Избранные разделы теории упругости. Учебное пособие

§ 6. Функция напряжений

Решение плоской задачи можно еще упростить, сведя ее к отысканию только одной функции φ(x, y), называемой функцией напряжений Эри. Ее выбирают с таким расчетом, чтобы дифференциальные уравнения равновесия (2.6) (или первые два из (2.17)) обращались в тождества. Эти условия будут выполнены, если напряжения выразить через функцию Эри следующими соотношениями:

Действительно, подставляя эти выражения в уравнения равновесия (2,6), получаем тождества, т. е. принятая функция напряжений φ(x, y) является решением этих уравнений.

Подставляя напряжения (2.18) в уравнение совместности (2.16), находим

Выражение, стоящее в скобках, представляет собой оператор лапласа над функцией φ(x, y). Поэтому уравнение (2.19) может быть переписано с помощью оператора лапласа в виде:

2 2ϕ = 0,

или

левая часть уравнения (2.20) читается как «набла четыре φ» и называется двойным оператором лапласа над функцией φ. Функции, удовлетворяющие уравнению (2.20), называются бигармоническими, а само уравнение – бигармоническим уравнением. Представим его в виде

41

Произведя дифференцирование, представим бигармоническое уравнение в развернутом виде:

Итак, решая плоскую задачу теории упругости, мы должны выбрать функцию φ так, чтобы она удовлетворяла уравнению (2.21) и одновременно – граничным условиям на контуре (2.7). Подобрав функцию φ, мы можем получить соответствующие формулы для напряжений, используя соотношения (2.18), и найти напряжения в любой точке упругого тела.

Зная напряжения, легко найдем и деформации по формулам (2.9) или (2.5). Если, кроме того, найти перемещения, то можно воспользоваться формулами Коши (2.10). Для этого требуется подставить в формулы (2.10) деформации и проинтегрировать их.

То, что приходится решать только одно уравнение (2.21), является значительным облегчением. Однако трудности все еще остаются. Они заключаются не в подборе функции φ, удовлетворяющей уравнению (2.21): таких функций можно подобрать бесконечное количество. Трудности связаны с подбором такой функции, которая удовлетворяет одновременно с (2.21) еще и граничным условиям.

К рассмотрению методов решения этой проблемы мы и переходим.

42

Глава iii АНАЛИТИЧЕСКИЕ И ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ

РЕШЕНИЯ ПЛОСКИХ ЗАДАЧ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ

Методы решения плоских задач, как и вообще задач теории упругости, можно разбить на две существенно различающиеся группы:

а) аналитические методы; б) численные методы.

Аналитические методы заключаются в нахождении функции φ(x, y) в виде аналитического выражения, например, в виде многочленов (полиномов) или рядов, в том числе – тригонометрических.

К численным методам относятся метод конечных разностей (метод сеток) и всевозможные разновидности метода конечных элементов. С развитием и совершенствованием вычислительной техники эти методы приобрели приоритетное значение. Сегодня существует множество программных продуктов, позволяющих решать задачи теории упругости как в плоском, так и в объемном случаях. Многообразие этих продуктов связано с их ориентированностью на конкретные задачи и конкретные специфические области применения.

В нашем курсе мы рассмотрим два примера решения плоских задач. Один аналитический – решение плоской задачи в полиномах, и один численный – решение плоской задачи методом конечных разностей.

§ 1. Решение плоской задачи в полиномах

Будем исследовать напряженное состояние в прямоугольной пластинке или полосе длиной l и высотой h (рис. 3.1).

Ось координат Ox направим вправо, ось Oy – вверх у левого конца пластинки. Полосу будем предполагать невесомой. В этом случае X = Y = 0 и выражения (2.18) примут вид:

43

Будем решать задачу обратным методом. Сначала зададимся аналитической формой функции напряжений, удовлетворяющей бигармоническому уравнению (2.21), а затем определим, каким нагрузкам на контуре она соответствует. В качестве функции напряжений будем рассматривать алгебраические полиномы разных степеней над переменными x и y.

Полином первой степени ϕ1 =a1x +b1 y не интересует нас как функция напряжений, так как в этом случае напряжения, посчитанные по формулам (3.1), окажутся равны нулю.

Рассмотрим функцию напряжений в виде полинома второй степени

Четвертые производные этой функции:

44

следовательно, уравнение (2.21) обращается в тождество при любых значениях коэффициентов a2, b2, c2. Таким образом, полином второй степени является бигармонической функцией и может быть применен к решению плоской задачи.

Если взять в качестве функции напряжений полином третьей степени:

то уравнение (2.21) по-прежнему будет обращаться в тождество при любых значениях коэффициентов a3, b3, c3, d3 , т. е. полином третьей степени также является бигармонической функцией и может быть применен для решения плоской задачи.

Разберем на примере нашей невесомой полосы (рис. 3.1), каким условиям на контуре удовлетворяет каждое слагаемое приведенных выше многочленов. Такое исследование удобнее всего провести, полагая в каждом многочлене все коэффициенты, кроме какого-то одного, поочередно равными нулю. Это позволит в дальнейшем комбинировать простейшие решения, чтобы добиться удовлетворения сложным граничным условиям.

1) ϕ =a2 x 2 .

В этом случае напряжения по формулам (3.1) равны:

Таким образом, в полосе будут только вертикальные нормальные напряжения, постоянные для всех ее точек. Напряжения на верхней и нижней поверхностях должны уравновешиваться внешней нагрузкой.

Очевидно, здесь мы имеем случай простого растяжения в вертикальном направлении. Этот случай изображен на рис. 3.2, на котором, так же как и на последующих, приведены эпюры напряжений по контуру. Эпюры напряжений являются одновременно эпюрами внешней нагрузки.

45

Рассмотрим следующее слагаемое:

2) ϕ=b2 xy.

Напряжения в этом случае:

σx = ∂2ϕ2 = 0; ∂y

σy = ∂2ϕ2 = 0; ∂x

Это случай чистого сдвига. По контуру полосы приложены равномерно распределенные касательные напряжения (рис. 3.3).

3) ϕ =c2 y2 .

Напряжения:

σx =c2;

σy = 0;

Рис. 3.4

46

В этом случае полоса испытывает равномерное растяжение в горизонтальном направлении (рис. 3.4).

4) ϕ =a3 x3 .

Напряжения

σx = 0;

σy =6a3 x;

Таким образом, вертикальная нагрузка в этом случае распределяется по линейному закону (рис. 3.5).

4

Рис. 3.5

Здесь мы имеем случай, когда к полосе приложены нормальные и касательные усилия. Вверху действуют растягивающие силы, так

как при y = +h2

47

σy = +2b3 h2 = +b3h;

внизу – сжимающие силы, направленные также вверх, так как при y = −h2

σy = −2b3 h2 = −b3h.

Касательные усилия вверху и внизу распределяются по линейному закону. Слева касательных усилий нет, справа они распределены равномерно (рис. 3.6).

Все показанные на рис. 3.6 напряжения должны находиться в равновесии с внешней нагрузкой.

6) ϕ =c3 xy2 .

σx = 2c3 x; σy = 0;

48

В этом случае нормальные усилия приложены к правому концу пластинки (рис. 3.7). Касательные усилия распределены равномерно вверху и внизу и изменяются по линейному закону у левого и правого концов.

Здесь имеем случай изгиба моментами, приложенными по концам пластинки (рис. 3.8).

Рис. 3.8

Зададим теперь функцию φ(x, y) в виде полинома четвертой степени:

49

Четвертые производные этой функции равны:

Очевидно, что функция (3.11) удовлетворяет бигармоническому уравнению (2.21) не при любых значениях коэффициентов. Между ними должна быть определенная зависимость. Эту зависимость можно найти, подставляя полученные выше четвертые производные в бигармоническое уравнение (2.21):

24a4 +8c4 +24e4 = 0,

откуда

Эта функция уже удовлетворяет бигармоническому уравнению при любых значениях входящих в нее коэффициентов, число которых равно четырем.

Мы не будем рассматривать все слагаемые этого полинома. Остановимся только на случае, необходимом нам для дальнейшего, когда все коэффициенты, кроме четвертого, равны нулю.

8) ϕ =d4 xy3 .

Напряжения:

σx = ∂2ϕ2 =6d4 xy; ∂y

σy = ∂2ϕ2 = 0; ∂x

50