Избранные разделы теории упругости. Учебное пособие

Уравнение эллипса, ограничивающего пластинку:

где С – постоянный коэффициент, значение которого мы определим из условия выполнения уравнения Софи Жермен (4.31). Мы не могли бы взять выражение в скобках в первой степени, так как тогда четвертые производные равнялись бы нулю и уравнение (4.31) не удовлетворялось бы.

Покажем, что функция прогибов в виде (5.2) удовлетворяет граничным условиям, соответствующим заделке. Действительно, поскольку в выражение (5.2) входит как сомножитель левая часть уравнения эллипса, то сразу видно, что на контуре w = 0. Кроме того, первые производные функции w(x, y) имеют вид:

В оба выражения опять-таки входит в качестве сомножителя левая часть уравнения эллипса (5.1). Следовательно, везде по контуру

∂∂wx = 0 и ∂∂wy = 0.

Итак, функция прогибов в виде (5.2) при всех значениях параметра С автоматически удовлетворяет условиям заделки.

Определим теперь значение константы С, при котором удовлетворяется дифференциальное уравнение (4.31).

101

Полученное решение является точным в рамках сделанных предположений (см. § 1 главы IV). Теперь мы можем вычислить все интересующие нас величины (см. § 9 главы IV).

Наибольший прогиб будет в центре эллипса, в точке (0, 0). Он численно равен С. Теперь становится ясен физический смысл коэффициента С – величина максимального прогиба пластинки.

102

Найдем моменты в направлении оси Ox:

Если пластинка круглая, то a = b = r. Тогда максимальный прогиб в центре круга равен

Изгибающий момент в центре пластинки

§2. Расчет прямоугольной плиты (пластины)

спомощью тригонометрических рядов

Получить решение в замкнутой форме, как в предыдущем параграфе, удается лишь в редких случаях. В частности, для прямоугольной пластинки получить такое решение не удается. Его приходится искать в виде бесконечного ряда.

103

Рассмотрим шарнирно опертую по всему контуру прямоугольную пластинку с равномерно распределенной по всей пластинке нагрузкой q (рис. 5.1).

Начало координат расположим в углу пластинки. Размер пластинки в направлении оси Ox равен a, а в направлении оси Oy – b.

y

Рис. 5.2

Для шарнирно опертой по контуру пластинки должны выполняться следующие граничные условия:

Этим условиям удовлетворяют члены двойного тригонометрического ряда

Двойной ряд (5.12) представляет собой бесконечную сумму слагаемых, каждое из которых само является бесконечным рядом.

104

Для нахождения коэффициентов Amn, зависящих от порядковых номеров членов ряда, используем основное уравнение (4.31). Сначала вычислим производные:

Подставим полученные выражения в основное уравнение (4.31):

105

или

Для того чтобы получить выражения для коэффициентов Amn, надо правую часть уравнения (5.14) разложить в двойной ряд по синусам тех же углов, что и в левой части. Для этого воспользуемся известной из математики формулой

где индекс m принимает только нечетные значения: m =1, 3, 5, … Соотношение (5.15) выполняется для любых значений ψ в преде-

лах от 0 до 2π. В нашем случае ее можно переписать так