Избранные разделы теории упругости. Учебное пособие

Глава iV

ИЗГИБ ТОНКИХ ПЛИТ (ПЛАСТИНОК)

§ 1. Основные понятия и гипотезы

Тонкими плитами, или пластинками, называются упругие тела, у которых два размера намного больше третьего (толщины). Толщину (или высоту) пластинки будем обозначать буквой h.

Плоскость, делящая пластинку пополам по толщине, называется срединной плоскостью пластинки (рис. 4.1). При изгибе пластинки срединная плоскость превращается в изогнутую поверхность. линия пересечения боковой поверхности пластинки со срединной плоскостью называется контуром пластинки.

0

x

Срединная

плоскость

h

Рис. 4.1

Для исследования деформаций пластинки введем прямоугольную систему координат так, чтобы плоскость xOy совпадала со срединной плоскостью, а ось Oz была направлена вниз.

Нагрузку будем считать распределенной по верхней поверхности пластинки и параллельной оси Oz.

Под прогибами пластинки будем понимать перемещения точек срединной плоскости в вертикальном направлении.

Задача об изгибе пластинки является пространственной задачей, но так как толщина пластинки мала по сравнению с размерами

81

пластинки по двум другим направлениям, можно вполне пренебречь некоторыми факторами и ввести допущения, значительно упрощающие теорию.

Введем такие допущения.

1. Гипотеза прямых нормалей: любой прямолинейный элемент, нормальный к срединной плоскости, остается прямолинейным и нормальным к срединной плоскости после деформирования пластинки и длина его не изменяется.

любой прямолинейный элемент, нормальный к срединной плоскости, направлен вдоль оси Oz, и, следовательно, первая часть гипотезы предполагает, что прямые углы между этим элементом и осями Ox, Oy остаются прямыми. Следовательно, сдвиги в соответствующих плоскостях отсутствуют:

Гипотеза о сохранении длины прямолинейного элемента предполагает, что линейная деформация в направлении оси Oz отсутствует:

2. Гипотеза о недеформируемости срединной плоскости: срединная плоскость не деформируется, а только изгибается, деформации растяжения, сжатия и сдвига в вертикальных сечениях на уровне срединной плоскости равны нулю. Точки срединной плоскости перемещаются только вертикально. Горизонтальные перемещения настолько малы (при небольших деформациях), что ими можно пренебречь:

3. Гипотеза об отсутствии давления между слоями пластинки, параллельными срединной плоскости. Согласно этой гипотезе во всех точках пластинки

Аналогичное допущение принималось в сопротивлении материалов в теории изгиба балок.

82

§ 2. Перемещения и деформации в пластинке

Исследование изгиба пластинки начнем с определения перемещений и деформаций в произвольной точке пластинки. Рассмотрим пластинку, к которой приложена нагрузка, перпендикулярная срединной плоскости пластинки. Под действием этой нагрузки точки пластинки получат перемещения. Для определения этих перемещений обратимся к принятым гипотезам.

Подставляя условие (4.2) в третью из формул (1.17), получаем

εz = ∂∂wz = 0,

из чего следует, что прогибы пластинки w не зависят от координаты z, т. е.

w =w(x, y).

Это значит, что все точки пластинки, лежащие на одной вертикали, получают одинаковые вертикальные перемещения (это справедливо, разумеется, только в случае малых деформаций пластинки). Тогда для определения вертикальных перемещений всех точек пластинки достаточно знать лишь прогибы ее срединной плоскости.

Подставляя условия (4.1) в (1.17), получаем

γyz = ∂∂v + ∂∂w = 0; z y

γxz = ∂∂wx + ∂∂uz = 0.

Отсюда находим производные составляющих перемещения u и v:

83

Функции f1(x,y) и f2(x,y), появившиеся при интегрировании дифференциальных уравнений в частных производных (4.5), определим, используя соотношения (4.3). Получаем при z = 0:

u0 = f1(x, y) = 0; v0 = f2 (x, y) = 0.

Тогда формулы (4.6) принимают вид

Таким образом, составляющие перемещения точек пластинки в направлениях осей x и y выражены через функцию прогибов срединной плоскости и координату z.

Отличные от нуля составляющие деформации находим, подставляя в соотношения (1.17) выражения (4.7):

Составляющие деформации (4.8), так же как и составляющие перемещений в направлениях осей x и y, выражены через функцию прогибов срединной плоскости пластинки и координату z.

§ 3. Напряжения в пластинке

Воспользуемся двумя первыми формулами закона Гука (1.34), отбросив на основании (4.4) σz. Тогда для нормальных напряжений σx и σy получим:

Выразим напряжения через деформации. Для этого умножим второе равенство (4.9) на ν:

84

Четвертая формула закона Гука после подстановки (4.8) принимает вид:

Касательные напряжения в двух других плоскостях, согласно (4.1), обращаются в нуль:

τyz = 2(1E+ν) γyz = 0; τzx = 2(1E+ν) γzx = 0.

Следует понимать, что такой результат получен только вследствие принятых ранее гипотез (выражения (4.1)). В действительности

85

эти касательные напряжения не равны нулю, так как это противоречит условиям равновесия. В то же время, величины напряжений τyz и τzx могут быть определены с помощью уравнений равновесия. Рассмотрим первое из уравнений (1.30). Из него находим, пренебрегая объемными силами,

Для определения произвольной функции f3(x,y) воспользуемся следующими граничными условиями: на верхней и нижней границах пластинки нет касательных нагрузок, т. е. при z = ±h 2 τzx = 0. Подставляя эти условия в выражение (4.14), получаем

86

Подставляя ее в (4.14), получаем

Аналогично из второго уравнения (1.30) получаем

Итак, в сечениях пластинки, перпендикулярных ее срединной плоскости, возникают следующие напряжения:

§ 4. Усилия в пластинке

Исследуем, какие усилия соответствуют напряжениям (4.15) в сечениях пластинки, перпендикулярных к ее срединной плоскости. На рис. 4.2 изображен бесконечно малый элемент пластинки, вырезанный такими сечениями.

Рассмотрим сначала площадку с нормалью, параллельной оси Ox. По ней действуют составляющие напряжений σx, τyx и τzx. На рисунке показаны положительные напряжения: нормальное напряжение σx направлено по внешней нормали к сечению, а касательные – в положительном направлении соответствующих координатных осей, поскольку внешняя нормаль к сечению совпадает с положительным направлением оси Ox.

87

Обозначим через Nx нормальную силу, приходящуюся на единицу ширины рассматриваемого сечения. Она равна проекции на ось Ox равнодействующих внутренних сил, в сечении с нормалью, параллельной оси Ox. На эту ось проецируется только нормальное напряжение σx. Соответствующая ему внутренняя сила на бесконечно малой площадке dydz равна σxdydz, а на единице ширины сечения приходится сила σx dz. Суммируя эти элементарные силы по толщине пластинки, получаем выражение нормальной силы

h

N x = ∫2 σx dz.

−h2

Подставив сюда нормальное напряжение σx из (4.15) и вынеся за знак интеграла величины, не зависящие от координаты z, получаем:

h

E ∂2w ∂2w 2

N x = −(1−ν2 ) ∂x 2 +ν ∂y2 −∫h2 zdz.

88

Под знаком интеграла стоит нечетная функция, а пределы интегрирования отличаются только знаком. Поэтому интеграл равен нулю и, следовательно, нормальная сила

называется цилиндрической жесткостью. Она является физико-ге- ометрической характеристикой пластинки при изгибе и отличается от принимаемой в расчете балок жесткости EJ знаменателем (1 – ν2). Отсюда следует, что пластинка всегда имеет большую жесткость, чем соответствующее количество расположенных рядом балок.

Поперечная сила в том же сечении

h

Qx = ∫2 τzx dz.

−h2

Подставим в этот интеграл выражение для τzx из (4.15):

h

E ∂ 2 h2

Qx = −2(1−ν2 ) ∂x 2w−∫h2 4 −z 2 dz.

После интегрирования получаем

89

Сдвигающую силу Sx находим, суммируя проекции внутренних сил в том же сечении на ось Oy:

h

Sx = ∫2 τyx dz.

−h2

После подстановки касательного напряжения τxy = τyx из формул (4.15)

Аналогично определяются усилия в сечении с нормалью, параллельной оси Oy (рис. 4.2):

Таким образом, под действием нагрузки, приложенной к верхней стороне пластинки, в сечениях, перпендикулярных ее срединной плоскости, возникают изгибающие моменты Mx, My, поперечные силы Ox, Oy и крутящий момент H, задаваемые формулами (4.17) – (4.23). Все они выражены через прогибы срединной плоскости, и по их значениям можно вычислить напряжения в любой точке пластинки.

90