Индивидуальные задания по линейной алгебре матрицы, определители, системы линейных уравнений. Линейные геометрические объекты. Учебно-методическое пос

6.Для прямой , заданной общими уравнениями, и точки найти: канонические уравнения прямой; расстояние от точки до прямой .

$

&7 ` ` 47 “ 0,

: p´8, ´12, ´5q. %4 ´ 5 ` 6 ` 8 “ 0;

7. Доказать, что прямые 1 и 2, заданные уравнениями

являются скрещивающимися, и найти:

а) угол между ними;

б) общее уравнение плоскости , проходящей через 1

параллельно 2;

в) расстояние между прямыми.

8. Найти пересечение трех плоскостей:

4 ` ` 2 ´ 5 “ 0, 2 ` 3 ´ 3 “ 0, 4 ´ 3 ´ 4 ´ 4 “ 0.

Если пересечением является точка, то указать ее координаты, если это прямая, то указать направляющий вектор и какую-либо точку прямой, если это плоскость, то привести ее уравнение.

Вариант 21

¯

1. На векторах ¯ “ p0, 5, ´1q и “ p´2, 1, 4q, выходящих из одной точки, построен параллелограмм. Найти: длины диагоналей парал-

лелограмма; угол между диагоналями; работу силы s “ ¯ на пути

¯

¯ “ .

2.Даны вершины пирамиды : p10, 0, 3q, p8, 5, 8q, p8, 1, 2q,

p5, 1, 8q. Найти площадь основания , объем пирамиды, длину высоты .

111

¯

3. Доказать, что векторы ¯ “ p2, ´5, 2q, “ p´5, 4, ´1q, ¯ “ p3, 2, ´1q

¯

образуют базис. Найти координаты вектора “ p4, ´8, 4q в этом

базисе. Ответ проверить.

4.Дан треугольник : p8, 8q, p´8, ´4q, p´1, 20q. Сделать чертеж. Найти длину и уравнение стороны , длину и уравнение высоты , уравнение медианы , уравнение биссектрисы . Сделать проверку всех ответов.

5.В условиях задачи 2 найти: уравнение грани ; уравнения высоты

; координаты точки . Все ответы проверить.

6.Для прямой , заданной общими уравнениями, и точки найти: канонические уравнения прямой; расстояние от точки до прямой .

являются скрещивающимися, и найти:

а) угол между ними;

б) общее уравнение плоскости , проходящей через 1

параллельно 2;

в) расстояние между прямыми.

8. Найти пересечение трех плоскостей:

2 ´ 3 ´ ` 7 “ 0, ´6 ` 2 ` 1 “ 0, 2 ` 15 ´ 7 ` 4 “ 0.

Если пересечением является точка, то указать ее координаты, если это прямая, то указать направляющий вектор и какую-либо точку прямой, если это плоскость, то привести ее уравнение.

112

Вариант 22

¯

1. На векторах ¯ “ p5, 3, 1q и “ p´5, ´4, ´1q, выходящих из одной точки, построен параллелограмм. Найти: длины диагоналей парал-

лелограмма; угол между диагоналями; работу силы s “ ¯ на пути

¯

¯ “ .

2.Даны вершины пирамиды : p4, 9, 4q, p3, 7, 9q, p0, 7, 9q,

p5, 6, 2q. Найти площадь основания , объем пирамиды, длину высоты .

¯

3. Доказать, что векторы ¯ “ p4, 0, ´3q, “ p6, 4, ´4q, ¯ “ p3, 2, ´1q

¯

образуют базис. Найти координаты вектора “ p5, ´2, ´6q в этом

базисе. Ответ проверить.

4.Дан треугольник : p12, 6q, p´12, ´1q, p´16, 2q. Сделать чертеж. Найти длину и уравнение стороны , длину и уравнение высоты , уравнение медианы , уравнение биссектрисы . Сделать проверку всех ответов.

5.В условиях задачи 2 найти: уравнение грани ; уравнения высоты

; координаты точки . Все ответы проверить.

6.Для прямой , заданной общими уравнениями, и точки найти: канонические уравнения прямой; расстояние от точки до прямой .

являются скрещивающимися, и найти: а) угол между ними;

113

б) общее уравнение плоскости , проходящей через 1

параллельно 2;

в) расстояние между прямыми.

8. Найти пересечение трех плоскостей:

´3 ` 2 ´ ´ 6 “ 0, ´ 5 ` 2 ` 9 “ 0, 2 ´ ` ` 3 “ 0.

Если пересечением является точка, то указать ее координаты, если это прямая, то указать направляющий вектор и какую-либо точку прямой, если это плоскость, то привести ее уравнение.

Вариант 23

¯

1. На векторах ¯ “ p0, 1, 1q и “ p0, 0, ´6q, выходящих из одной точки, построен параллелограмм. Найти: длины диагоналей параллело-

грамма; угол между диагоналями; работу силы s “ ¯ на пути

¯

¯ “ .

2. Даны вершины пирамиды : p2, 6, 10q, p5, 12, 2q,

p0, 10, 4q, p7, 8, 9q. Найти площадь основания , объем пирамиды, длину высоты .

¯

3. Доказать, что векторы ¯ “ p´3, 1, 6q, “ p5, 2, ´4q, ¯ “ p4, 2, ´1q

¯

образуют базис. Найти координаты вектора “ p´9, 0, 10q в этом базисе. Ответ проверить.

4.Дан треугольник : p6, 2q, p´10, ´10q, p´3, 14q. Сделать чертеж. Найти длину и уравнение стороны , длину и уравнение высоты , уравнение медианы , уравнение биссектрисы . Сделать проверку всех ответов.

5.В условиях задачи 2 найти: уравнение грани ; уравнения высоты

; координаты точки . Все ответы проверить.

114

6.Для прямой , заданной общими уравнениями, и точки найти: канонические уравнения прямой; расстояние от точки до прямой .

являются скрещивающимися, и найти:

а) угол между ними;

б) общее уравнение плоскости , проходящей через 1

параллельно 2;

в) расстояние между прямыми.

8. Найти пересечение трех плоскостей:

3 ´ 3 ` 2 “ 0, 5 ` 4 ´ 3 ` 2 “ 0, ´7 ´ 11 ` 8 ´ 4 “ 0.

Если пересечением является точка, то указать ее координаты, если это прямая, то указать направляющий вектор и какую-либо точку прямой, если это плоскость, то привести ее уравнение.

Вариант 24

¯

1. На векторах ¯ “ p4, ´1, ´5q и “ p´1, ´5, ´2q, выходящих из одной точки, построен параллелограмм. Найти: длины диагоналей парал-

лелограмма; угол между диагоналями; работу силы s “ ¯ на пути

¯

¯ “ .

2.Даны вершины пирамиды : p2, 1, 5q, p7, 3, 5q, p4, 6, 5q,

p3, 3, 9q. Найти площадь основания , объем пирамиды, длину высоты .

115

¯

3. Доказать, что векторы ¯ “ p3, ´3, 6q, “ p´5, 2, ´4q, ¯ “ p4, 2, 1q

¯

образуют базис. Найти координаты вектора “ p´7, ´8, 6q в этом

базисе. Ответ проверить.

4.Дан треугольник : p6, 4q, p´10, ´8q, p´3, 16q. Сделать чертеж. Найти длину и уравнение стороны , длину и уравнение высоты , уравнение медианы , уравнение биссектрисы . Сделать проверку всех ответов.

5.В условиях задачи 2 найти: уравнение грани ; уравнения высоты

; координаты точки . Все ответы проверить.

6.Для прямой , заданной общими уравнениями, и точки найти: канонические уравнения прямой; расстояние от точки до прямой .

Если пересечением является точка, то указать ее координаты, если это прямая, то указать направляющий вектор и какую-либо точку прямой, если это плоскость, то привести ее уравнение.

116

Вариант 25

¯

1. На векторах ¯ “ p4, 5, 5q и “ p2, 4, ´2q, выходящих из одной точки, построен параллелограмм. Найти: длины диагоналей параллело-

грамма; угол между диагоналями; работу силы s “ ¯ на пути

¯

¯ “ .

2.Даны вершины пирамиды : p´2, 8, 3q, p2, 2, 7q, p2, 7, 5q,

p1, 10, 10q. Найти площадь основания , объем пирамиды, длину высоты .

¯

3. Доказать, что векторы ¯ “ p´4, 2, 6q, “ p3, 2, ´4q, ¯ “ p2, ´2, 1q

¯

образуют базис. Найти координаты вектора “ p´7, 9, 3q в этом

базисе. Ответ проверить.

4.Дан треугольник : p1, 2q, p´15, ´10q, p´8, 14q. Сделать чертеж. Найти длину и уравнение стороны , длину и уравнение высоты , уравнение медианы , уравнение биссектрисы . Сделать проверку всех ответов.

5.В условиях задачи 2 найти: уравнение грани ; уравнения высоты

; координаты точки . Все ответы проверить.

6.Для прямой , заданной общими уравнениями, и точки найти: канонические уравнения прямой; расстояние от точки до прямой .

являются скрещивающимися, и найти: а) угол между ними;

117

б) общее уравнение плоскости , проходящей через 1

параллельно 2;

в) расстояние между прямыми.

8. Найти пересечение трех плоскостей:

3 ´ 4 ` 3 ` 36 “ 0, ´4 ` 2 ´ 20 “ 0, 2 ´ 3 ´ 2 “ 0.

Если пересечением является точка, то указать ее координаты, если это прямая, то указать направляющий вектор и какую-либо точку прямой, если это плоскость, то привести ее уравнение.

Вариант 26

¯

1. На векторах ¯ “ p´6, 4, ´3q и “ p´2, 2, 1q, выходящих из одной точки, построен параллелограмм. Найти: длины диагоналей парал-

лелограмма; угол между диагоналями; работу силы s “ ¯ на пути

¯

¯ “ .

2. Даны вершины пирамиды : p9, ´1, 0q, p7, 4, 5q,

p7, 0, ´1q, p4, 0, 5q. Найти площадь основания , объем пирамиды, длину высоты .

¯

3. Доказать, что векторы ¯ “ p´3, 2, ´5q, “ p4, ´2, ´6q, ¯ “ p2, ´2, 1q

¯

образуют базис. Найти координаты вектора “ p8, ´3, ´1q в этом базисе. Ответ проверить.

4.Дан треугольник : p10, ´4q, p´6, 8q, p1, ´16q. Сделать чертеж. Найти длину и уравнение стороны , длину и уравнение высоты , уравнение медианы , уравнение биссектрисы . Сделать проверку всех ответов.

5.В условиях задачи 2 найти: уравнение грани ; уравнения высоты

; координаты точки . Все ответы проверить.

118

6.Для прямой , заданной общими уравнениями, и точки найти: канонические уравнения прямой; расстояние от точки до прямой .

являются скрещивающимися, и найти:

а) угол между ними;

б) общее уравнение плоскости , проходящей через 1

параллельно 2;

в) расстояние между прямыми.

8. Найти пересечение трех плоскостей:

3 ´ ´ 3 ´ 4 “ 0, ´ 3 ` 3 ` 16 “ 0, 2 ` 3 ´ ´ 20 “ 0.

Если пересечением является точка, то указать ее координаты, если это прямая, то указать направляющий вектор и какую-либо точку прямой, если это плоскость, то привести ее уравнение.

Вариант 27

¯

1. На векторах ¯ “ p´6, ´4, ´4q и “ p´2, 0, 4q, выходящих из одной точки, построен параллелограмм. Найти: длины диагоналей парал-

лелограмма; угол между диагоналями; работу силы s “ ¯ на пути

¯

¯ “ .

2.Даны вершины пирамиды : p4, 6, 5q, p3, 4, 10q, p0, 4, 10q,

p5, 3, 3q. Найти площадь основания , объем пирамиды, длину высоты .

119

¯

3. Доказать, что векторы ¯ “ p4, 2, ´5q, “ p´5, ´1, 6q, ¯ “ p3, ´2, 1q

¯

образуют базис. Найти координаты вектора “ p´4, 8, ´5q в этом

базисе. Ответ проверить.

4.Дан треугольник : p24, ´2q, p0, 5q, p´4, 2q. Сделать чертеж. Найти длину и уравнение стороны , длину и уравнение высоты , уравнение медианы , уравнение биссектрисы . Сделать проверку всех ответов.

5.В условиях задачи 2 найти: уравнение грани ; уравнения высоты

; координаты точки . Все ответы проверить.

6.Для прямой , заданной общими уравнениями, и точки найти: канонические уравнения прямой; расстояние от точки до прямой .

являются скрещивающимися, и найти:

а) угол между ними;

б) общее уравнение плоскости , проходящей через 1

параллельно 2;

в) расстояние между прямыми.

8. Найти пересечение трех плоскостей:

6 ´ 5 ` ´ 10 “ 0, ` 3 ` ´ 14 “ 0, 2 ´ 4 ` ` 3 “ 0.

Если пересечением является точка, то указать ее координаты, если это прямая, то указать направляющий вектор и какую-либо точку прямой, если это плоскость, то привести ее уравнение.

120