Избранные разделы теории упругости. Учебное пособие

y

yc

Рис. 3.12

Аналогично можно представить производную в точках b и a:

Вторую производную можно получить, используя дважды представление первой производной:

Уменьшив интервал в два раза, можно получить более точное выражение для второй производной в точке i:

Действуя аналогично, получим для четвертой производной:

61

При решении плоских задач теории упругости, функция напряжений φ зависит от двух координат x и y, поэтому появляется необходимость выражать через конечные разности частные производные функции напряжений. Для этого исследуемую плоскую область (которую мы для простоты будем считать прямоугольной) разбива-

x

13

Рис. 3.13

Для упрощения расчетов будем рассматривать сетку с квадратными ячейками, т. е. будем полагать в дальнейшем ∆x = ∆y = h.

Система алгебраических уравнений метода сеток

Частные производные функции φ(x, y) в точке i могут быть выражены через значения этой функции в 13 точках, обозначенных на рис. 3.13 буквами.

Первые и вторые производные в точке i по одной из координат легко составить по аналогии с формулами (3.37) и (3.38):

62

Связь между значениями функции напряжений в тринадцати рассматриваемых точках устанавливается с помощью бигармонического уравнения (2.21), которое для точки i принимает вид:

63

Подставив в него выражения для четвертых частных производных

Напряжения в точке i находятся по формулам (2.18) в предположении нулевых объемных сил и с учетом разностных формул (3.41) и (3.42) в виде:

Уравнения вида (3.45) можно составить для каждого из узлов внутри контура, при этом в часть уравнений войдут значения функции φ для узлов, лежащих на контуре, и для узлов, расположенных на расстоянии одного шага вовне от контура. На рис. 3.13 внеконтурная сетка показана штриховыми линиями.

Значения функции φ для контурных и внеконтурных узлов определяются из граничных условий (способ определения мы рассмотрим ниже). Таким образом, неизвестных значений функции φ окажется ровно столько, сколько внутренних узлов в сетке. Столько же можно составить и уравнений типа (3.45). Следовательно, для решения задачи уравнений достаточно.

При составлении уравнений типа (3.45) для различных внутренних точек удобно пользоваться маской-оператором (рис. 3.14).

Перемещая центр этой маски-оператора (самый большой квадрат), мы для каждой внутренней точки получаем правильные коэффициенты, с которыми входят в соответствующее уравнение значения функции φ в соседних точках.

64

Рис. 3.14

При вычислении напряжений в точках сетки по формулам (3.46) тоже можно пользоваться масками-операторами. Они приведены на рис. 3.15, 3.16.

Во всех трех случаях большой квадрат соответствует узлу, в котором вычисляется напряжение. Цифры в квадратах (так же, как и на рис. 3.14) означают коэффициенты, с которыми значения функции φ в данном и соседних узлах сетки входят в формулы для вычисления соответствующего напряжения.

На рис. 3.16 коэффициент в большом квадрате равен нулю, потому что значение функции φ в текущем узле не входит в формулу для вычисления касательного напряжения (см. выражения (3.46)). Тем не менее, этот квадрат отмечен, пусть и с нулевым коэффициентом,

65

для того, чтобы исключить ошибки при выборе узлов для вычисления касательного напряжения.

Рис. 3.16

Определение значений функции напряжений в контурных и «законтурных» точках; граничные условия

В уравнения (3.45) для точек, ближайших к границе области, входят значения функции напряжений φ в точках, лежащих на контуре плоской области (прямоугольной пластинки) и за контуром. Для их определения необходимо рассмотреть условия на контуре пластинки – граничные условия.

Одним из наиболее простых способов определения значений функции напряжений в контурных и законтурных узлах сетки является так называемая рамная аналогия. Суть ее заключается в следующем. Пусть на пластинку по контуру действуют распределенные усилия, нормальные и касательные проекции которых обозначим соответст-

Аналогично можно записать граничные условия и для трех других границ.

66

Рассмотрим теперь раму такой же конфигурации и размера, что

иконтур пластины. К стержням рамы приложены те же нагрузки qn

иqτ . Вырежем из верхнего стержня этой рамы фрагмент длиной dx (рис. 3.18).

Рис. 3.18

Рассмотрим условия равновесия этого фрагмента:

∑прx : N x +dN x −N x +qτ(x)dx = 0,

∑прy : Q −(Q +dQ) +qn(x)dx = 0,

67

Решим эти уравнения, отбросив в последнем второе слагаемое как слагаемое более высокого порядка малости:

Сравнивая последнее выражение с первым из граничных условий (3.47), получаем

∂2ϕ = d 2M .

∂x2 dx2

Отсюда

Постоянные интегрирования С1 и С2 могут быть определены из условий закрепления стержня. Однако в этом нет необходимости. Напряжения равны вторым производным функции φ и постоянные интегрирования в них не входят.

Таким образом, напряжения на верхней границе контура не зависят от условий закрепления условного верхнего стержня в рамной аналогии и константы интегрирования в выражении (3.52) могут принимать любые значения. Положим их равными нулю. Тогда

Это правило можно распространить на все четыре стороны прямоугольника в следующей формулировке: значения функции напряжений в точках границы контура равны величинам изгибающих моментов в соответствующих точках условной рамы, к которой приложены те же усилия, что и к пластинке. При этом нужно учитывать, что из-

68

гибающий момент считается положительным при растяжении внутренних волокон стержней рамы, как это и есть на рис. 3.18.

Способ соединения стержней в раму не влияет на напряжения, поэтому можно считать для простоты, что стержни соединены шарнирно.

Теперь сравним второе из уравнений (3.47) и уравнение (3.49). Получим:

откуда, интегрируя второе равенство по x, получаем:

Здесь так же, как и в выражении (3.52), постоянная интегрирования С зависит от способа закрепления стержня и не влияет на напряжения. Поэтому ей может быть придано любое значение, например, нулевое:

Этот результат может быть распространен на все четыре стороны прямоугольника в следующей формулировке: частная производная от функции φ по нормали к контуру равна продольной силе в том же сечении рамы. При этом нужно учитывать, что продольная сила считается положительной при растяжении.

Теперь обратимся снова к рис. 3.13 и рассмотрим точки, обозначенные цифрами 1, 2 и 3. Запишем производную от функции φ по направлению нормали к контуру, используя разностное представление первой производной (3.37):

Отсюда значение функции напряжений в законтурной точке 3 верхней кромки пластинки

69

Рассмотрим теперь точки 11, 12 и 13. Разностная формула для производной от функции напряжений по направлению нормали в точке 12 имеет вид:

Отсюда значение функции напряжений в законтурной точке 13 нижней кромки пластинки

Аналогично получаются соотношения для вычисления функции φ в законтурных точках справа и слева:

Сравнение формул (3.56) – (3.58) дает общее правило для определения значений функции напряжений в законтурных точках: значение функции φ в любой законтурной точке равно сумме значения этой функции в ближайшей внутренней точке и удвоенного произведения шага сетки и продольной силы в ближайшей точке контура.

После подставления значений функции φ в контурных и законтурных точках в систему уравнений (3.45) и решения полученной системы можно по формулам (3.46) определить напряжения в каждой точке сетки.

Технологию применения метода конечных разностей лучше всего пояснить на конкретном расчетном примере.

§ 4. Пример расчета балки-стенки методом конечных разностей

Балкой-стенкой называется конструктивный элемент, представляющий собой балку, высота которой соизмерима с длиной перекрываемого пролета. На примере расчета неразрезной балки-стенки можно проиллюстрировать применение метода конечных разностей к решению плоской задачи теории упругости.

Задача. Определить напряжения в балке-стенке единичной толщины, изображенной на рис. 3.19, возникающие под действием распределенной нагрузки q = 8кН/м и двух сосредоточенных сил F = 8 кН.

70