Избранные разделы теории упругости. Учебное пособие

УДК 539.3(075) ББК 22.251я7 Р86

Румянцев, С. А.

Р86 Избранные разделы теории упругости : учеб. пособие / С. А. Румянцев. – Екатеринбург : УрГУПС, 2017. – 125, [1] с.

ISBN 978-5-94614-424-7

Учебное пособие охватывает материал спецкурса по теории упругости, который автор в течение ряда лет читал на строительном факультете Уральского государственного университета путей сообщения. Пособие преследует цель адаптировать сложный, насыщенный математическими трудностями материал классического курса теории упругости для преподавания студентам строительных специальностей. Книга предназначена для студентов, магистрантов и аспирантов.

The study guide comprises material of the special course in elastic theory, which was lectured by the author on the construction faculty of the Ural state university of railway transport for a number of years. The guide is aimed at adaptation of the complicated and full of mathematical difficulties material of the classic course of elastic theory for teaching it to the students of the constructing specialities. The book is intended to the students, master’s students and postgraduate students.

Рецензенты: В. В. Стружанов, главный научный сотрудник лаборатории микромеханики материалов, д-р физ.-мат. наук, Институт машиноведения УрО РАН Д. Н. Смердов, заведующий кафедрой «Мосты и тран-

спортные тоннели», канд. техн. наук, УрГУПС

ISBN 978-5-94614-424-7 © Уральский государственный университет путей сообщения (УрГУПС), 2017

ОГЛАвЛЕНИЕ

3

4

ПРЕДИСЛОвИЕ

Настоящая книга содержит избранные разделы теории упругости и написана на основе спецкурса, читавшегося автором на протяжении нескольких лет студентам ряда специальностей строительного факультета Уральского государственного университета путей сообщения.

Цель книги – помочь студентам освоить аналитические и численные методы теории упругости и показать их применение при решении практически важных задач. Среди таких задач особенно стоит отметить расчет балок-стенок и расчет тонких плит (пластин). Все расчеты приведены в Международной системе единиц (СИ).

Курс должен подготовить студентов к самостоятельному решению простых задач, а также к изучению специальной литературы по более сложным вопросам.

5

ввЕДЕНИЕ

§ 1. Теория упругости, ее место среди других дисциплин

Теория упругости (наряду с теорией пластичности и ползучести) представляет собой раздел механики деформируемого твердого тела (МДТТ), который в свою очередь является крупным разделом механики сплошных сред. Механика деформируемого твердого тела и, в частности, теория упругости изучает деформации в твердом теле, вызванные физическими воздействиями на него, а также внутренние силы, возникающие при этих воздействиях, как в состоянии покоя, так и в состоянии движения.

Аналогичные задачи решаются в сопротивлении материалов. Однако между теорией упругости и сопротивлением материалов имеются существенные различия. В сопротивлении материалов рассматриваются приближенные теоретические методы, основанные на существенных кинематических и статических упрощениях (например, гипотеза плоских сечений Бернулли). При этом основным объектом сопротивления материалов являются элементы стержневых конструкций.

В теории упругости (как и вообще в МДТТ) рассматриваются тела произвольной формы, и для разработки расчетных методов используется математический аппарат более строгий, чем в сопротивлении материалов. Это позволяет рассматривать задачи, которые не могут быть решены методами сопротивления материалов. Более того, методами теории упругости можно оценить точность решения задач, рассматриваемых в сопротивлении материалов. Оказывается, что гипотеза Бернулли удовлетворительна для практических расчетов балок на изгиб только в тех случаях, когда размеры сечения балки малы по сравнению с пролетом. Если высота сечения балки того же порядка, что и пролет (например в балках-стенках), то гипотеза Бернулли уже не применима. Напряжения в этом случае изменяются по нелинейному закону. На рисунке приведен примерный вид эпюры напряжений в сечении балки-стенки. Решение такой задачи может быть осуществлено только методами теории упругости.

6

Нельзя сказать, что теория упругости совершенно свободна от всяких гипотез. В основе ее лежит представление об идеально упругом теле, т. е. теле, обладающем рядом свойств, которые реальным телам не присущи. Такие гипотетические свойства позволяют упростить математические соотношения теории упругости. В то же время их введение равносильно пренебрежению величинами весьма малыми по сравнению с теми, которые играют решающую роль в расчетах.

§ 2. Гипотезы и принципы теории упругости

Современное состояние науки не дает возможности создать общие методы расчета, учитывающие все особенности реальных тел. Поэтому теория упругости строит все свои выводы на некоторой модели деформируемого твердого тела, называемой, как было сказано выше, идеально упругим телом. Рассмотрим основные свойства, которыми наделяется эта модель, или, иначе говоря, основные гипотезы и принципы теории упругости.

Основные гипотезы теории упругости 1. Гипотеза о сплошности строения упругого твердого тела. Пред-

полагается, что материал, из которого состоит твердое тело, непрерывно распределен по его объему.

В действительности все тела имеют молекулярное строение, но размеры молекул и расстояния между ними ничтожно малы по сравнению с размерами упругого тела. Пренебрежение молекулярным строением тела позволяет рассматривать деформации и перемещения

7

точек тела как непрерывные функции координат, которые можно дифференцировать, интегрировать и т. д.

2.Гипотеза однородности упругого твердого тела предполагает, что материал упругого тела во всех точках этого тела имеет одинаковые физические свойства.

3.Гипотеза изотропности упругого твердого тела предполагает, что его упругие свойства одинаковы во всех направлениях.

4.Гипотеза идеальной упругости предполагает выполнение двух условий:

во-первых, все тела полностью восстанавливают свою первоначальную форму и первоначальные размеры после устранения всех внешних воздействий;

во-вторых, зависимость между напряжениями и деформациями линейна (закон Гука).

5.Гипотеза о первоначально ненапряженном состоянии упругого тела предполагает, что до приложения к телу внешних усилий

внем не было никаких напряжений. Это предположение исключает из рассмотрения начальные напряжения, характер и величина которых, как правило, не известны и зависят от истории возникновения тела.

Реальные тела в той или иной степени отличаются от рассматриваемой модели. Поэтому приемлемость решений, получаемых в теории упругости для реальных тел, зависит от того, насколько эти тела можно считать вполне упругими, сплошными, однородными и изотропными.

Рассмотрим основные принципы теории упругости.

1.В теории упругости считается, что перемещения точек тела малы по сравнению с его линейными размерами, а относительные удлинения и углы сдвига малы по сравнению с единицей. Малость перемещений и линейная зависимость напряжений и деформаций позволяют применить принцип независимости действия сил.

Этот принцип дает возможность подсчитать результат воздействия на тело системы сил путем сложения результатов воздействия каждой силы в отдельности.

2.При решении задач теории упругости большое значение имеет принцип Сен-Венана, или принцип локальности эффекта самоуравновешенных нагрузок. Согласно этому принципу в точках, достаточно удаленных от места приложения внешних нагрузок, напряжения почти не зависят от того, как именно приложены эти нагрузки. Например, напряжения в балках, изображенных на рисунке, будут раз-

8

личны в области А. В то же время, вне этой области во всех трех случаях напряжения мало отличаются друг от друга.

P

А

P

P/2

А

P/2

На основании принципа Сен-Венана нагрузку, распределенную по небольшой части поверхности тела, можно заменять сосредоточенной силой.

9

Глава i

ОСНОвНЫЕ СООТНОШЕНИЯ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ

§ 1. Силы и напряжения

Все внешние силы, действующие на твердое тело, можно разбить на две группы, отличающиеся своей природой: поверхностные и объемные.

Поверхностные силы возникают в результате контакта тел. Они распределены по поверхности тела. Их называют также контактными силами, а задачи по их определению – контактными задачами.

Поверхностные силы характеризуются интенсивностью, т. е. значением силы, приходящейся на единицу площади поверхности, по которой распределена данная сила. Если размеры этой площади малы по сравнению с размерами тела, то такой площадью можно пренебречь и считать, что сила приложена в точке. Такую силу называют сосредоточенной.

Объемные силы действуют в каждой точке тела. К ним относятся сила тяжести, силы инерции и т. д.

Для исследования внутренних сил, возникающих в теле, применяется метод сечений. Твердое тело мысленно рассекается произвольной плоскостью на две части, и одна из них отбрасывается. Положение плоскости сечения в пространстве определяется направлением вектора нормали n, внешней по отношению к оставшейся части тела (рис. 1.1).

Действие отброшенной части можно заменить силой F, приложенной к центру тяжести сечения, и парой сил с моментом M. Усилия F и M представляют собой равнодействующие элементарных сил F по всем бесконечно малым площадям A, на которые можно раз-

бить рассматриваемое сечение.

Интенсивность внутренних сил называется напряжением, поэтому отношение F/(ΔA) будет средним напряжением на площади A. Переходя к пределу при A, стремящемся к нулю, получим истинное, или полное, напряжение в данной точке на площадке с нормалью n:

10