Избранные разделы теории упругости. Учебное пособие

Полное напряжение в общем случае (см. рис. 1.1) не совпадает с направлением нормали n. Поэтому вместо полного напряжения pn удобнее рассматривать его составляющие по координатным осям Xn, Yn, Zn. Обозначение Xn читается так: проекция на ось x полного напряжения на площадке с внешней нормалью n.

z

F Zn

Yn

Xn

x

Рис. 1.1

В сечениях, параллельных координатным плоскостям, индекс n можно заменить индексом координатной оси, нормальной к сечению. Если, например, сечение параллельно плоскости yOz, то внешняя нормаль совпадает по направлению с осью x, и составляющие напряжения обозначаются так: Xx, Yx, Zx.

Составляющая Xx направлена перпендикулярно сечению и называется нормальным напряжением. Составляющие Yx, Zx, лежащие в плоскости сечения, называются касательными напряжениями.

Для обозначения нормальных и касательных напряжений чаще употребляется другая система обозначений. Нормальные напряжения обозначают греческой буквой σ, а касательные – греческой бук-

xобозначают σх, где индекс

хобозначает нормаль к сечению. Касательные напряжения Yx и Zx

вэтом сечении обозначают соответственно τyx и τzx, где первый индекс означает направление касательного напряжения, а второй – на-

правление нормали к сечению.

11

Из девяти составляющих напряжений на всех трех площадках, параллельных координатным плоскостям, три составляющие являются нормальными напряжениями: Xx= σх, Yy= σy, Zz= σz, а шесть составляющих – касательными:

Yx = τyx, Zy = τzy, Xz = τxz,

Xy = τxy, Yz = τyz, Zx = τzx.

В дальнейшем мы будем пользоваться второй системой обозначения напряжений.

Для напряжений принято следующее правило знаков. Нормальное напряжение считается положительным при растяжении. В этом случае его направление совпадает с направлением внешней нормали к площадке, на которой оно действует.

За положительное направление касательных напряжений принимается направление осей координат, если растягивающее напряжение на этой же площадке сонаправлено с положительным направлением соответствующей оси. Если же растягивающее нормальное напряжение направлено противоположно положительному направлению оси, то и положительные касательные напряжения направлены обратно направлениям своих осей (рис. 1.2).

Рис. 1.2

Напряжения, возникающие в твердом теле, в общем случае различаются в разных точках тела, т. е. являются функциями координат:

12

§ 2. Дифференциальные уравнения равновесия

Выделим из тела, находящегося под действием внешних сил, бесконечно малый параллелепипед с ребрами длиной dx, dy и dz и гранями, параллельными координатным плоскостям (рис. 1.3).

z

σ x

τ yx

σ z

Рис. 1.3

13

Установим зависимость между составляющими напряжений, действующих на гранях этого параллелепипеда. На каждой грани – три составляющие, параллельные координатным осям. Всего на шести гранях получаем 18 составляющих напряжений.

Нормальное напряжение σx в точке с координатами x, y, z можно обозначить в соответствии с (1.2) как σx (x, y, z). Тогда в точке, отстоящей на бесконечно малом расстоянии от рассматриваемой, напряжение σx с точностью до бесконечно малых первого порядка может быть разложено в ряд Тейлора:

Для площадок, параллельных плоскости yOz, изменится только координата х, а приращения dy = dz = 0. Поэтому на грани параллелепипеда, совпадающей с плоскостью yOz, нормальное напряжение обозначено σσx, а на параллельной грани, отстоящей от первой

на расстоянии dx, нормальное напряжение обозначено σx + ∂σ∂xx dx .

Аналогично связаны напряжения и на остальных парах параллельных граней параллелепипеда. Таким образом, из 18 составляющих напряжения неизвестными являются только девять:

σx , σy , σz , τxy , τyx , τyz , τzy , τzx , τxz . Кроме напряжений на параллелепипед действуют объемные силы. Обозначим проекции на коорди-

натные оси объемных сил, отнесенных к единице объема тела, X, Y и Z. Тогда составляющие объемных сил, действующие в объеме рассматриваемого параллелепипеда, будут равны Xdxdydz, Ydxdydz, Zdxdydz.

Для тела, находящегося в состоянии равновесия, должны удовлетворяться шесть уравнений статики: три уравнения проекций сил на координатные оси и три уравнения моментов сил относительно этих осей.

Рассмотрим уравнение проекций на ось Oх. На нее проецируются только силы, параллельные этой оси. Умножая каждое напряжение на площадь грани, по которой оно действует, и переходя таким образом к силам, получаем в результате проецирования

14

Если данный элементарный объем находится в движении, то сумма проекций всех сил должна быть равна не нулю, а силе инерции, равной произведению массы объема на ускорение в направлении оси. Эта величина выписана в скобках. Через ρ обозначена плотность материала элементарного объема, а через u – его перемещение в направ-

лении оси Oх, а через ∂dt2u2 – его ускорение в том же направлении.

После раскрытия скобок, приведения подобных и деления на объем dV = dxdydz получаем

Аналогично можно составить уравнения проекций на оси Oy и Oz. Таким образом, получается три дифференциальных уравнения равновесия:

Здесь v и w – перемещения в направлении осей Oy и Oz, а их вторые производные по времени – ускорения в направлении тех же осей.

Составим теперь уравнения моментов относительно координатных осей. Рассмотрим, например, уравнение моментов относительно оси Oy. Суммируя моменты всех сил относительно этой оси, получаем:

15

Приведя в этом выражении подобные члены, отбросив величины четвертого порядка малости и разделив на объем параллелепипеда, получим τxz = τzx .

Составляя уравнения моментов относительно двух других осей, получаем еще два аналогичных соотношения. Таким образом, из уравнений моментов вытекают три равенства

Эти три равенства представляют собой закон парности касательных напряжений: по двум взаимно перпендикулярным площадкам составляющие касательных напряжений, перпендикулярные линии пересечения этих площадок, равны между собой.

Вследствие парности касательных напряжений вместо девяти неизвестных касательных напряжений, характеризующих напряженное состояние в точке, остается только шесть:

Таким образом, в три уравнения равновесия (1.3) входят шесть неизвестных функций (1.5), следовательно, задача теории упругости по определению напряжений в бесконечно малом объеме является статически неопределимой. Недостающие уравнения можно получить, рассматривая деформации тела и учитывая его физические свойства.

§ 3. Напряжения на наклонных площадках. Условия на поверхности

Для исследования напряженного состояния в любой точке тела необходимо уметь определять напряжения на произвольной площадке, наклоненной к координатным осям. Положение в пространстве бесконечно малой площадки abc, изображенной на рис. 1.4, определяется нормалью n, направляющие косинусы которой

cos(Ox,n) =k, cos(Oy,n) =l, cos(Oz,n) =m.

Наклонная площадка abc вместе с координатными площадками Oab, Obc и Oca образует бесконечно малый тетраэдр. Обозначим площадь грани abc через dA. Тогда площади остальных граней тетраэдра

16

определятся как проекции площади грани abc на соответствующие координатные плоскости: пл.Obc =dA k;

пл. Oca =dA l; пл. Oab =dA m.

На тетраэдр действуют следующие силы: на координатных площадках – силы от шести составляющих напряжений σx , σy , σz , τxy , τyz , τzx ; на площадке abc – силы от трех составляющих полного напряжения X n ,Yn , Z n и по всему объему – составляющие объемной силы (они на рис. 1.4 не показаны).

Составим уравнения равновесия для тетраэдра. В проекции на ось Ох получаем

Последнее слагаемое в (1.6) имеет третий порядок малости (dV), а остальные – второй (dA). Пренебрегая слагаемым третьего порядка малости и деля остальные на dA, получаем

X n = σx k + τxyl + τxz m.

z

c

x

Рис. 1.4

17

Составляя уравнения проекций сил на другие две оси, получим еще два уравнения. В результате имеем три уравнения равновесия элементарного тетраэдра:

Уравнения (1.7) позволяют вычислить напряжения на любой наклонной площадке по направляющим косинусам ее нормали и шести составляющих напряжений на площадках, параллельных координатным плоскостям.

Если площадка abc находится на поверхности тела, то уравнения (1.7) задают составляющие внешних сил, действующих на поверхности тела. В этом случае уравнения (1.7) называют условиями на поверхности тела. Эти условия связывают внешние силы с внутренними.

Удовлетворение уравнениям равновесия и условиям на поверхности является необходимым и достаточным признаком равновесия всего тела под действием заданных внешних сил.

§ 4. Главные напряжения. Инварианты напряженного состояния

Уравнениями (1.7) можно воспользоваться для вычисления напряжений на любой наклонной площадке в любой точке внутри тела. Для этого достаточно знать шесть составляющих напряжений σx , σy , σz , τxy , τyz , τzx . Равнодействующая составляющих напряжения на наклонной площадке X n ,Yn , Z n называется полным напряжением на этой площадке и определяется по формуле

pn = X n2 +Yn2 +Z n2 .

Полное напряжение может быть разложено на составляющую по нормали к площадке (нормальное напряжение) и составляющую в плоскости площадки (касательное напряжение). Можно показать (доказательство опускаем), что существуют такие площадки, на которых касательное напряжение равно нулю. Такие площадки назы-

18

ваются главными. На них полное напряжение совпадает с нормальным по величине и направлению.

Нормальные напряжения, действующие на главных площадках, также называются главными. Значения главных напряжений определяются из решения кубического уравнения

Величины I1, I2, I3 называются инвариантами напряженного состояния, их значения не зависят от выбора системы координат.

Уравнение (1.8) имеет три вещественных корня: σ1, σ2, σ3. Наибольший по алгебраическому значению корень принято обозначать σ1, а наименьший – σ3. Таким образом, в каждой точке напряженного тела всегда можно найти три главных напряжения: σ1 ≥ σ2 ≥ σ3.

Можно показать, что главные площадки, а следовательно, и главные напряжения, взаимно перпендикулярны. Величины и направления главных напряжений (и положения главных площадок) не зависят от положения координатных осей.

Инварианты напряженного состояния можно выразить через главные напряжения. Для этого надо в формулах (1.9) касательные напряжения приравнять нулю, а нормальным – дать индексы главных напряжений. Тогда

Инварианты являются основными характеристиками напряженного состояния в точке.

19

§ 5. Составляющие перемещения и деформации. Связь деформаций с перемещениями

Сравним положение точек тела до и после приложения нагрузки. На рис. 1.5 показано тело и точка A с координатами x, y, z. Под действием нагрузки точка A переместится в новое положение A' с координатами x', y', z'. Вектор AA' называется вектором перемещения точки A.

z

A(x, y, z)

x

Рис. 1.5

Следует различать два вида перемещений: перемещение всего тела как абсолютно твердого, без деформирования, и перемещение точек, вызванное деформированием тела. Перемещения первого типа изучаются в теоретической механике. В теории упругости рассматриваются только перемещения, вызванные деформированием тела.

Будем считать, что тело закреплено и не может перемещаться как абсолютно твердое тело. Обозначим проекции вектора перемещения точки A на координатные оси как u, v, w. Они равны разностям координат точек A' и A:

u = x′− x; v = y′− y; w = z′−z

и являются функциями координат:

u =u(x, y,z); v =v(x, y,z); w =w(x, y,z).

20