11q в этом

базисе. Ответ проверить.

4.Дан треугольник : p23, ´3q, p´1, 4q, p´5, 1q. Сделать чертеж. Найти длину и уравнение стороны , длину и уравнение высоты , уравнение медианы , уравнение биссектрисы . Сделать проверку всех ответов.

5.В условиях задачи 2 найти: уравнение грани ; уравнения высоты

; координаты точки . Все ответы проверить.

6.Для прямой , заданной общими уравнениями, и точки найти: канонические уравнения прямой; расстояние от точки до прямой .

являются скрещивающимися, и найти:

а) угол между ними;

б) общее уравнение плоскости , проходящей через 1

параллельно 2;

в) расстояние между прямыми.

8. Найти пересечение трех плоскостей:

2 ` ´ “ 0, ´ ` 3 ´ 3 ´ 7 “ 0, 2 ` 3 ` 2 ` 6 “ 0.

Если пересечением является точка, то указать ее координаты, если это прямая, то указать направляющий вектор и какую-либо точку прямой, если это плоскость, то привести ее уравнение.

96

Вариант 10

¯

1. На векторах ¯ “ p´5, 5, 0q и “ p1, 2, ´5q, выходящих из одной точки, построен параллелограмм. Найти: длины диагоналей парал-

лелограмма; угол между диагоналями; работу силы s “ ¯ на пути

¯

¯ “ .

2.Даны вершины пирамиды : p9, 4, 6q, p11, 3, 7q, p6, 4, 10q,

p9, 8, 9q. Найти площадь основания , объем пирамиды, длину высоты .

¯

3. Доказать, что векторы ¯ “ p3, ´2, 1q, “ p5, 5, 2q, ¯ “ p3, 1, ´4q

¯

образуют базис. Найти координаты вектора “ p´1, 0, 15q в этом

базисе. Ответ проверить.

4.Дан треугольник : p5, 6q, p´11, ´6q, p´4, 18q. Сделать чертеж. Найти длину и уравнение стороны , длину и уравнение высоты , уравнение медианы , уравнение биссектрисы . Сделать проверку всех ответов.

5.В условиях задачи 2 найти: уравнение грани ; уравнения высоты

; координаты точки . Все ответы проверить.

6.Для прямой , заданной общими уравнениями, и точки найти: канонические уравнения прямой; расстояние от точки до прямой .

$

&´ ´ ` 9 “ 0,

: p12, ´7, ´2q. %5 ` 5 ` 7 ` 11 “ 0;

7. Доказать, что прямые 1 и 2, заданные уравнениями

являются скрещивающимися, и найти: а) угол между ними;

97

б) общее уравнение плоскости , проходящей через 1

параллельно 2;

в) расстояние между прямыми.

8.Найти пересечение трех плоскостей:

` ` 5 ´ 7 “ 0, 2 ` 2 ` 3 ´ 3 “ 0, 4 ` 4 ´ ` 17 “ 0.

Если пересечением является точка, то указать ее координаты, если это прямая, то указать направляющий вектор и какую-либо точку прямой, если это плоскость, то привести ее уравнение.

Вариант 11

¯

1. На векторах ¯ “ p2, 5, ´3q и “ p´2, ´5, ´1q, выходящих из одной точки, построен параллелограмм. Найти: длины диагоналей парал-

лелограмма; угол между диагоналями; работу силы s “ ¯ на пути

¯

¯ “ .

2. Даны вершины пирамиды : p´1, 9, ´1q, p´2, ´3, 4q,

p´7, 8, 7q, p´1, 5, 2q. Найти площадь основания , объем пирамиды, длину высоты .

¯

3. Доказать, что векторы ¯ “ p6, ´2, 4q, “ p3, 5, 2q, ¯ “ p´5, 1, ´4q

¯

образуют базис. Найти координаты вектора “ p9, ´7, 8q в этом базисе. Ответ проверить.

4.Дан треугольник : p10, ´1q, p´6, ´13q, p1, 11q. Сделать чертеж. Найти длину и уравнение стороны , длину и уравнение высоты , уравнение медианы , уравнение биссектрисы . Сделать проверку всех ответов.

5.В условиях задачи 2 найти: уравнение грани ; уравнения высоты

; координаты точки . Все ответы проверить.

98

6.Для прямой , заданной общими уравнениями, и точки найти: канонические уравнения прямой; расстояние от точки до прямой .

являются скрещивающимися, и найти:

а) угол между ними;

б) общее уравнение плоскости , проходящей через 1

параллельно 2;

в) расстояние между прямыми.

8. Найти пересечение трех плоскостей:

´2 ´ 3 ` 3 ` 5 “ 0, 2 ´ ´ ` 9 “ 0, ´3 ` 2 ` 4 ´ 7 “ 0.

Если пересечением является точка, то указать ее координаты, если это прямая, то указать направляющий вектор и какую-либо точку прямой, если это плоскость, то привести ее уравнение.

Вариант 12

¯

1. На векторах ¯ “ p´4, ´1, 1q и “ p3, 4, ´3q, выходящих из одной точки, построен параллелограмм. Найти: длины диагоналей парал-

лелограмма; угол между диагоналями; работу силы s “ ¯ на пути

¯

¯ “ .

2.Даны вершины пирамиды : p0, ´2, 10q, p6, 1, 12q, p4, 6, 8q,

p2, 1, 4q. Найти площадь основания , объем пирамиды, длину высоты .

99

¯

3. Доказать, что векторы ¯ “ p´1, 5, 4q, “ p4, 6, 2q, ¯ “ p´5, 1, ´4q

¯

образуют базис. Найти координаты вектора “ p9, ´10, 3q в этом

базисе. Ответ проверить.

4.Дан треугольник : p9, 8q, p´15, 1q, p´19, 4q. Сделать чертеж. Найти длину и уравнение стороны , длину и уравнение высоты , уравнение медианы , уравнение биссектрисы . Сделать проверку всех ответов.

5.В условиях задачи 2 найти: уравнение грани ; уравнения высоты

; координаты точки . Все ответы проверить.

6.Для прямой , заданной общими уравнениями, и точки найти: канонические уравнения прямой; расстояние от точки до прямой .

являются скрещивающимися, и найти:

а) угол между ними;

б) общее уравнение плоскости , проходящей через 1

параллельно 2;

в) расстояние между прямыми.

8. Найти пересечение трех плоскостей:

´ ` 3 ` ´ 5 “ 0, 3 ´ 3 ` 2 ´ 1 “ 0, 3 ` 3 ` 7 ´ 17 “ 0.

Если пересечением является точка, то указать ее координаты, если это прямая, то указать направляющий вектор и какую-либо точку прямой, если это плоскость, то привести ее уравнение.

100