Индивидуальные задания по линейной алгебре матрицы, определители, системы линейных уравнений. Линейные геометрические объекты. Учебно-методическое пос

сти ˆ , элементы которой вычисляются по формуле:

Итак, произведение ¨ существует, если число столбцов матрицы равно числу строк матрицы . В нашем случае имеет размерность

3 ˆ 2, — размерность 2 ˆ 4, то есть число столбцов левой матрицы равно числу строк правой, поэтому операция умножения может быть выполнена, и ее результатом будет матрица “ p q размерности

3 ˆ 4:

Вычислим каждый элемент матрицы по формуле (1), т. е. найдя сумму произведений элементов -той строки матрицы на соответствующие элементы -го столбца матрицы :

11 “ 3 ¨ 1 ` p´1q ¨ 2 “ 1, 12 “ 3 ¨ 1 ` p´1q ¨ p´1q “ 4,

13 “ 3 ¨ 0 ` p´1q ¨ 0 “ 0, 14 “ 3 ¨ 3 ` p´1q ¨ 4 “ 5,

21 “ 2 ¨ 1 ` 0 ¨ 2 “ 2, 22 “ 2 ¨ 1 ` 0 ¨ p´1q “ 2,

23 “ 2 ¨ 0 ` 0 ¨ 0 “ 0, 24 “ 2 ¨ 3 ` 0 ¨ 4 “ 6,

31 “ p´2q ¨ 1 ` 4 ¨ 2 “ 6, 32 “ p´2q ¨ 1 ` 4 ¨ p´1q “ ´6,

33 “ p´2q ¨ 0 ` 4 ¨ 0 “ 0, 34 “ p´2q ¨ 3 ` 4 ¨ 4 “ 10.

Произведение ¨ не существует, так как число столбцов левой матрицы равно 4, а число строк правой матрицы равно 2.

11

7. Решить систему линейных уравнений с помощью обратной матрицы, сделать проверку:

где ´1 — матрица, обратная к матрице . Найдем ´1 по формуле:

Здесь | | — определитель матрицы , а — алгебраические дополнения элементов матрицы , вычисляемые по формуле:

тель, получающийся при вычеркивании в матрице строки с номером и столбца с номером ). Матрица ´1 существует лишь в том случае, когда | | ‰ 0.

12

Итак,

ˇˇ

ˇ 3 0 ´1 ˇ

ˇˇ

| | “ ˇˇ ´1 4 1 ˇˇ “ 3 ¨ 4 ¨ p´4q ` p´1q ¨ p´1q ¨ p´1q `

ˇˇ

ˇ 2 ´1 ´4 ˇ

` 0 ¨ 1 ¨ 2 ´ p´1q ¨ 4 ¨ 2 ´ 1 ¨ p´1q ¨ 3 ´ 0 ¨ p´1q ¨ p´4q “ ´38 ‰ 0,

13

В соответствии с (2) имеем:

и нам осталось вычислить решение по формуле (2).

то есть “ ´1, “ 1, “ ´3.

Проверка. Подставим найденные значения неизвестных в исходную систему линейных уравнений:

$

’3 ¨ p´1q ´ p´3q “ 0, 0 “ 0;

’

&

´p´1q ` 4 ¨ 1 ` p´3q “ 2, 2 “ 2;

’

’

%2 ¨ p´1q ´ 1 ¨ 1 ´ 4 ¨ p´3q “ 9, 9 “ 9.

Все уравнения обратились в верные равенства, решение найдено верно.

Ответ: “ ´1, “ 1, “ ´3.

8.Исследовать системы линейных уравнений на совместность, определенность. Решить системы методом Гаусса. Если система неопределенная, записать решение в параметрической форме. Во всех случаях сделать проверку.

14

Решение. 1) Составим расширенную матрицу системы и приведем ее

к ступенчатому виду с помощью элементарных преобразований строк:

Расширенная матрица приведена к ступенчатому виду.

Анализ: rank s “ 3, rank “ 3, “ 3 ( — число неизвестных). Так как rank s “ rank “ , система является совместной определенной (имеет единственное решение). Найдем это решение. Составим систему линейных уравнений, соответствующую полученной ступенчатой матрице, и вычислим последовательно значения неизвестных, поднимаясь снизу вверх, т. е. начиная с последнего уравнения:

Получили: “ 1, “ ´4, “ 1{2.

Проверка. Подставим найденные значения неизвестных в исходную систему линейных уравнений:

15

Все уравнения обратились в верные равенства, решение найдено правильно.

Ответ: “ 1, “ ´4, “ 1{2.

2) Составляем расширенную матрицу второй системы, приводим ее к ступенчатому виду с помощью элементарных преобразований строк:

Матрица приведена к ступенчатому виду, rank s “ 2, rank “ 2, “ 4. Так как rank s “ rank ‰ , система является совместной неопределенной. Число свободных неизвестных: ´ rank “ 4 ´ 2 “ 2, ими будут и . Неизвестные и будут базисными (основными). Далее мы составляем систему, соответствующую ступенчатой матрице, и находим базисные

16

неизвестные (выражаем их через свободные):

Проверка. Подставим найденные значения неизвестных в каждое из четырех уравнений исходной системы.

ˆ˙

2 ´ 2 ´ 2 ` 1 ` ` 4 ` ´ 2 “ 3; 3 “ 3.

ˆ˙

1 ´ ´ ´ 1 ´ ´ 4 ` 2 ` 5 “ 0; 0 “ 0.

ˆ˙

Все уравнения обратились в верные равенства, решение найдено правильно.

Ответ: “ 1 ´ ´ , “ 13 ` 13 ` 43 , P R, P R.

Вариант 1

тельной форме. Сравнить полученные результаты.

17

´? ¯16

2. Найти 3 ` 3 , используя формулу Муавра. Результат записать

в алгебраической форме.

?

3.Найти все комплексные значения корня 3 , где “ ´8, отметить их на комплексной плоскости. Сделать проверку хотя бы для одного

значения корня.

двух нулей и затем разложить определитель по этой строке (столбцу).

5.Решить систему линейных уравнений с комплексными коэффициентами методом Крамера, сделать проверку:

#

6.Сформулировать условие, при котором выполнима операция умножения матриц. Найти ¨ , ¨ , если это возможно:

¨˛

13

7.Решить систему линейных уравнений с помощью обратной матрицы, сделать проверку:

$

’5 ` “ ´9,

’

&

6 ` 3 ` 2 “ ´7,

’

’

%9 ` 4 ` 3 “ ´11.

18

8.Исследовать системы линейных уравнений на совместность, определенность. Решить системы методом Гаусса. Если система неопределенная, записать решение в параметрической форме. Во всех случаях сделать проверку.

Вариант 2

1. Даны комплексные числа 1 “ 3e´ 3 {4, 2 “ ´2 ` 2 . Выполнить

деление 1 двумя способами — в алгебраической форме и в показа-

2

тельной форме. Сравнить полученные результаты.

2.Найти p´1 ` q12, используя формулу Муавра. Результат записать в алгебраической форме.

тить их на комплексной плоскости. Сделать проверку хотя бы для одного значения корня.

получить в одной из строк (в одном из столбцов) не менее двух нулей

и затем разложить определитель по этой строке (столбцу).

5.Решить систему линейных уравнений с комплексными коэффициентами методом Крамера, сделать проверку:

#

19

6.Сформулировать условие, при котором выполнима операция умножения матриц. Найти ¨ , ¨ , если это возможно:

32

7.Решить систему линейных уравнений с помощью обратной матрицы,