Избранные разделы теории упругости. Учебное пособие

Построить эпюры напряжений в указанных сечениях:

–нормальных напряжений σx в сечении А – А;

–нормальных напряжений σy в сечении В – В;

–касательных напряжений τxy в сечении С – С.

На балку-стенку нанесена сетка с шагом h = x = y = 0,4 м. Так как нагрузка и сама балка-стенка симметричны относительно оси y, то и нумерация узлов сетки также симметрична относительно этой оси (рис. 3.20).

71

Решение.

1. Из условия равновесия находим нагрузку q2

2. Система бигармонических уравнений

Составим систему бигармонических уравнений для каждой из внутренних точек, пользуясь маской-оператором (см. рис. 3.14).

т1: 20ϕ1 −8(ϕ2 +ϕ7 +ϕ2 +ϕ4 ) +2(ϕ8 +ϕ8 +ϕ5 +ϕ5 ) + +1(ϕ3 +ϕ17 +ϕ3 +ϕ16 ) = 0,

т2: 20ϕ2 −8(ϕ3 +ϕ8 +ϕ1 +ϕ5 ) +2(ϕ9 +ϕ7 +ϕ4 +ϕ6 ) + +1(ϕ11 +ϕ18 +ϕ2 +ϕ15 ) = 0,

т3: 20ϕ3 −8(ϕ11 +ϕ9 +ϕ2 +ϕ6 ) +2(ϕ10 +ϕ8 +ϕ5 +ϕ12 ) + +1(ϕ20 +ϕ19 +ϕ1 +ϕ14 ) = 0,

т4: 20ϕ4 −8(ϕ5 +ϕ1 +ϕ5 +ϕ16 ) +2(ϕ2 +ϕ2 +ϕ15 +ϕ15 ) + (3.59) +1(ϕ6 +ϕ7 +ϕ6 +ϕ24 ) = 0,

т5: 20ϕ5 −8(ϕ6 +ϕ2 +ϕ4 +ϕ15 ) +2(ϕ3 +ϕ1 +ϕ16 +ϕ14 ) + +1(ϕ12 +ϕ8 +ϕ5 +ϕ23 ) = 0,

т6: 20ϕ6 −8(ϕ12 +ϕ3 +ϕ5 +ϕ14 ) +2(ϕ11 +ϕ2 +ϕ15 +ϕ13 ) +

+1(ϕ21 +ϕ9 +ϕ4 +ϕ22 ) = 0.

Значения функции напряжений φ в первых шести точках определяются из решения системы линейных алгебраических уравнений (3.59). Значения функции φ в остальных точках (контурных и законтурных) определяются из граничных условий. Для этого надо вычислить значения изгибающего момента и продольной силы в каждой контурной точке. (Для наглядности можно построить эпюры изгибающих моментов и продольных сил.)

3. Определение величины изгибающего момента в граничных точках

Для этого рассмотрим каждый стержень по отдельности.

72

2,4 м

Рис. 3.21

Из уравнения равновесия в проекции на вертикальную ось (с учетом симметрии)

2Y10 −6×q1 ×0,4 = 0, Y10 =9,6 кН. Значения изгибающего момента в точках 7 – 10 будут:

М10 = 0;

М9 =9,6×0,4 −8×0,4×0,2 =3,20 KH M;

М8 =9,6×8 −8×0,8×0,4 =5,12 KH M;

М7 =9,6×1,2 −8×1,2×0,6 =5,76 KH M.

Стержень 13 – 13

Рис. 3.22

73

Из уравнения равновесия в проекции на вертикальную ось (с учетом симметрии)

−2Y13 +4×q2 ×0,4 = 0, Y13 =9,6KH.

Значения изгибающего момента в точках 13 – 16 будут (учитывая, что изгибающий момент считается положительным при растяжении внутренних волокон стержней рамы; в данном случае внутренние волокна – это верхняя часть стержня):

М13 = 0;

М14 =9,6×0,4 −12×0,4×0,2 = 2,88 KH M;

М15 =9,6×8 −12×0,8×0,4 =3,84 KH M;

М16 =9,6×1,2 −12×0,8×0,8 =3,8 KH M.

Стержень 10 – 13 Таких стержней два. Они симметричны, поэтому достаточно рас-

смотреть лишь один из них. Рассмотрим правый (рис. 3.23).

2 ,67 кН

13 5 ,33 кН

Рис. 3.23

74

В качестве уравнений равновесия составим два уравнения моментов относительно концов стержня

Значения изгибающего момента в точках 10 – 13 будут (учитывая, что изгибающий момент считается положительным при растяжении внутренних волокон стержней рамы; в данном случае внутренние волокна – это левая часть стержня):

М10 = 0;

М11 = 2,67×0,4 =1,068 KH M;

М12 = 2,67×0,8 = 2,136 KH M;

М13 = 0.

Размерности моментов, вычисленных по формулам (3.61) – (3.62), относятся к раме. Для перехода к балке-стенке необходимо разделить эти размерности (и значения) на толщину балки-стенки. В данном примере – на один метр.

Теперь нам известны значения функции φ во всех контурных точках. Для удобства их можно свести в таблицу:

Таблица 3.1

Значения функции φ в контурных точках

4. Определение величины продольных сил в стержнях и значения

функции φ в законтурных точках

Обратимся еще раз к рис. 3.23. На нем изображен правый стержень. Силы Х10 и Х13 – это силы, с которыми верхний и нижний стер-

75

жни соответственно воздействуют на правый стержень. Силы, с которыми правый стержень воздействует на верхний и нижний стержни, будут равны Х10 и Х13 по величине и противоположны по направлению. Иначе говоря, верхний и нижний стержни сжаты. И поскольку никаких горизонтальных сил, кроме приложенных на концах верхнего и нижнего стержней, нет, то продольные силы в этих стержнях остаются постоянными на всем их протяжении. Они равны, соответственно,

С другой стороны, силы Y10 и Y13 – это силы, с которыми симметрично расположенные боковые стержни воздействуют на верхний

инижний стержни соответственно. Силы, с которыми верхний и ни-

жний стержни воздействуют на боковые, также будут равны Y10 и Y13 по величине и противоположны по направлению. Следовательно,

ибоковые стержни сжаты. И поскольку никаких других вертикальных сил, кроме приложенных на концах стержней, в этом случае тоже нет, то и в боковых стержнях продольные силы остаются постоянными на всем их протяжении. Они равны, соответственно,

Зная продольные силы в стержнях, можно по формулам, аналогичным формулам (3.56), (3.57), (3.58), найти значения функции φ в законтурных точках. Учитывая, что h = 0,4, а 2h = 0,8, эти значения будут:

76

5. Определение функции напряжений во внутренних точках

Подставим полученные значения φ7 – φ24 из табл.1 и формул (3.65) в систему уравнений (3.59).

20ϕ1 −8(ϕ2 +5,76 +ϕ2 +ϕ4 ) +2(10,24 +2ϕ5 ) ++(ϕ3 +ϕ1 −2,136 +ϕ3 +3,84) = 0,

20ϕ2 −8(ϕ3 +5,12 +ϕ1 +ϕ5 ) +2(3,20 +5,76 +ϕ4 +ϕ6 ) +

+(1,068 +ϕ2 −2,136 +ϕ2 +3,84) = 0,

20ϕ3 −8(1,068 +3,2 +ϕ2 +ϕ6 ) +2(0 +5,12 +ϕ5 +2,136) +

+(ϕ3 −7,68 +ϕ3 −2,136 +ϕ1 +2,88) = 0,20ϕ4 −8(ϕ5 +ϕ1 +ϕ5 +3,84) +2(2ϕ2 +7,68) +

+(ϕ6 +5,76 +ϕ6 +ϕ4 −4,264) = 0,20ϕ5 −8(ϕ6 +ϕ2 +ϕ4 +3,84) +2(ϕ3 +ϕ1 +3,84 +2,88) ++(2,136 +5,12 +ϕ5 +ϕ5 −4,264) = 0,

20ϕ6 −8(2,136 +ϕ3 +ϕ5 +2,88) +2(1,068 +ϕ2 +3,84 +0) ++(ϕ6 −7,68 +3,2 +ϕ4 +ϕ6 −4,264) = 0.

После раскрытия скобок, приведения подобных и переноса слагаемых, не содержащих неизвестные, в правую часть, система принимает вид:

Система линейных алгебраических уравнений (3.66) может быть записана в матричной форме:

77

где

Решив систему (3.66), получим величины функции напряжений

6. Вычисление напряжений в узлах сетки

Напряжения в узлах сетки вычисляются по формулам (3.46) или с помощью масок-операторов (рис. 3.14, 3.15), в которые следует подставить значения функции напряжений из табл. 1 и соотношений (3.65) и (3.68).

78

Эпюра нормальных напряжений в сечении А-А изображена на рис. 3.24.

Эпюра нормальных напряжений в сечении В-В изображена на рис. 3.25.

79

Рис. 3.26

80