Избранные разделы теории упругости. Учебное пособие

Окончательно получим

M x =16πqa4 2 0,2805 = 0,0461qa2 .

Действуя аналогично, можно найти величину прогиба w(x, y), моменты My, Mxy, поперечные силы и максимальные значения напряжений в любой точке плиты.

§ 3. Расчет прямоугольной плиты методом конечных разностей

Применение метода конечных разностей в случае расчета прямоугольных плит по сути своей мало отличается от применения его при решении плоской задачи теории упругости, в частности, при расчете балки-стенки. Точно так же вся площадь пластинки покрывается перпендикулярной сеткой линий, точки пересечения которых называются узлами (рис. 3.12). Дифференциальное уравнение изогнутой поверхности плиты

отличается от бигармонического уравнения (2.21) лишь наличием константы в правой части и тем, что вместо функции напряжений φ в нем фигурирует функция прогибов w.Это позволяет воспользоваться полученными при решении плоской задачи разностными выражениями для производных, которые при условии ∆x = ∆y = ∆ принимают вид для i-го узла (см. рис. 3.12):

111

Тогда конечно-разностная форма уравнения (4.31) запишется для i-го узла в виде (рис. 5.3)

20wi −8(wa +wb +wc +wd ) +2(we +w f +wg +wh ) +

Рис. 5.3

Поясним смысл этой приведенной нагрузки. На рис. 5.4 приведен фрагмент плиты. На заштрихованной части плиты приложена рас-

112

пределенная по площади нагрузка, интенсивности q. В точках 5 и 6 приложена сосредоточенная сила p.

Рис. 5.4

Будем мысленно окружать каждую из точек 1,…, 6 такой же площадкой, какой на рис. 5.3 окружен i-й узел.

Вточке 1 вся площадка оказывается покрытой распределенной нагрузкой, поэтому в этой точке q1 =q.

Вточке 2 распределенная нагрузка приложена только на полови-

q

2.

Вточке 3 распределенная нагрузка приложена на четверти площадки, окружающей узел. В этой точке q3 = q4 .

Вточке 4 отсутствует какая бы то ни было внешняя нагрузка, по-=не площадки, поэтому

этому q4 = 0.

В точке 5 приложена сосредоточенная сила p. Будем считать, что эта сила равномерно распределена по прямоугольной площадке, пло-

В точке 6 на половине площадки приложена распределенная нагрузка, кроме того еще приложена сосредоточенная сила, поэтому

q6 = q2 + ∆p2 .

Выражение (5.24) может быть изображено в виде маски-опера- тора (рис. 5.5).

113

Перемещая центр этой маски-оператора во все точки, расположенные внутри контура пластины, мы получим систему линейных алгебраических уравнений. Количество уравнений в системе (и количество неизвестных) равно количеству внутренних точек сетки. Решив систему, мы определим величину прогибов во всех внутренних узловых точках пластины.

1

Рис. 5.5

В уравнениях (5.24) для точек, ближайших к краям пластины, войдут величины прогибов в узлах, лежащих на контуре и за контуром пластины. Эти значения могут быть определены из условий на границах контура пластины, т. е. из условий закрепления краёв пластины (4.33), (4.33*), (4.34) или (4.34*).

1. Заделка (защемление).

Пусть правая сторона плиты, изображенной на рис. 5.3, заделана. Тогда в точке q на рис. 5.3 справедливы соотношения (4.33), т. е.

114

откуда wp = wk. легко убедиться, что условия, аналогичные условиям (5.25), выполняются в случае заделки на всех четырех сторонах прямоугольной плиты.

Итак, при заделке граничное значение прогиба равно нулю, а заграничное – равно величине прогиба в узле, ближайшем к контуру.

2. Свободное опирание (шарнирно опертый край).

Пусть все та же правая сторона плиты, изображенной на рис. 5.3, свободно опирается на опору (шарнирно оперта). Тогда в точке q на рис. 5.3 справедливы соотношения (4.34), т. е.

откуда wp = –wk. легко убедиться, что условия, аналогичные условиям (5.26), выполняются в случае шарнирного опирания на всех четырех сторонах прямоугольной плиты.

Итак, при шарнирном опирании граничное значение прогиба равно нулю, а заграничное – равно величине прогиба в узле, ближайшем к контуру, взятой с обратным знаком.

§ 4. Пример расчета прямоугольной пластины методом конечных разностей

Пусть задана прямоугольная пластина из железобетона. На площадь пластины нанесена сетка с шагом ∆x = ∆y = ∆ =30 см (рис. 5.5). Толщина пластины h = 6 см, материал – железобетон (Е = 3104 МПа = = 3˟1010 Па, ν = 0,15).

Пластина нагружена на центральной площадке (заштрихована на рис. 5.5) распределенной нагрузкой q = 18 кН/м2, а также двумя сосредоточенными силами F = 4 кН в узлах №5. Учитывая симметрию пластины и нагрузки относительно осей, проходящих через ее середину, нумерация узлов выполнена симметрично относительно этих осей (рис. 5.6).

Пластина свободно оперта по краям с узлами 10 ÷ 7 ÷ 10 и заделана по краям с узлами 10 ÷ 12 ÷ 10.

115

Исходя из условий опирания на краях пластины

w7 = w8 = w9 = w10 = w11 = w12 = 0.

Для законтурных точек по заделанным сторонам: w13 = w1; w14 = w2;

w15 = w3; по свободно опертым сторонам: w16 = –w3; w17 = –w6.

С помощью оператора (рис. 5.5) составим для каждого внутреннего узла (в данном случае 1 ÷ 6) дифференциальное уравнение изгиба пластины.

Узел 1

20w1 −8(w2 +w4 +w2 +w7 ) +2(w5 +w5 +w8 +w8 ) +w3 +w1 +w3 +w13 =

116

Все величины в правой части уравнения (5.25) подставлены в единицах Международной системы единиц (СИ), поэтому прогибы будут получены в метрах.

После преобразований получаем:

22w1 −16w2 +2w3 −8w4 +4w5 =1,32 10−4.

Узел 2

20w2 −8(w1 +w8 +w3 +w5 ) +

+2(w7 +w9 +w6 +w4 ) +w2 +w14 +w11 +w2 = q∆4 ;

4D −8w1 +23w2 −8w3 +2w4 −8w5 +2w6 = 0,66 10−4.

Узел 3

20w3 −8(w2 +w9 +w11 +w6 ) +2(w8 +w10 +w12 +w5 ) +w1 +w15 +w16 +w3 = 0;

w1 −8w2 +21w3 +2w5 −8w6 = 0 .

Узел 4

20w4 −8(2w1 +2w5 ) +8w2 +2w6 +2w7 = qD∆4 ; −16w1 +8w2 +20w4 −16w5 +2w6 = 2,64 10−4.

Узел 5

20w5 −8(w4 +w2 +w6 +w2 ) +

+2(w1 +w3 +w3 +w1 ) +w8 +w12 +w8 +w5 = q∆4 + F ∆2 ;

2D D

4w1 −16w2 +4w3 −8w4 +21w5 −8w6 =7,84 10−4.

Узел 6

20w6 −8(w5 +w3 +w12 +w3 ) +2(w2 +w11 +w11 +w2 ) +w4 +w9 +w17 +w9 = 0;

4w2 −16w3 +w4 −8w5 +19w6 = 0 .

117

Решив эту систему (например, методом Гаусса), получим значения прогибов в узлах пластины 1 ÷ 6.

0,12830,1123

0,0545

W = 10−3 м.

0,23390,21510,1005

Вычислим теперь изгибающие моменты Mx и My в узлах средних сечений пластины. В соответствии с соотношениями (4.17) и (4.22):

118

Используя первые два выражения из (5.22), мы можем записать для i-го узла (см. рис. 5.3):

По аналогичным формулам могут быть вычислены изгибающие моменты во всех точках сетки, включая граничные.

119

ПРИЛОЖЕНИЕ

В качестве приложения предлагаются индивидуальные варианты двух расчетных работ: расчет упругой прямоугольной балки-стенки методом конечных разностей и расчет упругой прямоугольной плиты методом конечных разностей. Номер расчетной схемы и приложенные нагрузки определяются из таблиц 1 и 2. В этих таблицах для генерации индивидуальных заданий используются вторая и первая цифры порядкового номера студента в групповом журнале (или в зачетной ведомости). У первых девяти по списку первая цифра считается нулем.

Примеры выполнения этих расчетов изложены выше.

Задание 1 Расчет упругой прямоугольной балки-стенки

методом конечных разностей

Для заданной расчетной схемы балки-стенки единичной толщины требуется:

1)вычертить расчетную схему балки-стенки в масштабе с указанием размеров и нагрузки;

2)определить опорные реакции;

3)для каждой внутренней точки области (с учетом симметрии нагружения) записать бигармоническое уравнение в конечных разностях (см. стр. 62-64);

4)значения функции напряжений на контуре и в законтурных точках выразить исходя из граничных условий с учетом рамной аналогии (см. там же);

5)составить систему разностных уравнений и решить ее (с использованием любых вычислительных средств по выбору);

6)построить эпюры нормальных напряжений σx в сечении A – A, нормальных напряжений σy в сечении B – B и касательных напряжений τxy в сечении C – C балки-стенки.

120