Индивидуальные задания по линейной алгебре матрицы, определители, системы линейных уравнений. Линейные геометрические объекты. Учебно-методическое пос

Вариант 30

тельной форме. Сравнить полученные результаты.

2.Найти p´2 ` 2 q82, используя формулу Муавра. Результат записать в алгебраической форме.

метить их на комплексной плоскости. Сделать проверку хотя бы для одного значения корня.

тельно получить в одной из строк (в одном из столбцов) не менее двух нулей и затем разложить определитель по этой строке (столбцу).

5.Решить систему линейных уравнений с комплексными коэффициентами методом Крамера, сделать проверку:

#

6.Сформулировать условие, при котором выполнима операция умножения матриц. Найти ¨ , ¨ , если это возможно:

¨˛

61

7. Решить систему линейных уравнений с помощью обратной матрицы,

сделать проверку:

$

’7 ` 8 ` 4 “ 2,

’

&

10 ` 7 ` 4 “ 10,

’

’

%11 ` 12 ` 6 “ 4.

8.Исследовать системы линейных уравнений на совместность, определенность. Решить системы методом Гаусса. Если система неопределенная, записать решение в параметрической форме. Во всех случаях сделать проверку.

’

%

62

Часть 2 Геометрические векторы Прямая на плоскости

Плоскость и прямая в пространстве

Вариант 0

¯

1. На векторах ¯ “ p1, 2, 3q и “ p10, 1, 13q, выходящих из одной точки, построен параллелограмм. Найти: длины диагоналей параллело-

грамма; угол между диагоналями; работу силы s “ ¯ на пути

¯

¯ “ .

Решение.

¯

b

¯

d1

α

¯

d2 a¯

Согласно правилам сложения и вычитания геометрических векторов

раллелограмма можно найти через скалярное произведение между

63

2. Даны вершины пирамиды : p5, 4, ´1q, p3, 7, ´1q,

p2, 4, 3q, p2, 0, ´1q. Найти: площадь основания , объем пирамиды,

Решение

D

Площадь треугольника равна половине площади параллелограмма, построенного на векторах Ě и Ě. А площадь параллелограмма, построенного на двух векторах, равна модулю их векторного произведения. Таким образом, получаем

Найдем координаты векторов Ě и Ě по правилу: «из конца отнять начало».

Ě “ p3 ´ 5, 7 ´ 4, ´1 ´ p´1qq “ p´2, 3, 0q.

Ě “ p2 ´ 5, 4 ´ 4, 3 ´ p´1qq “ p´3, 0, 4q.

Векторное произведение векторов s “ p 1, 2, 3q и s “ p 1, 2, 3q

находится по формуле:

64

Объем пирамиды равен 1{6 объема параллелепипеда, построенного на векторах Ě, Ě, Ě. Объем же параллелепипеда, построенного на трех векторах, равен модулю смешанного произведе-

ния этих векторов. Смешанное произведение векторов ¯ “ p 1, 2, 3q,

¯

“ p 1, 2, 3q, ¯ “ p 1, 2, 3q находится по формуле:

ˇˇ

ˇ1 2 3 ˇˇ ˇ

ˇˇ

ˇ1 2 3 ˇ

Найдем координаты вектора

Ě “ p2 ´ 5, 0 ´ 4, ´1 ´ p´1qq “ p´3, ´4, 0q.

Теперь мы можем найти смешанное произведение

ˇˇ

ˇ ´2 3 0 ˇ

ˇˇ

65

Тогда “ 16 ¨ |´68| “ 343 .

Для нахождения высоты вспомним формулу для объема пирамиды: “ 13 ¨ “ 13 . Значит,

Ответы: “ 172 , “ 343 , “ 4.

¯

3. Доказать, что векторы ¯ “ p3, ´1, 4q, “ p2, 0, 5q, ¯ “ p4, ´2, ´2q

¯

образуют базис. Найти координаты вектора “ p1, ´2, ´7q в этом базисе. Ответ проверить.

Решение. Три вектора в трехмерном пространстве образуют базис тогда, и только тогда (см. [1], п.3.2, пример 4), когда определитель, составленный из координат этих векторов, отличен от нуля. В нашем случае

ˇˇ

ˇˇ

∆ “ ˇˇ ´1 0 ´2 ˇˇ “ 0 ´ 20 ´ 16 ´ 0 ´ 4 ` 30 “ ´10 ‰ 0,

ˇˇ

ˇ4 5 ´2 ˇ

¯

следовательно, векторы ¯, , ¯ образуют базис.

¯ ¯

Координаты вектора в базисе ¯, , ¯— это такие числа , , , что

¯¯

“ ¯ ` ` ¯.

Чтобы найти , , , подставим в последнее равенство вместо векторов столбцы их координат:

66

после преобразования получим:

13 ` 2 ` 4

что равносильно следующей системе линейных уравнений:

$

’3 ` 2 ` 4 “ 1,

’

&

´ ´ 2 “ ´2,

’

’

%4 ` 5 ´ 2 “ ´7.

Систему можно решить любым из известных методов. Мы воспользуемся методом Крамера, для чего вычислим еще три определителя:

ˇˇ

ˇˇ

∆1 “ ˇˇ ´2 0 ´2 ˇˇ “ 0 ´ 40 ` 28 ´ 0 ` 10 ´ 8 “ ´10;

ˇˇ

ˇ ´7 5 ´2 ˇ

ˇˇ

ˇ 3 1 4 ˇ

ˇˇ

∆2 “ ˇˇ ´1 ´2 ´2 ˇˇ “ 12 ` 28 ´ 8 ` 32 ´ 42 ´ 2 “ 20;

ˇˇ

ˇ 4 ´7 ´2 ˇ

ˇˇ

ˇˇ

∆3 “ ˇˇ ´1 0 ´2 ˇˇ “ 0 ´ 5 ´ 16 ´ 0 ` 30 ´ 14 “ ´5.

ˇˇ

ˇ4 5 ´7 ˇ

Тогда по формулам Крамера получаем:

в это равенство вместо векторов их координаты в исходном базисе,

67

преобразуем правую часть равенства:

p1, ´2, ´7q “ p3, ´1, 4q ´ 2 ¨ p2, 0, 5q ` 12 ¨ p4, ´2, ´2q “

“p3, ´1, 4q ´ p4, 0, 10q ` p2, ´1, ´1q “

“p3 ´ 4 ` 2, ´1 ´ 0 ´ 1, 4 ´ 10 ´ 1q “ p1, ´2, ´7q.

Правая часть равенства совпадает с левой, и это означает, что координаты вектора найдены верно.

4.Дан треугольник : p5, 2q, p3, 1q, p´1, 3q. Найти длину и уравнение стороны , длину и уравнение высоты , уравнение медианы , уравнение биссектрисы . Сделать проверку всех ответов.

Замечание. Прежде, чем приступать к решению, сделаем некоторое замечание. Существует несколько видов уравнений прямой на плоскости. Чтобы решение было коротким и понятным, нужно всякий раз выбирать подходящий вид, в котором удобно искать уравнение прямой в данной задаче. Таблицы разных видов уравнений прямой на плоскости содержатся в задачнике [1] и в книжке [3]. В последней книжке подробнейшим образом объясняется, как нужно выбирать подходящий вид и как им пользоваться. Посмотрите решение задачи 1.1 в этой книжке. После такого замечания приступаем к решению.

Решение. Длина есть расстояние между двумя точками и или, по-другому, модуль вектора Ě. Поэтому находим

ˇˇ

“ ˇĚˇ “ |p´1 ´ 3, 3 ´ 1q| “ |p´4, 2q| “

a ? ? ?

“ p´4q2 ` 22 “ 16 ` 4 “ 20 “ 4 5.

Уравнение прямой ищем в виде 5 из таблицы 1 указанного в замечании выше пособия [3]. Это уравнение прямой, проходящей через

68

две данные точки:

Здесь p 1, 1q, p 2, 2q — координаты точек. У нас это координаты точек p3, 1q и p´1, 3q, то есть 1 “ 3, 1 “ 1, 2 “ ´1, 2 “ 3. Вот эти значения и подставляем в (5):

Сокращаем знаменатели на 2 и умножаем «крест накрест»:

1p ´ 3q “ ´2p ´ 1q, ô ´ 3 “ ´2 ` 2,

ô ` 2 ´ 3 ´ 2 “ 0, ô ` 2 ´ 5 “ 0.

Итак, : ` 2 ´ 5 “ 0.

Проверяем, что это именно уравнение . Для этого подставляем в полученное уравнение координаты точек и .

Уравнение

A

B

D

Длину высоты находим как расстояние от точки до прямой

по формуле

Здесь ` ` “ 0 — общее уравнение прямой, 0, 0 — координаты точки. (Не следует путать коэффициенты , , в общем

69

уравнении прямой и обзначения вершин треугольника , , .) В нашем случае высота равна:

Для нахождения уравнения заметим, что эта прямая перпендикулярна вектору Ě “ p´4, 2q. Значит, выбираем в таблице 1 из [3] вид 2, уравнение прямой, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору:

p ´ 0q ` p ´ 0q “ 0.

Здесь , — координаты перпендикулярного вектора, 0, 0 — координаты точки.

Получаем: ´4p ´ 5q ` 2p ´ 2q “ 0.

Сокращаем на p´2q, раскрываем скобки, приводим подобные:

2p ´ 5q ´ p ´ 2q “ 0,

2 ´ 10 ´ ` 2 “ 0,

: 2 ´ ´ 8 “ 0.

Проверяем, что это именно уравнение . Во-первых, полученная прямая должна проходить через точку p5, 2q. Поэтому подставляем в уравнение координаты точки : 2 ¨ 5 ´ 2 ´ 8 “ 0. Во-вторых, полученная прямая должна быть перпендикулярна прямой . Найдем векторы нормали для обеих прямых:

70