Избранные разделы теории упругости. Учебное пособие

Нормальные усилия приложены только к правому концу (рис. 3.9). Касательные усилия равномерно распределены вверху и внизу и изменяются по квадратичному закону справа и слева.

Рис. 3.9

Получив ряд элементарных решений, мы можем приступить к конструированию решений более сложных задач, представляющих практический интерес.

§ 2. Изгиб консоли силой, приложенной на конце

Пусть мы имеем консольную балку прямоугольного сечения шириной, равной единице, нагруженную вертикальной силой P на ее конце (рис. 3.10).

y

Рис. 3.10

Нагрузку, разумеется, нельзя считать сосредоточенной, так как в месте ее приложения возникли бы бесконечно большие напряжения.

51

Будем предполагать, что нагрузка осуществляется касательными усилиями, приложенными на свободном конце.

Начало координат примем в середине левого сечения. Ось Ox направим вправо, ось Oy – вверх (рис. 3.10).

Функция напряжений

Условия на контуре требуют искать такое решение, при котором верхняя и нижняя поверхности консоли не несут нагрузок. Следовательно, для них должны выполняться условия σy = 0, τxy = 0. По левому же свободному концу приложены касательные усилия.

Среди приведенных выше простейших решений такого нет. Попробуем скомбинировать их.

Нас могут удовлетворить такие решения, при которых к левому свободному концу приложены только касательные усилия. Таковыми являются решения (2) и (6). Однако решение (6) в данном случае не подходит, так как при нем по верхней и нижней поверхности приложены касательные усилия, направленные в одну и ту же сторону. Другого же решения с направлением касательных усилий в одну сторону, которое можно было бы наложить на решение (6) для компенсации, – нет.

Остается решение (2), соответствующее чистому сдвигу, но его надо дополнить решением, при котором касательные усилия вверху и внизу направлены в разные стороны. Таких решений два – (5) и (8), но (5) отпадает из-за нормальных усилий вверху и внизу. Это приводит нас к заключению, что в качестве функции напряжений следует взять комбинацию решений (2) и (8).

Тогда функция напряжений имеет вид:

Напряжения

Напряжения в этом случае:

52

Неизвестные пока коэффициенты b2 и d4 могут быть определены из условий на контуре.

Условия на контуре

При выбранном выражении для функции напряжений (3.14) нор-

Таким образом, мы получили два уравнения для определения коэффициентов b2 и d4:

−b2 − 34 d4h2 = 0;

−b2h − d44 h3 = P.

Из этих уравнений получаем:

53

Напряжения в окончательном виде

После подстановки значений (3.18) в (3.15) напряжения равны:

σx =12hP3 xy;

σy = 0;

Замечая, что момент инерции прямоугольного сечения балки

J =112h ,

получим

Сравним эти результаты с теми, которые дает сопротивление материалов. Обратим внимание, что (–Px) – изгибающий момент, а вы-

54

Результаты сходятся с теми, которые дает сопротивление материалов.

Следует заметить, что по нашим предположениям сила Р осуществлялась касательными усилиями, распределение которых соответствовало формуле, выведенной для τху. При другом способе приложения нагрузки решение будет другим. Однако, разница в результатах будет существенной только в сечениях, близких к свободному концу консоли, и по принципу Сен-Венана не будет заметной на достаточном расстоянии от него.

Деформации

Покажем на данном примере приемы для определения деформаций и перемещений.

Все сделанные до сих пор выкладки и рассуждения справедливы для любой плоской задачи. Однако с данного момента мы должны четко определить, с какой задачей мы имеем дело: с плоской деформацией или с плоским напряженным состоянием.

При малой толщине полосы по сравнению с ее высотой можно считать, что для нее больше подходит плоское напряженное состояние. В этом случае деформации должны определяться по формулам (2.9), при условии, что σy = 0:

55

Перемещения

Для определения перемещений следует использовать формулы (2.10). Это дает:

εx = ∂∂ux = EJP xy;

εy = ∂∂vy = −νEJP xy;

Интегрируя первое уравнение (3.23) по x, найдем u:

Интегрируя второе уравнение (3.23), найдем υ:

Здесь f(y) и F(x) – произвольные функции, появляющиеся при интегрировании. Для их определения воспользуемся третьим уравнением (3.23):

Поскольку координаты x и y независимы друг от друга, выражения в квадратных скобках должны быть по отдельности равны некоторым постоянным величинам A и B, удовлетворяющим условию

56

В этом случае мы получаем два уравнения:

Постоянные A, B, C и D могут быть определены из условий закрепления консоли.

В месте закрепления должно быть u = 0,v = 0 для любых значений y. Однако удовлетворить таким условиям при помощи полиномов нельзя. Для этого требуется иное, более сложное решение. Поэтому ограничимся требованием, чтобы оставалась неподвижной точка K в середине опорного сечения (см. рис. 3.10). При этом остается некоторая неопределенность, поскольку из-за касательных напряжений в месте заделки должен искажаться прямой угол.

Можно поступить двояко: или считать, что горизонтальный элемент оси заделки неподвижен и не поворачивается в точке K, тогда

57

∂∂vx = 0,

или считать, что не поворачивается вертикальный элемент в той же точке, тогда

∂∂uy = 0.

Остановимся на втором условии. При этом условии выше и ниже точки K точки опорного сечения могут иметь горизонтальные перемещения. Опорное сечение деформируется, как показано на рис. 3.11.

K

Рис. 3.11

При принятых предположениях мы, конечно, получаем только приближенное решение, и напряжения в области заделки консоли будут отличаться от найденных выше. Но это отличие на достаточно больших расстояниях от места заделки вследствие принципа СенВенана будет очень мало.

Итак, должны удовлетворяться условия

Подставляя значения x =l, y = 0 в формулы (3.29), найдем:

D = 0;

58

Далее

∂∂uy = 2EJP x 2 + 2νEJP y2 − 2GJP y2 +B.

Окончательно получаем функции для перемещений в виде:

Перемещение u зависит от y в третьей степени. Отсюда ясно, что поперечные сечения не остаются при деформировании плоскими и искривляются.

59

Уравнение упругой кривой, иначе говоря, уравнение оси балки после деформации, получим, положив y = 0 в формуле для υ:

Знаки минус объясняются тем, что ось Oy мы направили вверх. Первое слагаемое соответствует решению, даваемому сопротивлением материалов. Второе – представляет собой добавку, вызванную влиянием поперечной силы. Вклад этой добавки в величину прогиба тем меньше, чем больше отношение длины балки к ее высоте.

§ 3. Метод конечных разностей (метод сеток)

Рассмотрим теперь один из наиболее простых численных методов решения задач теории упругости – метод конечных разностей (часто называемый также методом сеток). Суть этого метода заключается в том, что он позволяет заменить решение дифференциального уравнения (в плоском случае это бигармоническое уравнение) решением системы линейных алгебраических уравнений. Это удается сделать благодаря замене частных производных конечными разностными соотношениями. Отсюда и название метода.

Установим зависимости между производными функции в произвольной точке и значениями самой функции в этой и в соседних точках. На рис. 3.12 изображена кривая y = y(x) и показаны пять точек, абсциссы которых отличаются на малую величину x. По определению, производная функции y(x) в точке i равна (см. рис. 3.12):

60