Индивидуальные задания по линейной алгебре матрицы, определители, системы линейных уравнений. Линейные геометрические объекты. Учебно-методическое пос
.pdf
ром Ę1 “ p9, ´7, 6q. Теперь на векторах ¯ и Ę1 построим параллелограмм. Высота этого параллелограмма относительно основания ¯ и есть расстояние от точки до прямой . Требуемую высоту можем найти, используя геометрический смысл модуля векторного произведения в трехмерном пространстве (площадь параллелограмма), разделив площадь на длину основания параллелограмма:
ˇˇ
“ ˇ¯ ˆ Ę1ˇ.
|¯|
Находим векторное произведение
¯ˆ 1 |
“ |
|
|
7 |
´6 |
|
|
¯´ ´9 |
|
´6 |
|
|
¯` ´9 |
|
|
7 |
¯ “ p´71, ´3, 103q, |
||||||||
|
|
|
1 |
11 |
|
|
|
16 |
|
11 |
|
|
16 |
1 |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
´ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
´ |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ę |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
и длины |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
векторов: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
ˇ¯ ˆ 1 |
ˇ “ a |
|
“ ? |
|
|
, |
|||||||||||||||||
|
|
p´71q2 ` p´3q2 ` 1032 |
15659 |
||||||||||||||||||||||
|
|
ˇ |
|
|
Ę ˇ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
? |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
` 1 |
2 |
` p´11q |
2 |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|¯| “ ap´16q |
|
|
|
“ |
|
378, |
|
|||||||||||||
отсюда
cc
“ 15659378 “ 223754 .
Канонические уравнения прямой записываем, используя найденный направляющий вектор ¯ и точку 1:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
: |
|
|
´ 10 |
|
“ |
` 1 |
|
“ |
|
´ 8 |
. |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
´11 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
´16 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
` 6 |
|
|
|
` 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
“ b |
2237 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
Ответы: |
|
|
|
|
“ |
|
|
|
“ |
|
|
|
, |
|
|
|
54 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
´16 |
|
|
1 |
´11 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
7. Доказать, что прямые 1 |
и 2, заданные уравнениями |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
: |
|
` 1 |
|
“ |
|
|
´ 1 |
|
|
` 3 |
, |
|
|
: |
|
|
´ 3 |
“ |
´ 9 |
|
“ |
` 5 |
, |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
´2 |
1 |
|||||||||||||||||||||||||||
|
1 |
|
´2 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
“ |
4 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
4 |
|
|
||||||||||
являются скрещивающимися, и найти:
81
а) угол между ними;
б) общее уравнение плоскости , проходящей через 1
параллельно 2;
в) расстояние между прямыми.
Решение. Направляющие векторы прямых суть ¯1 “ p´2, 1, 4q и
¯2 “ p4, ´2, 1q соответственно. Также найдем точки на этих прямых: 1p´1, 1, ´3q и 2p3, 9, ´5q. Векторы не пропорциональны, следовательно, прямые не параллельны и не совпадают. Угол между прямыми найдем через скалярное произведение их направляющих векторов:
cos |
|
|¯1 ¨ ¯2| |
|
|
| ´ 8 ´ 2 ` 4| |
|
|
|
2 |
. |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
“ |
|¯1| ¨ |¯2| |
“ ?4 ` 1 ` 16?16 ` 4 ` 1 |
“ |
7 |
||||||||||
|
|
|||||||||||||
Значит, искомый угол “ arccos 27 .
Плоскость , проходящую через прямую 1 параллельно прямой 2
в данной задаче проще всего представить в параметрическом виде:
¯ “ ¯ 1 ` ¯1 ` ¯2. Или покоординатно:
$
’ “ ´1 ´ 2 ` 4 ,
’
&
“ 1 ` ´ 2 ,
’
’
% “ ´3 ` 4 ` .
Чтобы найти общее уравнение плоскости найдем вектор нормали к ней: ¯ “ ¯1 ˆ ¯2 “ p´2, 1, 4q ˆ p4, ´2, 1q “ p9, 18, 0q. Поскольку вектор нормали нас интересует с точностью до пропорциональности, то
¯1
сократим полученный вектор: “ p1, 2, 0q. Значит, общее уравнение плоскости есть 1 ¨ `2 ¨ `0 ¨ ` “ 0. Коэффициент найдем подстановкой произвольной точки, принажлежащей плоскости, например 1, в ее уравнение: 1 ¨ p´1q ` 2 ¨ 1 ` “ 0. Значит, “ ´1 и
общее уравнение плоскости есть
` 2 ´ 1 “ 0.
82
Расстояние между скрещивающимися прямыми равно расстоянию между любой точкой прямой 2 и параллельной обеим прямым проходящей через 1 плоскостью . В качестве любой точки 2 проще всего взять точку 2. По известной формуле расстояния от точки до плоскости имеем:
|
|
|1 ¨ 3 ` 2 ¨ 9 ` 0 ¨ p´5q ´ 1| |
20 |
|
|
4? |
|
. |
|||
|
|
|
|
5 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
“ |
?12 ` 22 ` 02 |
|
“ ?5 |
“ |
|||||||
|
|
|
|
|
|||||||
Поскольку расстояние не нулевое и направляющие векторы не пропорциональны, то прямые скрещиваются. ?
Ответы: “ arccos 27 , ` 2 ´ 1 “ 0, “ 4 5.
8. Найти пересечение трех плоскостей: |
|
´ 2 ` 4 ´ 3 “ 0, 3 ` ´ 3 ` 1 “ 0, |
5 ´ 3 ` 5 ´ 5 “ 0. |
Если пересечением является точка, то указать ее координаты, если это прямая, то указать направляющий вектор и какую-либо точку прямой, если это плоскость, то привести ее уравнение.
Решение. Проанализируем систему трех заданных уравнений на совместность, определенность, сравнив между собою ранги основной матрицы , расширенной матрицы s и число неизвестных (в данном случае “ 3). Если rank ‰ rank s, то система несовместна, а это означает, что три плоскости не пересекаются (не имеют общих точек). Если rank “ rank s “ 3, то система имеет единственное решение, и это значит, что плоскости пересекаются в одной точке. Если rank “ rank s “ 2, то система является совместной неопределенной, имеет одну свободную неизвестную (параметр), и пересечением плоскостей будет являться прямая. Чтобы найти точку и направляющий вектор этой прямой, нужно записать решение системы в параметрическом виде, это и будут параметрические уравнения искомой прямой. Если rank “ rank s “ 1, то пересечением является плоскость (т. е. данные три плоскости совпадают).
83
В нашем случае имеется система линейных уравнений
$
’ ´ 2 ` 4 “ 3,
’
&
3 ` ´ 3 “ ´1,
’
’
%5 ´ 3 ` 5 “ 5.
Составим расширенную матрицу системы и приведем ее к ступенчатому виду:
¨ |
3 |
|
´1 |
|
3 |
ˇ |
|
1 |
˛ |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
´ |
4 |
ˇ |
´ |
3 |
|
` |
¨ p´ q |
„ |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
5 |
|
3 |
5 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
˚ |
|
|
ˇ |
|
‹ |
|
|
|
5 |
q |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
´ |
|
|
ˇ |
|
|
` |
¨ p´ |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
˝ |
|
|
|
|
|
ˇ |
|
|
‚ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
ˇ4 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
4 |
|
|
3 |
|
¨ |
|
´7 |
|
|
ˇ |
ˇ |
|
10 ˛ |
|
|
|
|
|
¨ |
|
´7 |
|
ˇ |
|
10 ˛. |
||
|
0 |
|
|
15 |
|
|
|
|
|
|
0 |
15 |
|
||||||||||
„ |
|
|
0 |
7 |
´ |
15 |
ˇ |
´ |
|
|
|
|
|
„ |
|
0 |
0 |
´ |
ˇ |
´ |
0 |
||
|
˚ |
´ |
ˇ |
|
10 |
‹` |
|
|
7 |
˚ |
0 |
ˇ |
|
||||||||||
|
|
|
|
ˇ |
´ |
|
¨ p´ q |
|
|
|
ˇ |
|
‹ |
||||||||||
|
˝ |
|
|
|
|
|
ˇ |
|
|
‚ |
|
|
|
|
|
˝ |
|
|
|
ˇ |
|
‚ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ˇ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ˇ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ˇ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ˇ |
|
|
Как мы видим, и в основной, и в расширенной матрицах число ненулевых строк равно двум: rank “ rank s “ 2, число неизвестных равно 3, система является совместной неопределенной, есть одна свободная неизвестная, в качестве которой мы возьмем . Запишем полученную систему, найдем ее общее решение:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
$ “ 3 ` 2 ´ 4 , |
|
$ “ |
|
1 |
|
` |
|
2 |
, |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
4 |
|
3, |
|
|
|
7 |
|
|
7 |
|||||||||||||||||
|
´ |
` |
“ |
|
’ |
|
|
|
10 15 |
|
|
’ |
|
|
|
|
|
10 15 |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
’ |
|
´ |
` |
, |
|
’ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|||||
$ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
’ |
|
|
’ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
7 |
15 |
|
|
|
10; |
|
’ |
“ |
|
|
7 |
|
|
’ |
“ ´ |
7 |
` 7 |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
ðñ ’ |
|
|
|
ðñ ’ |
|
|||||||||||||||||||||||
& |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
’ |
|
|
|
|
|
|
’ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
& |
|
|
|
|
|
|
& |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
% ´ “ ´ |
|
|
’ |
|
, |
R; |
|
|
’ |
|
|
, |
R. |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
’ |
“ |
|
|
P |
|
|
’ |
“ |
|
|
|
|
P |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
’ |
|
|
|
|
’ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
’ |
|
|
|
|
|
|
’ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
’ |
|
|
|
|
|
|
’ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
’ |
|
|
|
|
|
|
’ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
% |
|
|
|
|
|
|
% |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Мы получили параметрические уравнения прямой. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
Прямая проходит через точку 0 71 , ´107 , |
0 , имеет направляющий |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
¯1 |
“ |
|
|
2 |
, 15 , |
1 . |
|
|
|
|
что в качестве направляющего мож- |
||||||||||||||||||
вектор |
|
|
|
7 |
|
7 |
|
|
Отметим, |
` |
|
|
˘ |
|
2, 15, 7 |
|
|
, обозна- |
||||||||||||||
но указать |
также параллельный вектору ¯1 |
вектор |
p |
q |
||||||||||||||||||||||||||||
|
` |
|
|
|
|
˘ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
чив его через ¯.
84
Ответ: пересечением является прямая, она проходит через точку
` ˘
0 17 , ´107 , 0 , имеет направляющий вектор ¯ “ p2, 15, 7q .
Вариант 1
¯
1. На векторах ¯ “ p1, 5, 2q и “ p´4, 1, ´1q, выходящих из одной точки, построен параллелограмм. Найти: длины диагоналей парал-
лелограмма; угол между диагоналями; работу силы s “ ¯ на пути
¯
¯ “ .
2.Даны вершины пирамиды : p7, 6, 5q, p9, 5, 6q, p4, 6, 9q,
p7, 10, 8q. Найти площадь основания , объем пирамиды, длину высоты .
¯
3. Доказать, что векторы ¯ “ p1, 2, 4q, “ p4, ´2, 0q, ¯ “ p´1, 1, 3q
¯
образуют базис. Найти координаты вектора “ p´3, ´2, 1q в этом
базисе. Ответ проверить.
4.Дан треугольник : p10, ´2q, p´6, 10q, p1, ´14q. Сделать чертеж. Найти длину и уравнение стороны , длину и уравнение высоты , уравнение медианы , уравнение биссектрисы . Сделать проверку всех ответов.
5.В условиях задачи 2 найти: уравнение грани ; уравнения высоты
; координаты точки . Все ответы проверить.
6.Для прямой , заданной общими уравнениями, и точки найти: канонические уравнения прямой; расстояние от точки до прямой .
|
|
|
|
: |
$´ ` 2 ´ 13 “ 0, |
0; |
|
|
|
11, 6, 12 . |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
& |
` |
6 |
´ |
6 |
` |
3 |
“ |
|
|
|
p |
|
|
|
q |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
% |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
7. Доказать, что прямые 1 и |
2, заданные уравнениями |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
: |
` 9 |
` 10 |
|
|
` 6, |
|
|
: |
´ 8 |
|
´ 9 |
|
` 9 |
, |
||||||||||||
|
1 |
|
|
´3 |
“ |
|
|
1 |
|
“ |
|
|
4 |
|
|
|
|
2 |
|
0 |
“ |
´1 |
|
“ |
1 |
|
||
являются скрещивающимися, и найти:
85
а) угол между ними;
б) общее уравнение плоскости , проходящей через 1
параллельно 2;
в) расстояние между прямыми.
8. Найти пересечение трех плоскостей:
3 ` ` 2 ´ 5 “ 0, ´ 2 ` 2 ` 3 “ 0, 8 ` 5 ` 4 ´ 18 “ 0.
Если пересечением является точка, то указать ее координаты, если это прямая, то указать направляющий вектор и какую-либо точку прямой, если это плоскость, то привести ее уравнение.
Вариант 2
¯
1. На векторах ¯ “ p´3, 1, ´6q и “ p3, ´2, 4q, выходящих из одной точки, построен параллелограмм. Найти: длины диагоналей парал-
лелограмма; угол между диагоналями; работу силы s “ ¯ на пути
¯
¯ “ .
2.Даны вершины пирамиды : p6, 5, 5q, p8, 8, 4q, p4, 9, 10q,
p9, 4, 9q. Найти площадь основания , объем пирамиды, длину высоты .
¯
3. Доказать, что векторы ¯ “ p´4, 1, 8q, “ p4, ´2, 6q, ¯ “ p4, 2, 1q
¯
образуют базис. Найти координаты вектора “ p´8, ´9, 17q в этом
базисе. Ответ проверить.
4.Дан треугольник : p16, ´2q, p´8, ´9q, p´12, ´6q. Сделать чертеж. Найти длину и уравнение стороны , длину и уравнение высоты , уравнение медианы , уравнение биссектрисы . Сделать проверку всех ответов.
5.В условиях задачи 2 найти: уравнение грани ; уравнения высоты
; координаты точки . Все ответы проверить.
86
6.Для прямой , заданной общими уравнениями, и точки найти: канонические уравнения прямой; расстояние от точки до прямой .
|
|
|
: |
$´ ´ 4 ´ 3 ` 29 “ 0, |
|
15, 10, 5 |
q |
. |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
&3 |
´ |
8 |
´ |
7 |
` |
125 |
“ |
0; |
|
p´ |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
% |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
7. Доказать, что прямые 1 и |
2, заданные уравнениями |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
: |
` 11 |
|
|
` 2 |
|
|
` 1 |
, |
|
|
: |
` 11 |
|
´ 1 |
|
|
` 12 |
, |
||||||
1 |
|
“ |
|
“ |
2 |
2 |
1 |
“ |
4 |
“ |
|
|||||||||||||||
|
|
3 |
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
||||||||||
являются скрещивающимися, и найти:
а) угол между ними;
б) общее уравнение плоскости , проходящей через 1
параллельно 2;
в) расстояние между прямыми.
8. Найти пересечение трех плоскостей:
5 ` 5 ´ ` 2 “ 0, ` 14 ` ´ 3 “ 0, 8 ` 47 ` 2 ´ 4 “ 0.
Если пересечением является точка, то указать ее координаты, если это прямая, то указать направляющий вектор и какую-либо точку прямой, если это плоскость, то привести ее уравнение.
Вариант 3
¯
1. На векторах ¯ “ p3, ´4, ´5q и “ p´5, 2, ´3q, выходящих из одной точки, построен параллелограмм. Найти: длины диагоналей парал-
лелограмма; угол между диагоналями; работу силы s “ ¯ на пути
¯
¯ “ .
2. Даны вершины пирамиды : p8, 6, 7q, p´4, 8, 3q,
p4, 8, 10q, p5, 10, 4q. Найти площадь основания , объем пирамиды, длину высоты .
87
¯
3. Доказать, что векторы ¯ “ p5, 1, ´1q, “ p3, ´2, 2q, ¯ “ p´1, 2, 1q
¯
образуют базис. Найти координаты вектора “ p´1, ´12, 3q в этом
базисе. Ответ проверить.
4.Дан треугольник : p12, ´5q, p´4, 7q, p3, ´17q. Сделать чертеж. Найти длину и уравнение стороны , длину и уравнение высоты , уравнение медианы , уравнение биссектрисы . Сделать проверку всех ответов.
5.В условиях задачи 2 найти: уравнение грани ; уравнения высоты
; координаты точки . Все ответы проверить.
6.Для прямой , заданной общими уравнениями, и точки найти: канонические уравнения прямой; расстояние от точки до прямой .
|
|
|
: |
$ ` 4 ´ 6 ` 121 |
“ 0, |
|
|
|
|
11, 5, 8 |
q |
. |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
& |
|
8 |
` |
3 |
´ |
|
´ |
58 |
|
“ |
0; |
|
|
|
p´ ´ |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
%´ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
7. Доказать, что прямые 1 и |
2, заданные уравнениями |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
: |
` 10 |
|
` 8 |
|
|
` 4, |
|
|
: |
` 3 |
|
´ 6 |
` 3 |
, |
||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
´2 |
|
“ |
|
|
4 |
|
“ |
|
´5 |
|
|
|
2 |
|
1 |
|
“ |
|
1 |
|
“ |
|
|
1 |
|
||
являются скрещивающимися, и найти:
а) угол между ними;
б) общее уравнение плоскости , проходящей через 1
параллельно 2;
в) расстояние между прямыми.
8. Найти пересечение трех плоскостей:
3 ´ 3 ´ ` 4 “ 0, 4 ` 8 ` 4 ´ 3 “ 0, 2 ´ 14 ´ 6 ` 9 “ 0.
Если пересечением является точка, то указать ее координаты, если это прямая, то указать направляющий вектор и какую-либо точку прямой, если это плоскость, то привести ее уравнение.
88
Вариант 4
¯
1. На векторах ¯ “ p3, ´2, 1q и “ p´6, ´1, ´1q, выходящих из одной точки, построен параллелограмм. Найти: длины диагоналей парал-
лелограмма; угол между диагоналями; работу силы s “ ¯ на пути
¯
¯ “ .
2.Даны вершины пирамиды : p7, 4, 5q, p5, 7, 5q, p5, 4, 11q,
p7, 7, 3q. Найти площадь основания , объем пирамиды, длину высоты .
¯
3. Доказать, что векторы ¯ “ p´3, 0, ´1q, “ p6, ´2, 2q, ¯ “ p´1, 2, ´4q
¯
образуют базис. Найти координаты вектора “ p1, 5, ´7q в этом
базисе. Ответ проверить.
4.Дан треугольник : p9, 8q, p´15, 1q, p´19, 4q. Сделать чертеж. Найти длину и уравнение стороны , длину и уравнение высоты , уравнение медианы , уравнение биссектрисы . Сделать проверку всех ответов.
5.В условиях задачи 2 найти: уравнение грани ; уравнения высоты
; координаты точки . Все ответы проверить.
6.Для прямой , заданной общими уравнениями, и точки найти: канонические уравнения прямой; расстояние от точки до прямой .
|
|
|
: |
$´3 |
|
´ 7 ´ 2 ` 117 “ 0, |
|
|
16, 6, |
|
2 |
. |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
& |
|
5 |
´ |
8 |
` |
69 |
“ |
0; |
|
|
|
|
p |
|
|
´ q |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
%´ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
7. Доказать, что прямые 1 и |
2, заданные уравнениями |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
: |
|
´ 10 |
|
“ |
|
´ 4 |
“ |
` 9 |
, |
|
|
: |
´ 3 |
|
` 10 |
|
|
` 5 |
, |
||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
||||||||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
3 |
|
´2 |
|
|
5 |
|
|
|
2 |
|
“ |
0 |
|
“ |
´1 |
|
||||||||
являются скрещивающимися, и найти: а) угол между ними;
89
б) общее уравнение плоскости , проходящей через 1
параллельно 2;
в) расстояние между прямыми.
8. Найти пересечение трех плоскостей:
´3 ` 5 ´ ` 3 “ 0, 5 ´ 4 ` ` 1 “ 0, ` 7 ´ ` 11 “ 0.
Если пересечением является точка, то указать ее координаты, если это прямая, то указать направляющий вектор и какую-либо точку прямой, если это плоскость, то привести ее уравнение.
Вариант 5
¯
1. На векторах ¯ “ p2, 2, 2q и “ p´4, ´1, 0q, выходящих из одной точки, построен параллелограмм. Найти: длины диагоналей парал-
лелограмма; угол между диагоналями; работу силы s “ ¯ на пути
¯
¯ “ .
2.Даны вершины пирамиды : p11, 5, 6q, p13, 4, 7q, p8, 5, 10q,
p11, 9, 9q. Найти площадь основания , объем пирамиды, длину высоты .
¯
3. Доказать, что векторы ¯ “ p´5, 1, 7q, “ p3, ´2, 2q, ¯ “ p´1, 2, ´4q
¯
образуют базис. Найти координаты вектора “ p1, 0, ´10q в этом
базисе. Ответ проверить.
4.Дан треугольник : p7, ´2q, p´9, ´14q, p´2, 10q. Сделать чертеж. Найти длину и уравнение стороны , длину и уравнение высоты , уравнение медианы , уравнение биссектрисы . Сделать проверку всех ответов.
5.В условиях задачи 2 найти: уравнение грани ; уравнения высоты
; координаты точки . Все ответы проверить.
90