Избранные разделы теории упругости. Учебное пособие

§ 5. выражения напряжений через усилия

Сравнивая выражения нормальных напряжений (4.15) с выражениями изгибающих моментов (4.17), (4.22), получаем

Формулы (4.24) соответствуют формулам, выведенным в курсе сопротивления материалов, для определения нормальных напряжений при изгибе балки прямоугольного сечения. В них входит момент инерции площади прямоугольного сечения единичной ширины

J =bh3 / 12 = h3 / 12. Таким образом, формулы (4.24) принимают вид

σx = MJx z ; σy = MJy z .

Максимальные по абсолютной величине нормальные напряжения возникают на нижней и верхней поверхностях пластины, при

z = ±h2 :

Здесь W = h2/6 – момент сопротивления прямоугольного сечения единичной ширины.

Из сравнения формул (4.15) и (4.21) τxy =12Мh3xy z .

Максимальные касательные напряжения τxy возникают тоже на нижней и верхней поверхностях пластины, при z = ±h2 :

Вертикальные касательные напряжения определяются из сравнения (4.15) и (4.19), (4.22):

τzx =6Qx (h2 4 −z 2 )h3; τyz =6Qy (h2 4 −z 2 )h3 .

91

Максимальных значений эти напряжения достигают в точках срединной плоскости, т. е. при z = 0:

max τzx =1,5Qx h;

§ 6. Уравнения равновесия

Итак, напряжения и усилия в пластинке выражаются через прогибы ее срединной плоскости. Следовательно, для определения напряжений и усилий необходимо знать функцию прогибов w(x, y). Для того, чтобы определить эту функцию, составим уравнения равновесия срединной плоскости пластинки.

Вырежем из срединной плоскости бесконечно малый элемент OCBA размером dx × dy и покажем приложенные к нему усилия (рис. 4.3).

Рис. 4.3

Нормально к срединной плоскости действует распределенная поверхностная нагрузка интенсивностью q.

На грани OC действует поперечная сила Qx. На грани АВ, отстоящей от грани OC на бесконечно малом расстоянии dx, попе-

речная сила получает бесконечно малое приращение Qx + ∂∂Qxx dx.

92

Кроме того, на этих гранях действуют изгибающие моменты Mx и Mx + ∂∂Mxx dx , а также крутящие моменты H и H + ∂∂Hx dx.

Для того, чтобы рассматриваемый элемент находился в равновесии, должны удовлетворяться шесть условий равновесия: три уравнения проекций сил на координатные оси и три уравнения моментов относительно координатных осей. При этом, поскольку формулы для сил и моментов (4.17) – (4.22) были получены приведенными к единичной ширине, их следует умножить на длину грани, по которой они действуют.

Спроецируем все силы, изображенные на рис. 4.3, на ось Oz:

Уравнения проекций сил на две другие оси выпадают (они выполняются тождественно, так как проектировать на эти оси нечего).

Уравнение моментов относительно оси Oy имеет вид:

После упрощения получаем

93

∂∂Mxx dxdy + ∂∂Hy dxdy −Qx dydx + ∂∂Qxx dxdydx − −∂∂Qyy dydx dx2 −qdxdy dx2 = 0.

Разделив уравнение на dxdy и отбросив три последние слагаемые как содержащие бесконечно малые сомножители, получаем

Действуя аналогично, из уравнения моментов относительно оси Ox получим

Третье уравнение моментов также выпадает. Впрочем, нам вполне хватит полученных трех уравнений.

§ 7. Основное уравнение изгиба пластинки

Подставим в уравнение (4.28) значения поперечных сил из (4.29) и (4.30). В результате получим

∂2 Mx +2 ∂2H + ∂2M y = −q. ∂x2 ∂x∂y ∂y2

Подставим в это уравнение выражения моментов (4.17) и (4.22):

или в операторной форме

94

Мы получили основное уравнение изгиба пластинки. Его также называют уравнением Софи Жермен. Расчет пластин на изгиб сводится к отысканию функции w(x, y), которая удовлетворяет не только уравнению (4.31), но и условиям на контуре пластинки, которые зависят от характера закрепления ее краев.

§ 8. Условия на контуре пластинки

На контуре пластинки, в зависимости от характера закрепления ее краев, могут быть заданы перемещения, т. е. прогибы, углы поворота срединной плоскости (геометрические условия), или усилия, т. е. поперечные силы, изгибающие моменты, крутящие моменты (статические условия). Если заданы одновременно и перемещения, и усилия, то условия называются смешанными. На каждом крае пластинки должны быть заданы два граничных условия.

Сформулируем граничные условия для различных случаев закрепления краев прямоугольной пластинки (рис. 4.4).

b

Рис. 4.4

1. Защемленный край ОА (заделка).

В защемлении отсутствуют прогибы и невозможен поворот краевого сечения относительно оси Ox. В связи с этим имеем следующие условия:

95

2. Свободно опертые края ОС и АВ (шарнирное опирание).

На свободно опертых краях равны нулю прогибы и изгибающие моменты, т. е.

w = 0 и Mx = 0.

Выразив изгибающий момент через прогибы по формуле (4.17), представим последнее равенство в виде

∂2w +ν∂2w = 0. ∂x 2 ∂y2

Отметим, что на сторонах OС и АВ w = 0 = const, следовательно,

Если свободно оперты края ОА и СВ, то:

3. Свободный край СВ.

На этой стороне должны обращаться в нуль изгибающий момент Mx, поперечная сила Qy и крутящий момент H. Таким образом, вместо двух условий появляется три. Впрочем, это противоречие можно устранить, объединив два последних условия.

Можно показать, что крутящий момент и поперечную силу на контуре пластинки можно заменить одной силой, статически им эквивалентной (мы опускаем доказательство этого факта). Таким образом, можно считать, что на грани СВ действует приведенная поперечная сила

96

Аналогично, вдоль граней контура, параллельных оси Оу, будет действовать приведенная поперечная сила

Таким образом, на свободной от закрепления грани СВ вместо трех, упомянутых в начале, условий можно потребовать выполнения лишь двух:

Выразив изгибающий момент и приведенную поперечную силу через функцию прогибов, получим на свободной грани СВ, т. е. при

y = b:

∂2w +ν∂2w = 0, ∂y2 ∂x 2

§ 9. Порядок решения задач на изгиб тонких плит (пластинок)

Укажем общий порядок решения задач на изгиб тонких плит (пластинок) и повторим необходимые формулы (их номера отметим звездочками).

Расчет следует начать с нахождения такой функции w(x, y), которая удовлетворяла бы основному уравнению

и условиям на контуре (4.33), (4.34) или (4.38) в зависимости от характера закрепления плиты (пластинки). Методы нахождения такой функции будут рассмотрены в следующей главе.

97

Если функция прогибов w(x, y) найдена, то далее могут быть найдены изгибающие и крутящие моменты в любом месте пластинки по формулам

Зная моменты, найдем наибольшие по модулю нормальные напряжения по формулам

Эти значения достигаются на верхней и нижней поверхностях пластинки.

Наибольшие по модулю значения касательных напряжений τxy достигаются также на верхней и нижней поверхностях пластинки и вычисляются по формуле

Наибольшие значения касательных напряжений τxz и τyz достигаются в середине высоты пластинки и вычисляются по формулам

98

Таким образом, определив функцию прогибов w(x, y), мы можем определить все характеристики напряженного состояния пластинки. Следовательно, определение функции прогибов – это центральная часть задачи. Методы решения этой задачи мы рассмотрим в следующей главе.

99

Глава V

МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ НА ИЗГИБ ТОНКИХ ПЛИТ (ПЛАСТИНОК)

В этой главе рассмотрим на конкретных примерах методы решения задач на изгиб тонких плит.

Все разнообразие методов можно разделить на две группы: аналитические и численные. Характеристика этих групп дана в начале третьей главы. Отличие заключается лишь в том, что при расчетах тонких плит нам придется искать не функцию напряжений, а функцию прогибов w(x, y).

Мы рассмотрим три примера решения таких задач. Два аналитических – точное (конечное) решение и решение в тригонометрических рядах, а также один численный – расчет плиты методом конечных разностей (методом сеток).

§ 1. Эллиптическая пластинка

Рассмотрим эллиптическую пластинку с полуосями a и b, заделанную по контуру и нагруженную по всей площади равномерно распределенной нагрузкой q (рис. 5.1).

y

b

a

x

0

Рис. 5.1

100