Избранные разделы теории упругости. Учебное пособие

Разница в перемещениях различных точек тела приводит к его деформированию.Бесконечномалыйпараллелепипедсребрамиdx,dy,dz, вырезанный из упругого тела около произвольной точки A, вследствие различных перемещений его точек деформируется таким образом, что изменяется длина его ребер и искажаются первоначально прямые углы между гранями.

На рис. 1.6 изображены два ребра этого параллелепипеда: ребро AB, параллельное оси Ox, и ребро AC, параллельное оси Oz. Длина ребра AB равна dx, длина ребра AC – dz. После деформирования точки A, B и C займут новые положения – A', B', C'. При этом точка A получит перемещение, составляющие которого в плоскости чертежа равны u и w. Точка B, отстоящая от точки A на бесконечно малом расстоянии dx, получит перемещение, составляющие которого отличаются от составляющих перемещения точки A на бесконечно малую величину за счет изменения координаты x:

Составляющие перемещения точки C будут отличаться от составляющих перемещения точки A на бесконечно малую величину за счет изменения координаты z:

21

Длина проекции ребра AB на ось Ox после деформирования

Проекция абсолютного удлинения ребра AB на ось Ox

∆AB = A′B′′− AB = ∂∂ux dx.

Относительное удлинение вдоль оси Ox

называется линейной деформацией по направлению оси Ox. Аналогично определяются линейные деформации по направле-

ниям осей Oy и Oz:

Итак, линейная деформация по любому направлению равна частной производной составляющей перемещения в этом направлении по переменной этого же направления.

Рассмотрим теперь изменения углов между ребрами параллелепипеда (рис. 1.6). Тангенс угла поворота ребра AB в плоскости xOy

Ограничиваясь рассмотрением только малых деформаций, можно положить tgα1 ≈ α1 и пренебречь линейной деформацией εx ввиду ее малости по сравнению с единицей. Тогда

α1 = ∂∂w . x

Аналогично находим угол поворота ребра AC в той же плоскости:

α2 = ∂∂uz .

22

Угол сдвига в плоскости xOz, т. е. искажение прямого угла BAC, называется угловой деформацией, или деформацией сдвига, и определяется как сумма углов поворота ребер AB и AC:

Точно так же находятся деформации сдвига в двух других координатных плоскостях:

Таким образом, угловая деформация в любой плоскости равна сумме частных производных составляющих перемещения в этой плоскости по переменным в перпендикулярных направлениях.

Заметим также, что из соотношений (1.14), (1.15) автоматически следует, что

Формулы (1.12) – (1.15) были выведены Коши и называются уравнениями Коши. Они дают шесть основных зависимостей составляющих линейных и угловых деформаций от составляющих перемещения:

В пределе, когда длины ребер параллелепипеда стремятся к нулю, формулы (1.17) определяют линейные и угловые деформации в окрестности точки А.

Правило знаков для составляющих деформации.

1. Положительным линейным деформациям соответствуют удлинения по соответствующим направлениям, а отрицательным – укорочения.

23

2. Положительным угловым деформациям соответствует уменьшение углов между положительными направлениями координатных осей, а отрицательным – увеличение этих углов.

§ 6. Уравнения неразрывности деформаций

Геометрические соотношения Коши (1.17) связывают шесть со-

ставляющих деформации εx ,εy ,εz ,γxy ,γyz ,γzx и три составляющих перемещения u, v, w. Если заданы три составляющие перемещения, то шесть составляющих деформации определяются с помощью (1.17) однозначно и единственным образом.

Если заданы шесть составляющих деформации, то для определения составляющих перемещения необходимо проинтегрировать шесть дифференциальных уравнений (1.17) в частных производных. Эта задача не всегда может быть решена однозначно при произвольном выборе составляющих деформации. Поэтому между шестью составляющими деформации должны существовать определенные зависимости.

Чтобы вывести эти зависимости, необходимо исключить составляющие перемещения из уравнений (1.17). Продифференцируем первое из уравнений (1.17) дважды по y:

Выражение, стоящее в скобках, определяет, согласно уравнениям

24

Аналогично устанавливается зависимость между деформациями и в двух других координатных плоскостях:

Уравнения (1.19) и (1.20) показывают, что если заданы две линейные деформации во взаимно перпендикулярных направлениях, то угловую деформацию в плоскости этих линейных деформаций нельзя задать произвольно.

Получим еще одну группу уравнений. Для этого продифференцируем три последних уравнения (1.17) следующим образом:

Сложим две первые строки и вычтем третью:

25

Эти уравнения показывают, что если заданы три угловые деформации в трех взаимно перпендикулярных плоскостях, то линейные деформации не могут быть заданы произвольно.

Необходимость существования зависимостей (1.23) можно обосновать и геометрическим путем. Если тело мысленно разрезать на малые параллелепипеды и каждый из этих параллелепипедов получит произвольные деформации, то из отдельных деформированных параллелепипедов не удастся сложить непрерывное твердое тело. В некоторых точках могут возникнуть после деформирования разрывы сплошности. Уравнения (1.23) устанавливают такие соотношения между деформациями, что тело и после деформирования остается сплошным. Эти уравнения называются уравнениями неразрывности деформаций, или уравнениями совместности деформаций.

26

§ 7. Обобщенный закон Гука

Мы получили для деформируемого тела три уравнения равновесия (1.3), шесть геометрических уравнений Коши (1.17) и шесть уравнений неразрывности деформаций (1.23). Для совместного определения напряженного и деформированного состояния в каждой точке тела необходимо установить зависимости между напряжениями и деформациями. Эти зависимости определяются физическими свойствами материалов и называются физическими уравнениями. В зависимости от того, какие мы принимаем физические уравнения, мы можем построить различные теории механики деформируемого тела: теорию упругости, теорию пластичности, теорию ползучести и т. д.

Втеории упругости ограничиваются малыми деформациями тела, когда связь между напряжениями и деформациями можно считать линейной.

Вкурсе сопротивления материалов при испытании стержня на растяжение установлена пропорциональная зависимость между нормальным напряжением и линейной деформацией в одном направлении

известная как закон Гука. Входящая в этот закон упругая постоянная E называется модулем продольной упругости. Также экспериментально установлен закон, связывающий линейные деформации в продольном и поперечном направлениях:

Входящая в (1.25) вторая упругая постоянная ν называется коэффициентом Пуассона.

При испытании на чистый сдвиг установлена пропорциональная зависимость между касательным напряжением и угловой деформацией в плоскости действия этого напряжения:

Здесь появляется третья упругая постоянная G, называемая модулем сдвига. Однако модуль сдвига не является новой независимой упругой постоянной. Он связан с первыми двумя известной из курса сопротивления материалов зависимостью

27

Установим зависимость между составляющими деформации и напряжений при объемном напряженном состоянии. Выделим из тела бесконечно малый параллелепипед (см. рис. 1.3) и рассмотрим действие только нормальных напряжений σx, σy, σz. Разницей между напряжениями на противоположных гранях можно пренебречь, так как она дает деформации более высокого порядка малости.

Определим удлинение ребра ab, возникающее от действия трех напряжений σx , σy, σz . При действии напряжения σx , согласно закону Гука (1.24), возникает относительное удлинение ребра ab:

ε′x = σx E .

Напряжение σy вызывает аналогичное удлинение в направлении, перпендикулярном ребру ab,

а в направлении самого ребра – укорочение, которое согласно (1.25) составляет

ε′′x = −νεy ,

или с учетом (1.28)

ε′′x = −νσy E .

Аналогично находится относительное укорочение ребра ab при действии напряжения σz :

ε′′′x = −νσz E .

На основании принципа независимости действия сил находим полное относительное удлинение ребра ab как сумму удлинений при действии каждого напряжения:

εx = ε′x +ε′′x +ε′′′x = σx E −νσy E −νσz E ,

или

εx =[σx −ν(σy +σz )]E.

Аналогично можно найти линейные деформации по направлениям двух других осей:

28

εy =[σy −ν(σz +σx )]E ; εz =[σz −ν(σx +σy )]E .

Связь между угловыми деформациями и касательными напряжениями, согласно закону Гука при сдвиге (1.26), можно представить независимо для каждой из трех плоскостей, параллельных координатным плоскостям:

γxy = τxy G ; γyz = τyz G ; γzx = τzx G .

Таким образом, имеем шесть формул:

Они выражают линейную зависимость между составляющими деформаций и напряжений в изотропном упругом теле и называются обобщенным законом Гука.

§8. Основные уравнения теории упругости

испособы их решения

Впредыдущих параграфах главы были получены три группы формул, которые образуют основные уравнения теории упругости.

1. С т а т и ч е с к и е у р а в н е н и я. В эту группу уравнений входят уравнения равновесия (1.3):

29

2. Г е о м е т р и ч е с к и е у р а в н е н и я. В эту группу входят геометрические соотношения Коши (1.17):

3. Ф и з и ч е с к и е у р а в н е н и я. В эту группу входят формулы обобщенного закона Гука (1.29):

30