Избранные разделы теории упругости. Учебное пособие

Эти уравнения содержат 15 неизвестных функций координат:

σx (x, y,z), σy (x, y,z), σz (x, y,z), τxy (x, y,z), τyz (x, y,z), τxz (x, y,z), εx (x, y,z), εy ,(x, y,z), εz (x, y,z), γxy (x, y,z), γyz (x, y,z), γxz (x, y,z), u(x, y,z), v(x, y,z), w(x, y,z).

Для отыскания этих функций мы располагаем 15 уравнениями: тремя уравнениями равновесия (1.30), шестью геометрическими соотношениями Коши (1.32) и шестью формулами обобщенного закона Гука (1.34). С математической точки зрения задача может быть решена и сводится к интегрированию указанных 15 уравнений при удовлетворении условий на поверхности (1.31).

Решение этих уравнений можно вести различными способами в зависимости от того, какие величины приняты за основные неизвестные.

1.Решение в перемещениях, когда за неизвестные приняты три составляющих перемещения: u(x, y,z), v(x, y,z), w(x, y,z).

2.Решение в напряжениях, когда за неизвестные приняты составляющие напряжений:

σx (x, y,z), σy (x, y,z), σz (x, y,z), τxy (x, y,z), τyz (x, y,z), τxz (x, y,z) .

3.Решение в смешанной форме, когда за неизвестные приняты некоторые составляющие перемещений и некоторые составляющие напряжений.

Следует, впрочем, отметить, что решение пространственной задачи теории упругости сталкивается с настолько значительными математическими трудностями, что в аналитическом виде удалось получить точные решения лишь для нескольких типов задач. В основном приходится использовать приближенные и численные методы решения. В настоящее время разработано немало программных продуктов, позволяющих осуществлять подобные расчеты при самых общих

исложных способах нагружения исследуемых упругих тел.

В нашем курсе мы не будем рассматривать решения пространственных задач из-за их громоздкости. Мы сосредоточим внимание на двух важных для студентов строительных специальностей частных случаях:

1.Плоские задачи теории упругости.

2.Изгиб тонких плит.

31

Глава ii

ПЛОСКИЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ

§ 1. Два типа плоских задач теории упругости

Вообще говоря, все реальные тела имеют протяженность в трех измерениях, и, казалось бы, плоская задача на практике не имеет смысла. Однако это не так, и целый ряд задач теории упругости может быть сведен к плоским.

Существует два типа плоских задач – плоское напряженное состояние и плоская деформация.

С плоским напряженным состоянием мы встречаемся, если тонкая пластинка (рис. 2.1) несет нагрузку, приложенную по ее контуру и лежащую в плоскости пластинки. При этом внешние силы следует считать равномерно распределенными по толщине пластинки и также действующими в ее плоскости.

y

z

Рис. 2.1

В этом случае напряжения σz ,τyx ,τxz на основаниях пластинки равны нулю. Вследствие малой толщины пластинки эти напряжения можно считать равными нулю по всему ее объему. Остальные напряжения также не могут заметно измениться при переходе от одной граничной плоскости к другой. Их можно считать равномерно

32

распределяющимися по толщине пластинки и не зависящими от координаты z. Все явление протекает как бы в одной плоскости xOy.

Однако под действием возникших напряжений пластинка будет деформироваться в направлении оси Oz, и в зависимости от действия внешних сил утолщаться или утончаться.

Таким образом, при плоском напряженном состоянии в направлении оси, перпендикулярной плоскости пластинки, нет напряжений, но возможны деформации ( σz = 0; εz ≠ 0 ).

Одним словом, возникает следующее напряженное состояние:

σz = τyx = τxz = 0, σx = σx (x, y), σy = σy (x, y), τxy = τxy (x, y). (2.1)

Плоская деформация имеет место тогда, когда упругое тело в направлении оси Oz, наоборот, очень большого размера. Поперечные же сечения тела в плоскостях, перпендикулярных этой оси, одинаковы. При этом нагрузки действуют в плоскостях, параллельных xOy,

ине зависят от координаты z.

Втаких условиях находится, например, длинная подпорная стенка, подвергающаяся со стороны грунта давлению, равномерному по длине стенки, или плотина (рис. 2.2).

Рис. 2.2

В этом случае можно вырезать двумя бесконечно близко расположенными плоскостями элемент в виде очень тонкой пластинки и исследовать только его, так как все прочие такие же элементы будут в таких же условиях (за исключением элементов у концов стенки).

33

Опять получим плоскую задачу, так как явление будет протекать в одной плоскости. Напряжения должны распределяться равномерно по толщине пластинки и действовать в плоскости xOy.

Однако этот случай существенно отличается от предыдущего. Поперечные деформации пластинки в направлении оси Oz невозможны, так как им препятствуют соседние пластинки, находящиеся точно в таких же условиях. Но тогда в направлении оси Oz возникают нормальные напряжения.

Итак, при плоской деформации в направлении оси, перпендикулярной плоскости пластинки, нет деформаций, но возможны на-

пряжения ( σz ≠ 0; εz = 0 ).

Следует обратить внимание, что в обеих плоских задачах мы рассматриваем в результате очень тонкую пластинку, на которую все поверхностные внешние силы действуют только по ее контуру. В связи с этим, условия на поверхности являются, фактически, условиями на контуре пластинки.

Рассмотрим более подробно, как упрощаются уравнения теории упругости в случаях плоской деформации и плоского напряженного состояния, в чем сходство и различие получающихся в этих случаях соотношений.

§ 2. Плоская деформация

При плоской деформации перемещения в упругом теле происходят только параллельно плоскости xOy:

Подставляя составляющие перемещения (2.2) в формулы Коши (1.32), получаем

34

Из третьей формулы закона Гука (1.34) при отсутствии деформации εz следует, что

εz =[σz −ν(σx +σy )]E = 0,

откуда

Таким образом, для случая плоской деформации закон Гука принимает вид:

Из анализа формул (2.3) – (2.5) следует, что при плоской деформации все напряжения являются функциями двух координат:

τyx = τxz = 0, σx = σx (x, y), σy = σy (x, y),

τxy = τxy (x, y), σz = σz (x, y).

Добавим, что из уравнений равновесия (1.30) остаются только два:

Третье – обращается в тождество.

35

Так как в двумерном случае третий направляющий косинус m = 0, то из условий на поверхности (1.31) остаются только два условия на контуре:

Из шести уравнений неразрывности деформаций (1.33) остается только одно:

а остальные превращаются в тождества.

§ 3. Плоское напряженное состояние

Как уже было сказано, при плоском напряженном состоянии выполняются соотношения (2.1). Заметим, что в отношении напряжений плоское напряженное состояние отличается от плоской деформации лишь условием σz = 0. Переходя к деформациям, получаем с помощью третьей формулы закона Гука (1.34), что составляющая

εz = −ν(σx +σy )E

не равна нулю.

Исходя из (2.1) очевидно, что уравнения равновесия, условия на контуре, геометрические соотношения и уравнение неразрывности деформаций будут иметь такой же вид, как и в случае плоской деформации – (2.6), (2.7), (2.3) и (2.8) соответственно.

Формулы закона Гука при плоском напряженном состоянии принимают, с учетом (2.1), следующий вид:

36

§ 4. Сводка уравнений для плоских задач теории упругости

Сделаем сводку формул, полученных в предыдущих параграфах главы (отметив при этом звездочками номера формул, приводимых вторично).

А. Статические уравнения У р а в н е н и я р а в н о в е с и я

У с л о в и я н а к о н т у р е

Б. Геометрические уравнения С в я з ь м е ж д у п е р е м е щ е н и я м и и д е ф о р м а ц и я м и

37

Таким образом, при решении плоских задач теории упругости необходимо найти восемь функций σx (x, y), σy (x, y), τxy (x, y),

εx (x, y), εy (x, y), γxy (x, y), u(x, y),v(x, y), удовлетворяющих восьми уравнениям (2.6), (2.10), (2.9) или (2.6), (2.10), (2.5), а также услови-

ям на контуре (2.7).

Это очень сложно, поэтому естественно попытаться ввести упрощения. Эти упрощения естественным образом связаны с выбором способа решения задачи. В конце первой главы мы уже говорили, что задачу теории упругости можно решать в перемещениях, в напряжениях и комбинированным методом.

Будем рассматривать в дальнейшем метод решения плоских задач в напряжениях. В этом случае естественно начать сокращение числа определяемых функций с исключения перемещений. Это позволяет сделать уравнение неразрывности деформаций

Как мы уже говорили, это уравнение называют также уравнением совместности деформаций или даже просто уравнением совместности. Будем далее для краткости называть его так.

38

Если заменить уравнения (2.10) одним уравнением (2.7), то у нас остается только шесть уравнений: (2.6), (2.8) и (2.9) или (2.5).

В эти уравнения входит шесть функций σx (x, y), σy (x, y), τxy (x, y), εx (x, y), εy (x, y), γxy (x, y) . Но и такая задача еще слишком сложна. Пойдем дальше по пути упрощений.

§ 5. Уравнение совместности в напряжениях

Так как мы ищем решение задачи в напряжениях, то естественно уменьшить число совместно решаемых уравнений, исключив из них деформации. Этого можно достигнуть, если преобразовать уравнение совместности, выразив в нем деформации через напряжения в соответствии с формулами (2.9) или (2.5). Тогда получим уравнение совместности в напряжениях.

Рассмотрим сначала случай плоского напряженного состояния. Подставим выражения для деформаций (2.9) в уравнение совместности (2.8):

Исключим из этого уравнения касательное напряжение τxy. Для этого продифференцируем первое уравнение равновесия (2.6) по x, а второе – по y и сложим их. Получим:

Если объемные силы не зависят от координат (например, если объемной силой является собственный вес, а упругое тело однородно), то

39

Здесь 2 (читается «набла два») – оператор лапласа второго порядка. Он показывает, что нужно взять вторые производные от скобки (σx +σy ) отдельно по x и по y и сложить их.

В случае плоской деформации в уравнение совместности (2.8) нужно подставить соотношения закона Гука в виде (2.5). Однако и в этой задаче, если объемные силы не зависят от координат, выполняется условие (2.13), и уравнение совместности примет после преобразований вид (2.16).

Таким образом, решение плоской задачи теории упругости в напряжениях сведено к интегрированию трех уравнений

содержащих три неизвестные функции σx (x, y), σy (x, y), τxy (x, y), при обязательном удовлетворении граничных условий на контуре (2.7).

40